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Unidad1 de ecuaciones diferenciales, es un resumen sobre los temas de la unidad 1 junto con un cuadro comparativo sobre la formula y caracteristicas de cada tema
Tipo: Apuntes
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Las ecuaciones diferenciales son un conjunto de ecuaciones relacionadas con varias funciones desconocidas, la derivada de la función, las variables relativas a las variables definidas y ciertas constantes. La aplicación de ecuaciones diferenciales en electromecánica nos ayuda a resolver problemas motores, electromagnetismo, electricidad y mecánica, mediante el establecimiento de modelos matemáticos, Al resolverlo, obtengamos conclusiones matemáticas que nos permitan explicar el fenómeno que rodea al problema y así hacer predicciones sobre el problema idéntico. Si las predicciones obtenidas deben verificarse utilizando nuevos datos de la práctica, si las predicciones no coinciden porque se necesitan nuevos datos para ajustar el modelo matemático. La mayoría de estos problemas del mundo real se encuentran en los campos de la física, la química y las ciencias sociales (Crecimiento de la población, desintegración radiactiva, velocidad ya, edad de los fósiles, etc.).
Como su nombre lo indica, una ecuación diferencial es aquella ecuación que contiene algunos términos diferenciales, una función desconocida y una o más de sus derivadas. Estos son los diferenciales de la función que contiene la variable dependiente de la ecuación diferencial dada. Contiene también una o varias variables independientes. La representación de una ecuación diferencial en su forma general es: o Las ecuaciones diferenciales tienen algunas terminologías básicas relacionadas que debemos de entender para una mejor compresión de estas ecuaciones. Existen dos tipos más generales los cuales son:
La resolución de ecuaciones diferenciales requiere conocimientos previos de técnicas de integración. Las ecuaciones diferenciales también se denominan extensiones del cálculo integral. Sin embargo, debido a que las ecuaciones diferenciales de primer orden, las ecuaciones diferenciales de segundo orden y las ecuaciones diferenciales de orden superior tienen diferentes técnicas de resolución, el orden de la ecuación diferencial debe analizarse antes de intentar resolver la ecuación diferencial. Los siguientes son los métodos para resolverlas: 1 - Método de separación de variables: Es un método común para resolver ecuaciones diferenciales. Si una función dada se puede transformar de alguna manera, de modo que la diferenciación de una variable en particular se muestre como el único coeficiente de la función que define la variable. Por otra parte, esa función debería definir sólo esta variable y no otra variable, si esto se cumple, entonces la técnica de separación de variables puede aplicarse. Veamos cómo se hace al resolver la ecuación diferencial:
2 - Ecuación diferencial homogénea: No todas las ecuaciones diferenciales se pueden modificar a la forma anterior. En caso de que la tecnología existente no funcione, verifique la uniformidad de la ecuación. Una ecuación homogénea es una ecuación en la que reemplazar la variable con el producto de la variable y la constante dará la misma ecuación que antes. Para resolver una ecuación de este tipo sustituye y = cx. Entonces dy/ dx = c + c(dc/ dx). También la ecuación diferencial dada M dx + N dy = 0 se puede reescribir como, dy/ dx = - (M/ N). dy/dx puede escribirse como, f(c). Por lo tanto, para separar las variables c y c podemos escribir, dx/ x = dc/ (f(c) – c). Esto haría la ecuación de manera talque sea posible que las variables sean separadas y que la técnica de separación de variables sea aplicada. 3.-Dentro de las soluciones existen otro tipo de soluciones más generales las cuales se describirán brevemente: Solución n-paramétrica. Si la solución contiene n parámetros se le llama solución n- paramétrica o familia n-paramétrica de soluciones De hecho al resolver una ecuación de n-ésimo orden se espera obtener una solución con n parámetros. Solución particular: Es una solución que se obtiene a partir de una solución n- paramétrica dándole valores a los parámetros. Solución singular: Es una solución que no se puede obtener a partir de una solución n-paramétrica. Solución genera: Si la única solución de una ecuación diferencial es una familia n- paramétrica de soluciones, es decir no existe solución singular para tal ecuación entonces se dice que tal solución es la solución general de la ecuación diferencial. Solución explicita: Si la incógnita y viene despejada en función de la variable independiente x Solución implícita: Si la solución no es explicita se dice que es una solución implícita.
El teorema enuncia lo siguiente: Sea , donde Omega es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de x(interprétese f(t, x) como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado , podemos encontrar un intervalo cerrado donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy: que cumple que los pares El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el teorema. Añadiendo más condiciones al enunciado original, podemos dar este otro más sencillo: "Sea una función Lipschitz. Entonces, dados " existe una única solución x(t) del problema de valor inicial.
La EDO es una ecuación en la que las incógnitas pueden ser una o más funciones que dependen de variables independientes. Además, para calcular la ecuación en un punto, solo necesitamos conocer el valor de la función desconocida y su derivada en ese punto. Otros tipos de ecuaciones no se llamarán ecuaciones ordinarias. Un ejemplo sería la ecuación: y′=y donde y=y(x), es una función de una variable y para evaluar la ecuación sólo nos hace falta conocer y e y′ en un punto. El orden de una EDO es el orden de la derivada de orden más alto que aparece en la ecuación. Por ejemplo, en el caso anterior, el orden de la EDO es 1. Existe un resultado que nos dice que podemos escribir cualquier EDO como un sistema de EDO's de orden 1. Así pues, siempre que nos refiramos a una EDO, la escribiremos como
entendiendo que y es quizás un vector. Si tenemos la EDO: 2 ⋅
de manera que 𝑓(𝑥, 𝑦) =
Existen diversos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias, cada una con una forma de resolución distinta; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuaciones diferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que las primeras son, por lo general, de más fácil resolución). 1.2.1 Variables separables y reducibles. El método de separación de variables es una de las varias técnicas utilizadas para resolver las ecuaciones diferenciales. Sólo es posible aplicar la técnica de separación de variables a aquellas funciones que han sido transformadas, de manera tal, que el diferencial de la variable particular sólo aparece con una función definiendo esta variable y no con otra función. Además, esa función debe tener sólo esa variable en particular y no otra variable. Esta técnica de solución de ecuaciones diferenciales tiene su base en la suposición de que para una función definida como: funciones indefinidas en cada ecuación diferencial dada es constante si tenemos el producto de estas funciones con las variables independientes como términos constantes. Estas funciones definidas separadamente, pueden ser finalmente,
dG/ dt = - c G y, d2 / dx2 = - Ahora cambiemos nuestro enfoque a las condiciones iniciales establecidas. La primera establece que, u(0, t) = 0 = G(t) (0). Sin embargo, igualando G(t) a cero sería u(x, t) = 0 conduciendo a una solución trivial. Por tanto, (t) = 0. Y la segunda establece u(L, t) = 0 = G(t) (L). Tenemos de nuevo (L) = 0 para tener una solución no trivial. Un pequeño ejemplo sería de mucha ayuda. 2dq/ q = [(p + 1) dp]/ p Reorganiza la ecuación anterior para obtener, 2dq/ q = [1 + 1/ p] dp La ecuación anterior tiene sus variables separadas y ya es posible integrarlas por separado, 2dq/ q = [1 + 1/ p] dp 2 ln q = p + ln p + C
Una ecuación diferencial ordinaria de la forma dy/dx = g(x,y) se denomina homogénea si g(x,y) es una función homogénea de grado cero.en sus dos variables independientes. La ecuación diferencial se puede expresar en la forma dy/dx = h(yx-1) (1). Introduciendo una nueva función desconocida w= yx-1, la ecuación (1) se asimila a la ecuación ordinaria con variables separables: xdw/dx = h(w) - w. Siempre que la ecuación diferencial venga indicada en la forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, será homogénea cuando M(x,y) y N(x,y) sean funciones homogéneas del mismo grado. Ejemplo Resolver la ecuación xdy/dx = (4x2 - 4y2)0.5 + y. Resolución. Dividiendo entre x resulta dy/dx= 2(1-(y/x)2)0.5+(y/x) dado que la ecuación diferencial es homogénea , efectuamos la sustitución w = y/x o de otra manera, y = wx. En ese caso derivando resulta y´ = xw´+w. Reemplazando y e y´ hallamos: x dw/dx = 2(1-w2)0.5 siendo x > 0. Separando las variables: dw/(1-w2)0.5 = 2dx/x. De donde integrando resulta arc sen w = ln x2 + ln C0 o bien arcsen w = ln C0x2. Usando la relación y = wx resulta arcsen y/x = ln C x
Definición: Sean P(x, y) y Q(x, y) funciones reales continuas en un dominio D. Se dice que la ecuación P(x, y)dx+Q(x, y)dy= Es diferencial exacta si existe una función real F(x, y) tal que en el dominio D cumple: ∂F/∂x=P(x,y)∂F∂y=Q(x,y)∂ F∂ x=P(x,y)∂ F∂ y=Q(x,y) La función F(x, y) es una primitiva de la ecuación y la integral general es:
Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad) EDO: Tiene una función de una inconstante independiente y sus derivadas. EDP: Contiene una función multivariable y sus derivadas parciales. Orden: El orden de una ecuación diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada en la ecuación La ecuación de primer orden 4xy´ + y = x es y´ (x - y)=4x Grado: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Soluciones de las ecuaciones diferenciales. Cualquier función, definida en un intervalo I y que tiene al menos n derivadas continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reducen la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la ecuación en el intervalo. para toda x en I Lado izquierdo Lado derecho Problema de valor inicial. Busca una solución y(x) de una ecuación diferencial tal que y(x) satisface condiciones prescritas, es decir, condiciones impuestas sobre una y(x) desconocida o sus derivadas. Resolver: Sujeto a: Primero aplicamos x( π /2) =-2 en la familia de soluciones: c1 cos 2 π +c sen 2 π =- 2. Puesto que cos 2 π = 1 y sen 2 π = 0, encontramos que c1=-2. Después aplicamos x’( π /2) =1 en la familia uniparamétrica de soluciones x(t)=- 2 cos 4t +c sen 4t. Derivando y después haciendo t= π /2 y x’=1 se obtiene 8 sen 2 π +4c2cos 2 π =1, a partir del cual vemos que c2= 1 /4. Por tanto, x=-2 cos 4t + 1 /4 sen 4t es una solución. Teorema de existencia y unicidad. Sea R una región rectangular en el plano xy definida por a ≤x ≤b, c ≤y ≤d que contiene al punto (x0,y0) en su interior. Si f(x, y) y son continuas en R entonces existe un intervalo I con centro Sean
Homogéneas. Es una función homogénea de grado n en las variables x e y si f(tx, ty) = t n f(x, y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma y 0 = f(x, y) se denomina ecuación diferencial homogénea si la función f es homogénea de grado 0. Exactas. Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma: M(x,y)dx+N(x,y)dy= donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales
Referencias: 1.- http://itpn.mx/recursosisc/4semestre/ecuacioneslineales/Unidad%20I.pdf 2.-https://www.escom.ipn.mx/docs/oferta/matDidacticoISC2009/EDfrncls/Apuntes_ EcuDiferenciales_o3.pdf 3.-http://gmathematics.blogspot.com/2011/12/11-definiciones-ecuaciones- diferencial.html
