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UNIDAD 2: ÓPTICA GEOMÉTRICA
REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ
Usaremos el modelo de la luz basado en rayos para explorar dos de los aspectos más importantes de la propagación de la luz: reflexión y refracción. Cuando una onda luminosa incide en una interfaz lisa que separa dos materiales transparentes (como el aire y el vidrio o el agua y el vidrio), la onda en general es reflejada parcialmente y también refractada (transmitida) parcialmente hacia el segundo material.
Comenzaremos nuestro estudio con el comportamiento de un rayo individual. Describimos las direcciones de los rayos incidente , reflejado y refractado (transmitido) en una interfaz lisa entre dos materiales en términos de los ángulos que forman con la normal (perpendicular) a la superficie en el punto de incidencia.
El índice de refracción de un material, denotado por n, desempeña un papel central en la óptica geométrica. Es la razón entre la rapidez de la luz c en el vacío y la rapidez de la luz v en el material:
𝑛 = 𝑐𝑣
La luz siempre viaja con más lentitud en un material que en el vacío, por lo que el valor de n en cualquier material que no sea el vacío siempre es mayor que la unidad. Para el vacío, n = 1. Como n es una razón entre dos valores de rapidez, es un número sin unidades.
Leyes de reflexión y refracción
Los estudios experimentales de las direcciones de los rayos incidentes, reflejados y refractados en una interfaz lisa entre dos materiales ópticos condujeron a las siguientes conclusiones:
- Los rayos incidente, reflejado y refractado, así como la normal a la superficie, se encuentran en el mismo plano. El plano de los tres rayos es perpendicular al plano de la interface (límite entre los dos materiales).
- El ángulo de reflexión θR es igual al ángulo de incidencia θ 1 para todas las longitudes de onda y para cualquier par de materiales. Esta relación, junto con la observación de que los rayos incidente y reflejado y la normal están en el mismo plano, se conoce como ley de reflexión.
- Para la luz monocromática y para un par dado de materiales, 1 y 2, en lados opuestos de la interfaz, la razón de los senos de los ángulos θ 1 y θ 2 , donde los dos ángulos están medidos a partir de la normal a la superficie , es igual al inverso de la razón de los dos índices de refracción: sin 𝜃 1 sin 𝜃 2 =^
𝑛 2 𝑛 1 Reordenando la ecuación obtenemos la ley de refracción o ley de Snell : 𝑛 1 ∙ sin 𝜃 1 = 𝑛 2 ∙ sin 𝜃 2
Ejemplos de ejercicios de aplicación de la ley de Snell
Cuando un rayo pasa de un material 1 hacia otro material 2 que tiene un mayor índice de refracción (n2>n1) y, por lo tanto, una menor rapidez de onda, el ángulo θ 2 que forma con la normal es más pequeño en el segundo material que el ángulo θ 1 en el primero; por consiguiente, el rayo se desvía hacia la normal:
Cuando el segundo material tiene un menor índice de refracción que el primero (n2 < n1) y, por lo tanto, una mayor rapidez de onda, el rayo se desvía alejándose de la normal :
𝑛 1 ∙ sin 𝜃 1 = 𝑛 2 ∙ sin 𝜃 2 1 ∙ sin 45 = 1 , 33 ∙ sin 𝜃 2
arcsin 1 ∙ sin 45 1 , 33
Ejemplo 1: Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua con un ángulo de incidencia de 45°. Si el índice de refracción del agua es de 1,33 ¿cuál es el ángulo de refracción? Solución Aplicando la ley de Snell n 1 = naire y n 2 = nagua:
Despejamos en ángulo de refracción θ 2 :
Observe que θ 1 >θ 2 (debido a que n 1 <n 2 el rayo refractado se acerca a la normal)
𝑛 1 ∙ sin 𝜃 1 = 𝑛 2 ∙ sin 𝜃 2 1 , 33 ∙ sin 30 = 1 ∙ sin 𝜃 2
arcsin
1 , 33 ∙ sin 30 1
Ejemplo 2: Un rayo de luz sale del agua al aire. Sabiendo que el ángulo de incidencia es de 30° y que el agua tiene un índice de refracción de 1,33, calcular el ángulo de refracción. Solución Aplicamos la Ley de Snell n 1 = nagua y n 2 = naire:
Como la luz pasa del agua (n agua = 1,33) al aire (n aire = 1), el ángulo de refracción es superior al de incidencia. El rayo refractado se aleja de la normal.
𝑛 1 ∙ sin 𝜃 1 = 𝑛 2 ∙ sin 𝜃 2 1 ∙ sin 30 = 1 , 5 ∙ sin 𝜃 2
arcsin
1 ∙ sin 30 1 , 5
𝑛 2 ∙ sin 𝜃 2 ′ = 𝑛 3 ∙ sin 𝜃 3 1 , 5 ∙ sin 40 , 5 = 1 ∙ sin 𝜃 3
arcsin
1 , 5 ∙ sin 40 , 5 1
Ejemplo 4: Refracción en un prisma
Se tiene un prisma cuyo índice de refracción es 1,5 y tiene un ángulo de refringencia (A) de 60°. Incide en él un rayo con ángulo de 30° con respecto a la normal. Determinar: a) ¿Cuánto vale el ángulo de refracción de la primera cara? b) ¿Cuánto vale el ángulo emergente?
Si un rayo de luz i 1 incide sobre una de las caras de un prisma de vidrio con el ángulo θ 1 el rayo refractado r 1 formará un ángulo θ 2 con la normal N 1 de la primer interface. Después de refractarse en la primera cara sufrirá otra
refracción en la segunda cara saliendo desviado hacia su base. Comenzamos planteando la ley de Snell para la
primer interface aire-prisma:
Por geometría podemos determinar que: 𝐴 = 𝜃 2 + 𝜃 2 ′
Por lo tanto, el ángulo que forma el rayo incidente i 2 con la normal de la interface 2 será: 𝜃 2 ′ = 𝐴 − 𝜃 2 = 40 , 5 °
Ahora aplicamos la ley de Snell en la interface 2 prisma-aire:
N 1
N 2
θ 1 θ 2 θ2’ (^) θ 3
Reflexión interna total
Hemos descrito la forma en que la luz se refleja y se transmite parcialmente en una interfaz entre dos materiales con distintos índices de refracción. Sin embargo, en ciertas circunstancias, toda la luz se puede reflejar en la interfaz, sin que se transmita nada de ella , aun si el segundo material es transparente:
Se ilustran varios rayos que salen de una fuente puntual en el material a con índice de refracción n 1. Los rayos inciden en la superficie del segundo material con índice n 2 , donde n 1 > n 2. (Por ejemplo, los materiales 1 y 2 podrían ser agua y aire, respectivamente)
Sin importar cuáles sean los materiales en cada lado de la interfaz, en el caso de una incidencia normal el rayo transmitido no se desvía en absoluto (rayo 1). En este caso θ 1 = 0, y senθ 1 = 0, por lo que despejando la ecuación de Snell θ 2 también es igual a cero, de manera que el rayo transmitido también es normal a la interfaz.
Como n 1 > n 2 el rayo refractado se desvía apartándose de la normal. Así, debe haber algún valor de θ 1 menor que 90° para el cual la ley de Snell da senθ 2 = 1 y θ 2 = 90°. Esto se ilustra con el rayo 4 en el diagrama, que emerge apenas rozando la superficie con un ángulo de refracción de 90°. El ángulo de incidencia para el cual el rayo refractado emerge en forma tangencial a la superficie se llama ángulo crítico , y se denota con θc. Más allá del ángulo crítico, el rayo no puede pasar hacia el material superior: queda atrapado en el material inferior y se refleja por completo en la superficie de frontera. Esta situación, llamada reflexión interna total , sólo ocurre cuando un rayo incide sobre la interfaz con un segundo material cuyo índice de refracción es menor que el del material por el que viaja el rayo. Es posible encontrar el ángulo crítico para dos materiales dados si se iguala θ 2 = 90° (sen θ 2 = 1) en la ley de Snell. De esta forma, se tiene:
𝑛 1 ∙ sin 𝜃𝑐 = 𝑛 2 ∙ sin 90 1 , 70 ∙ sin 𝜃𝑐 = 1 ∙ sin 𝜃 2
θc = arcsin
Ejemplo 5 : Determinar el valor del ángulo crítico para un vidrio cuyo índice de refracción es 1,70. Solución: Aplicamos la Ley de Snell con n 1 = nvidrio y n 2 = naire:
