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Unidad III: Transformada de Laplace
3.1 Teoría preliminar
3.1.1 Definición de la transformada de Laplace
Las transformadas de Laplace fueron formuladas para transformar una ecuación diferencial que contiene las diferenciales de una función indefinida, a partir de una ecuación t-espaciada hacia una ecuación s-espaciada que puede ser resuelta con mucha facilidad. También pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales. Están dirigidas a una amplia gama de problemas de valor inicial. La transformada de Laplace se denomina a veces transformada operacional; esto esporque transforma las operaciones de integración en simples operaciones algebraicas que son mucho más convenientes de resolver. Después de la cual la aplicación de la técnica de la transformada inversa produce la solución exacta para la ecuación diferencial dada.
3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la
transformada de Laplace
Antes de establecer las condiciones para la existencia de la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son:
- Función continua a trozos: Se dice que una función es a trozoso seccionalmente continua en un intervalo finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tiene límites izquierdos, así como límites derechos.
Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos puntos.
3.2 Transformada directa
Uno de los algoritmos aritméticos más ampliamente utilizados es la transformada rápida de Fourier, un medio eficaz de ejecutar un cálculo matemático básico y de frecuente empleo. La transformada rápida de Fourier es de importancia fundamental en el análisis matemático y ha sido objeto de numerosos estudios. La aparición de un algoritmo eficaz para esta operación fue una piedra angular en la historia de la informática. Las aplicaciones de la transformada rápida de Fourier son múltiples. Es la base de muchas operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde tiene amplia utilización. Además, proporciona un medio oportuno para mejorar el rendimiento de los algoritmos para un conjunto de problemas aritméticos comunes.
3.3 Transformada inversa
Si la transformada de Laplace de una función f(t) es F(s), esto es,
3.4 Propiedades
Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace Similar a la transformada de Laplace, la transformada inversa de Laplace también tiene sus propias propiedades. Algunas de las propiedades más importantes se discuten a continuación:
- Propiedad de Linealidad: Si L{f(t)} = F(s) y L{g(t)} = G(s), entonces para dos constantes cualesquiera c1 y c2 tenemos, L-1{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 L-1{f(t)} + c2 L-1{g(t)} = c1f(t) + c2 g(t) Esto puede probarse como, Por la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace conocemos que, L{c1 f(t) + c2 g(t)} = c1 F(s) +c2 G(s) Ahora tomando la transformada inversa de Laplace en ambos lados obtenemos, c1f(t) + c2 g(t) = L-1{c1 F(s) +c2 G(s)} f(t) = L-1{F(s)} y, g(t) = L-1{G(s)}
3.4.1 Transformada de Laplace de funciones definidas por
tramos
Una función continua a trozos es aquella que es continua y está dividida en pedazos. Antes de sumergirnos en el concepto primero debemos entender lo que es una función continua y una función a trozos. Una función continua es aquella que no se divide en su gráfico, es decir, se define continuamente a lo largo de todo el dominio de la función. Un ejemplo de tal función sería = y2, esta es la ecuación de una parábola. Como podemos ver en el gráfico anterior, esta no se rompe. Y, una función a trozos es aquella que no está definida continuamente, esto es, la gráfica de la función está dividida. Unejemplo de estoseríaunafunciónescalonada.
puntos la gráfica tiene dos valores en lugar de uno, lo cual se divide el gráfico aunque lo mantiene continuo. Claramente, f(t) es continuo en los intervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límites derechose izquierdos de A son, f(A + t) = f(A + 0) = f(A) f(A - t) = f(A - 0) = f(A) Aquí el valor de t siempre es positivo. Por lo tanto, podemos concluir que una función continua a trozos se compone de números finitos de secciones de continuidad para cada sub-intervalo finito [0, t] en la gráfica de la función dada. Y el límite de la función dada es finitoa medida que la función se aproxima a cada uno de los puntos continuos. La transformada de Laplace de tal función está dada como,
3.4.2 Función escalón unitario
La función escalón unitario o función escalón unitario de Heavisideu(t - a) está definida como,
Aquí el valor de a es siempre mayor o igual que cero. El gráfico de una función escalón unitario es parecido al siguiente, Entonces, al observar el gráfico de la función, este se puede comparar con un interruptor que se encuentra cerca de un tiempo en particular, que abre por un tiempo y luego vuelve a cerrar. Existen ciertas propiedades de una función escalón unitario relacionadas con la transformada de Laplace. Estasse analizan a continuación:
3.4.3 Propiedades de la transformada de Laplace
(linealidad, teoremas de traslación)
Propiedades de la Transformada Inversa de Laplace Similar a la transformada de Laplace, la transformada inversa de Laplace también tiene sus propias propiedades. Algunas de las propiedades más importantes se discuten a continuación:
- Propiedad de Linealidad: Si L{f(t)} = F(s) y L{g(t)} = G(s), entonces para dos constantes cualesquiera c1 y c2 tenemos,
Sin embargo, mientras nos ocupamos de los diferenciales de la función, necesitamos modificar el límite inferior de integración y colocar un valor mayor que cero en el lugar de cero, como el límite inferior de integración. Esto se hace principalmente porque el cero no manipula la solución obtenida a partir de la integración, y de esta forma nos limitamos a la función clásica. Existen, sin embargo, ciertas condiciones para que esto sea verdadero. La función real debe ser definida para la variable tiempo ty el diferencial debe existir para todos los valores mayores que cero. Asimismo, la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). De igual manera, el diferencial de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, este es, [0, ). Y, por último, tanto la función real, así como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , y un número T tal que, Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T.
3.4.6 Transformada de integrales (teorema)
Hasta ahora hemos estudiado la forma de determinar la transformada de Laplace de una función dada. Pero, como sabemos, existen varias operaciones que pueden realizarse en una determinada función. Una de las principales operaciones entre ellas es la integración. Como sabemos, la integración de una función nos da otra función. Por lo tanto, es esencial saber si la técnica de la transformada de Laplacepuede aplicarse a la integral de una función real.
La respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, hasta cierto punto. La cláusula de “hasta cierto punto”, se añade aquí porque esto no es cierto para todas las integrales. Existen ciertos pre-requisitos que deben ser verdaderos para obtener la transformada de Laplace de la integral de la función real. La función real debe estar definida para la variable de tiempot, también la función debe ser definida de forma continua en el intervalo [0, ). Asimismo, el integral de esta función debe ser una función continua a trozos para el mismo intervalo, esto es, [0, ). Y, por último, ambas, la función real como el diferencial de la función real deben ser de orden exponencial cuando el valor de t tiende al infinito. Esto significa que deben existir dos números reales positivos M y , un número T tal que, Aquí el valor de t debe ser siempre mayor o igual que T. Asumiendo que las condiciones anteriores son válidas para la función de entrada y L{f(t)} = F(s), entonces la transformada de Laplace de la integral de la función real puede darse como,
3.4.7 Teorema de la convolución
Si L-1{F(s)} = f(t) y L-1{G(s)} = g(t)entonces,
Ahora, cambiando el orden de integración, tenemos la siguiente parte sombreada como la región de integración. Entonces obtenemos, L{ f(u) g(t – u) du} = e-stf(u) g(t – u) du dt = f(u) { e-st g(t – u) dt} du
= fijando t – u = v obtenemos, dt = dv = f(u) { e-s(u + v) g(v) dv} du = { e-suf(u) du}. e-sv g(v) dv} O, L{ f(u) g(t – u) du} = F(s) G(s) Invirtiendo ambos lados de la ecuación obtenemos, L-1{F(s) G(s)} = f(u) g(t – u) du L-1{F(s) G(s)} = f * g Existe una cantidad amplia de problemas que pueden resolverse con la ayuda del teorema de convolución. Uno de estos problemas se da aquí para hacer el concepto más claro. Usa el teorema de convolución para determinar L-1{1/ [s2 (s + 1)2]} Sea F(s) = 1/ s Y G(s) = 1/ (s + 1)2entonces, f(t) = L-1{F(s)} = L-1(1/ s2) = t g(t) = L-1{G(s)} = L-1(1/ (s + 1)2) = e-t L-1(1/ s2) = t e-t Por lo tanto, con la ayuda del teorema de convoluciónpodemos escribir, L-1{1/ [s2 (s + 1)2]} = f(u) g(t – u) du
Aquí la función anterior está en el dominio de t, por lo tanto, los cálculos pueden ser algo crípticos,por esto, con el propósito de conveniencia en los cálculos, esta puede ser transformada en el dominio s. La operación de convolución en el dominio s se convierte en la operación de multiplicación. L{a(t) * b(t)} = A(s) B(s)
3.4.8 Transformada de Laplace de una función periódica
Se dice que una función f(t) es una función periódica de período a> 0 si, Esto significa que la gráfica de tal función a repetirá su forma para cada intervalo (na, (n + 1)a). Un ejemplo de tal función es el seno ( ),el cual es una función periódica del período 2. El valor de la función debe convertirse en cero en la porción negativa de la recta numérica real. Si f(t) es una función periódica con período a entonces, Esto puede reorganizarse como,
En términos simples, podemos decir que para la función periódica f(t) con período a, la transformada de Laplace es equivalente a la transformada de Laplace en un período único de esafunción dividida por el término (1 - e-as). También existe una prueba del teorema indicado arriba. Dado que f(t) es una función periódica con período a, f(t + a) = f(t), f(t + 2a) = f(t) y así sucesivamente. Ahora, L{f(t)} = e-st f(t) dt = e-stf(t) dt + e-st f(t) dt + e-st f(t) dt + … Estableciendo t = (u + a) en la segunda integral, t = (u + 2a) en el tercer integral etc. Entonces obtenemos, = e-stf(t) dt + e-s(u + a) f(u + a) du + e-s(u + 2a) f(u + 2a) du + … = e-suf(u) du + e-su f(u + a) du + e-2sa e-su f(u) du + … = (1 + e-as + e-2as+ …) e-su f(u) du = (1 - e-as)−1 e-stf(t) dt [Dado que 1 + x + x2 + … = (1 – x)−1] L{f(t)} = [1/ (1 - e-as)] e-st f(t) dt Por consiguiente, podemos ver que para llevar a cabo la operación de transformación de Laplace a una función periódica necesitamos romper esa función en los sub-intervalos, lo cual depende de los intervalos para los cuales la función dada estádefinida. La sumatoria de todas las integrales produce la transformada de Laplace para esa función.
Las funciones deltade Dirac son las funciones que ejercen una enorme cantidad de fuerza sobre un objeto, por una gran cantidad de tiempo. Aunque a veces una función escalonada unitaria es comparada con una función fuerza, la comparación no es muy adecuada dado que la cantidad de fuerza ejercida por ellas es muy limitada. Una función delta de Dirac es una diferencial de la función escalón unitario. Esta puede entenderse como secuencias delta de funciones de fuerza generalizadas. Esto implica que la función delta de Dirac no es una función real sino que es una distribución que se extiende por un intervalo definido para la función dada. También es llamada una función singular. Como tal, no existe una definición formal de esta función. Pero puede ser definida mediante utilizar la propiedad de la propia función, la cual es, En términos simples, podemos decir que una función delta de Dirac es aquella cuya salida se calcula a cero para cada valor del argumento de entrada, excepto cuando el valor del argumento de la función en sí es igual a cero. Aquí el argumento de la función es un parámetro valorado real. La integral de la función en el rango de parámetros (- , ) es uno. A la luz de la afirmación anterior, podemos concluir que esta es una función real desde el punto de vista matemático, ya que para cualquier función real cuyo valor es constante, excepto en un punto, el valor de la integral debe calcularse a cero, el cual no es este caso. La gráfica de la función se vería algo así como:
Debido a esta propiedad de la función, es ampliamente utilizada para modelar el sistema que experimenta fuerzas extremasrepentinas. Una propiedad muy importante de esta función es, En este caso, sabemos que la función (t) toma el valor de cero para todos los valores de t, excepto en t = 0. Esto implica que el valor de la función f(t) también se vuelve insignificante, excepto cuando el argumento tde la función se convierte en cero. En tal situación, tenemos el valor del integrando f(0) (t), f(0)que puede tomarse fuera dado que se convierte en una constante, haciéndolo de esta manera obtenemos el lado derecho de la ecuación.
