Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
..................................
Tipo: Resúmenes
1 / 24
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Tema 1: Conducción en estado estable
Transferencia de Calor
Docente: Jaime Cruz Azuara
Alumnos:
Luis Angel Yañez Balleza (21500497)
Alexa Michelle Mendoza Jiménez
Emili Lincer Hernández (21500433)
Especialidad: Ingeniería Electromecánica
Semestre: 5 ° Grupo: 2
La conducción es la transferencia de energía de las partículas más energéticas de
una sustancia hacia las adyacentes menos energéticas, como resultado de
interacciones entre esas partículas. La conducción puede tener lugar en los
sólidos, líquidos o gases. En los gases y líquidos la conducción se debe a las
colisiones y a la difusión de las moléculas durante su movimiento aleatorio. En los
sólidos se debe a la combinación de las vibraciones de las moléculas en una
retícula y al transporte de energía por parte de los electrones libres. Por ejemplo,
llegará el momento en que una bebida enlatada fría en un cuarto cálido se caliente
hasta la temperatura ambiente como resultado de la transferencia de calor por
conducción, del cuarto hacia la bebida, a través del aluminio.
La rapidez o razón de la conducción de calor a través de un medio depende de la
configuración geométrica de éste, su espesor y el material de que esté hecho, así
como de la diferencia de temperatura a través de él. Se sabe que al envolver un
tanque de agua caliente con fibra de vidrio (un material aislante) se reduce la
razón de la pérdida de calor de ese tanque. Entre más grueso sea el aislamiento,
menor será la pérdida de calor. También se conoce que un tanque de agua
caliente perderá calor a mayor rapidez cuando se baja la temperatura del cuarto
en donde se aloja. Además, entre más grande sea el tanque, mayor será el área
superficial y, por consiguiente, la razón de la pérdida de calor.
Considere una conducción de estado estacionario
de calor a través de una pared plana grande de
espesor ∆ x = L y área A , como se muestra en la
Figura No. 1. La diferencia de temperatura de uno a
otro lado de la pared es
2
1
. Los
experimentos han demostrado que la razón de la
transferencia de calor Q a través de la pared se
duplica cuando se duplica la diferencia de
temperatura
de uno a otro lado de ella, o bien,
se duplica el área
perpendicular a la dirección de
la transferencia de calor; pero se reduce a la mitad
cuando se duplica el espesor
de la pared.
Por tanto, se concluye que la razón de la conducción de calor a través de una
capa plana es proporcional a la diferencia de temperatura a través de ésta y al
área de transferencia de calor, pero es inversamente proporcional al espesor de
esa capa; es decir,
Razón de conducción del calor ∝
( Área )( Diferencia de temperatura )
Espesor
Figura No. : Conducción de calor
a través de una pared plana
grande de espesor x y área A.
O bien:
cond
= kA
1
2
∆ x
=− kA
∆ x
= Watts
En donde la constante de proporcionalidad k es la conductividad térmica del
material, que es una medida de la capacidad de un material para conducir calor
(Figura No. 2). En el caso límite de ∆ x → 0 , la ecuación que acaba de darse se
reduce a la forma diferencial
cond
=− kA
dT
dx
= Watts
La cual se llama ley de Fourier de la conducción
del calor, en honor de J. Fourier, quien la
expresó por primera vez en su texto sobre
transferencia de calor en 1822. Aquí, dT/dx es el
gradiente de temperatura, el cual es la pendiente
de la curva de temperatura en un diagrama T-x
(la razón de cambio de T con respecto a x), en la
ubicación x. La relación antes dada indica que la
razón de conducción del calor en una dirección
es proporcional al gradiente de temperatura en
esa dirección. El calor es conducido en la
dirección de la temperatura decreciente y el
gradiente de temperatura se vuelve negativo
cuando esta última decrece al crecer x. El signo
negativo en la ecuación anterior garantiza que la transferencia de calor en la
dirección x positiva sea una cantidad positiva.
El área A de transferencia de calor siempre es normal
(o perpendicular) a la dirección de esa transferencia.
Por ejemplo, para la pérdida de calor a través de una
pared de 5 m de largo, 3 m de alto y 25 cm de
espesor, el área de transferencia de calor es A=15 m
2
Note que el espesor de la pared no tiene efecto sobre
A (Figura No. 3).
El techo de una casa calentada eléctricamente tiene 6 m de largo, 8 m de ancho y
0.25 m de espesor y está hecha de una capa plana de concreto cuya
conductividad térmica es k =0.8 W / m·° C (Figura No. 4). Las temperaturas de las
superficies interior y exterior se miden como de 15°C y 4°C, respectivamente,
Figura No. : La razón de conducción
del calor a
Figura No. : En el análisis de la
conducción del calor,
Se ha visto que los diferentes materiales almacenan calor en forma diferente y se
ha definido la propiedad de calor específico Cp como una medida de la capacidad
de un material para almacenar energía térmica. Por ejemplo, Cp =4.18 kJ / kg·° C ,
para el agua, y Cp =0.45 kJ / kg· ° C , para el hierro, a la temperatura ambiente, indica
que el agua puede almacenar casi 10 veces más energía que el hierro por unidad
de masa. Del mismo modo, la conductividad térmica k es una medida de la
capacidad de un material para conducir calor. Por ejemplo, k =0.607 W / m·° C , para
el agua, y k =80.2 W / m·° C , para el hierro, a la temperatura ambiente, indica que el
hierro conduce el calor más de 100 veces más rápido que el agua. Por tanto, se
dice que el agua es mala conductora del calor en relación con el hierro, aun
cuando el agua es un medio excelente para almacenar energía térmica.
La ecuación para la razón de la transferencia de calor por conducción, en
condiciones estacionarias, también se puede concebir como la ecuación de
definición para la conductividad térmica. Por tanto, la conductividad térmica de un
material se puede definir como la razón de transferencia de calor a través de
un espesor unitario del material por unidad de área por unidad de diferencia
de temperatura. La conductividad térmica de un material es una medida de la
capacidad del material para conducir calor. Un valor elevado para la conductividad
térmica indica que el material es un buen conductor del calor y un valor bajo indica
que es un mal conductor o que es un aislante. En la tabla siguiente se dan las
conductividades térmicas de algunos materiales comunes a la temperatura
ambiente. La conductividad térmica del cobre puro a la temperatura ambiente es
k = 401 W / m·° C , lo cual indica que una pared de cobre de 1 m de espesor
conducirá el calor a razón de 401 W por m
2
de área por °C de diferencia de
temperatura a través de ella. Note que los materiales como el cobre y la plata, que
son buenos conductores eléctricos, también lo son del calor y tienen valores
elevados de conductividad térmica. Los materiales como el caucho, la madera y la
espuma de estireno son malos conductores del calor y tienen valores bajos de
conductividad térmica.
Se puede calentar una capa de material de espesor y área conocidos, desde uno
de sus lados, por medio de un calentador de resistencia eléctrica de potencia
conocida. Si las superficies exteriores del calentador están bien aisladas, todo el
calor generado por la resistencia se transferirá a través del material cuya
conductividad se va a determinar. Entonces, midiendo las dos temperaturas de las
superficies del material cuando se llega al estado estacionario de la transferencia y
sustituyéndolas en la ecuación:
cond
= kA
1
2
∆ x
=− kA
∆ x
Junto con otras cantidades conocidas se obtiene la
conductividad térmica (Figura No. 5 ). Las
conductividades térmicas de los materiales varían
sobre un amplio intervalo. Las conductividades
térmicas de los gases varían en un factor de 10
4
con
respecto a las de los metales puros como el cobre.
Note que los cristales y metales puros tienen las
conductividades térmicas más elevadas, y los gases y
los materiales aislantes, las más bajas.
La temperatura es una medida de las energías
cinéticas de las partículas, como las moléculas o los
átomos de una sustancia. En un líquido o gas, la
energía cinética de las moléculas se debe a su
movimiento aleatorio de traslación, así como a sus
movimientos de vibración y rotación. Cuando chocan dos moléculas que poseen
energías cinéticas diferentes, parte de la energía cinética de la molécula más
energética (la de temperatura más elevada) se transfiere a la menos energética (la
de temperatura más baja), de manera muy semejante a cuando chocan dos bolas
elásticas de la misma masa a diferentes velocidades, parte de la energía cinética
de la bola más rápida se transfiere a la más lenta. Entre más alta es la
temperatura, más rápido se mueven las moléculas, mayor es el número de las
colisiones y mejor es la transferencia de calor.
Conductividades térmicas de algunos materiales a la temperatura ambiente
Diamante 2300
Plata 429
Cobre 401
Oro 317
Aluminio 237
Hierro 80.
Mercurio (l) 8.
Vidrio 0.
Ladrillo 0.
Agua (l) 0.
Piel humana 0.
Madera (Roble) 0.
Helio (g) 0.
Caucho suave 0.
Fibra de vidrio 0.
Aire (g) 0.
Uretano, espuma rígida 0.
Figura No. 5: Aparato
experimental sencillo para
determinar la conductividad
térmica de un material.
El término estacionario implica que no hay cambio con el tiempo en cualquier
punto dentro del medio, en tanto que transitorio implica variación con el tiempo o
dependencia con respecto al tiempo. Por lo tanto, la temperatura o el flujo de calor
permanecen inalterados con el transcurso del tiempo durante la transferencia de
calor estacionaria a través de un medio, en cualquier ubicación, aunque las dos
cantidades pueden variar de una ubicación a otra (Figura No. 7).
Por ejemplo, la transferencia de calor a través
de las paredes de una casa será estacionaria
cuando las condiciones en el interior de ella y
en el exterior permanezcan constantes
durante varias horas. Pero incluso en este
caso, las temperaturas sobre las superficies
interior y exterior de la pared serán diferentes,
a menos que las temperaturas dentro y fuera
de la casa sean iguales. Por otra parte, el
enfriamiento de una manzana en un
refrigerador es un proceso transitorio de
transferencia de calor, ya que la temperatura
en cualquier punto fijo dentro de esa manzana
cambiará con el tiempo mientras se produce el
enfriamiento. Durante la transferencia de calor
transitoria, la temperatura normalmente varía
tanto con el tiempo como con la posición. En
el caso especial de variación con el tiempo, pero no con la posición, la
temperatura del medio cambia uniformemente con el tiempo. Los sistemas con
una transferencia de calor de este tipo se llaman sistemas de parámetros
concentrados o de resistencia interna despreciable. Por ejemplo, un pequeño
objeto metálico, como una unión de un termopar o un alambre delgado de cobre,
se puede analizar como un sistema de parámetros concentrados durante un
proceso de calentamiento o de enfriamiento.
Figura No. 7: Conducción del calor
estacionaria y transitoria en una pared
plana.
Considere la conducción de calor a través de una pared plana grande, como la de
una casa, el vidrio de una ventana de una sola hoja, la placa metálica de la base
de una plancha, un tubo para vapor de agua de hierro fundido, un elemento
cilíndrico de combustible nuclear, una resistencia eléctrica de alambre, la pared de
un recipiente esférico o una bola metálica que está siendo templada por inmersión
o revenida. La conducción de calor en estas y muchas otras configuraciones
geométricas se puede considerar unidimensional, ya que la conducción a través
de ellas será dominante en una dirección y despreciable en las demás. Enseguida,
se desarrollará la ecuación unidimensional de la conducción de calor en
coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas.
Considere un elemento delgado de espesor x en una pared plana grande, como
se muestra en la figura 2-13. Suponga que la densidad de la pared es r, el calor
específico es C y el área de la pared perpendicular a la dirección de transferencia
de calor es A. Un balance de energía sobre este elemento delgado, durante un
pequeño intervalo de tiempo t, se puede expresar como:
O bien:
x
x + ∆ x
gen ,elemento
elemento
∆ t
Pero el cambio en el contenido de energía interna del elemento y la velocidad de
generación de calor dentro del elemento se pueden expresar como
elemento
t + ∆ t
t
= mc
t + ∆ t
t
= ρcA ∆ x ( T t + ∆ t
t
gen ,elemento
= e ˙ gen
elemento
= e ˙ gen
A ∆ x
Al sustituir en la primera ecuación, se obtiene:
x
x + ∆ x
e gen
A ∆ x = ρcA ∆ x
t + ∆ t
t
∆ t
3.- Régimen estacionario, sin generación de calor (/t=0 y
e gen
2
∂ x
2
Considere ahora un elemento delgado con forma de casco cilíndrico, de espesor
r, en un cilindro largo, como se muestra en la Figura No. 8. Suponga que la
densidad del cilindro es r, el calor específico es C y la longitud es L. El área del
cilindro, normal a la dirección de transferencia de calor en cualquier lugar, es
A = 2 prL , en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que el área A de la
transferencia de calor depende de r en este caso y, por tanto, varía con el lugar.
Un balance de energía sobre este elemento delgado con forma de casco cilíndrico,
durante un pequeño intervalo de tiempo t, se puede expresar como
O bien:
r
r + ∆ r
gen ,elemento
elemento
∆ t
El cambio en el contenido de energía del elemento
y la velocidad de generación de calor dentro del
mismo se pueden expresar como:
elemento
t + ∆ t
t
= mc
t + ∆ t
t
= ρcA ∆ r ( T t + ∆ t
t
gen ,elemento
e gen
elemento
e gen
A ∆ r
Al sustituir en la primera ecuación se obtiene:
Figura No. 8: Conducción
unidimensional del calor
r
r + ∆ r
e gen
A ∆ r = ρcA ∆ r
t + ∆ t
t
∆t
Donde A = 2 rL. El lector puede sentirse tentado a expresar el área localizada a la
mitad del elemento, usando el radio promedio como A = 2 ( r + r / 2 ) L. Pero nada hay
que se pueda ganar a partir de esta complicación, ya que, más adelante en el
análisis, se tomará el límite cuando r → 0 y, por tanto, se cancelará el término
r/2. Ahora se divide la ecuación anterior entre Ar y da:
r + ∆ r
r
∆ r
e gen
= ρc
t + ∆ t
t
∆ t
Si se toma el límite cuando r → 0 y t → 0, se obtiene:
∂ r
kA
∂ r
e gen
= ρc
∂ t
Por la definición de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conducción del
calor:
lim
∆ r → 0
r + ∆ r
r
∆ r
∂ r
∂ r
− kA
∂ r
Puesto que el área de transferencia de calor en este caso es A = 2 rL , la ecuación
unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en un cilindro queda:
Conductividad Variable:
r
∂r
rk
∂ r
e gen
= ρc
∂ t
Para el caso de conductividad térmica constante, la ecuación anterior se reduce a:
Conductividad Constante:
r
∂r
r
∂r
e gen
k
α
∂ t
Donde una vez más la propiedad a = k / ρC es la difusividad térmica del material. En
condiciones especificadas, la ecuación anterior se reduce a las formas siguientes:
1.- Régimen estacionario (/t=0):
r
d
dr
r
dT
dr
e gen
k
2.- Régimen transitorio, sin generación de calor ˙ e gen
r
∂r
r
∂r
α
∂ t
kΔy
m − 1 ,n
m − n
Δx
m, n + 1
m.n
Δy
m + 1 ,n
m − n
Δx
kΔx
m ,n + 1
m. n
Δy
ΔxΔy = 0
Al dividir cada término entre Δx X Δy y simplificar da:
m − 1 , n
m − n
m + 1 ,n
Δ x
2
m ,n − 1
m − n
m ,n + 1
Δ y
2
e m , n
k
para m = 1, 2, 3,... , M - 1 y n = 1, 2, 3,... , N - 1.
En el análisis con diferencias finitas por lo común se usa, por sencillez, una malla
cuadrada (excepto cuando las magnitudes de los gradientes de temperatura en
las direcciones x y y son muy diferentes) y, por lo tanto, Δx y Δy se consideran
iguales. Entonces Δx igual a Δy igual a 1 y la relación antes dada se simplifica a
m − 1 ,n
m + 1 , n
m , n + 1
m ,n − 1
m ,n
e ˙ m .n
l
2
k
Es decir, la formulación en diferencias finitas de un nodo interior se obtiene al
sumar las temperaturas de los cuatro vecinos más cercanos del nodo, menos el
cuádruplo de la temperatura del propio nodo y más el término de generación de
calor. También se puede expresar en la forma que sigue, la cual es fácil de
recordar:
izquierda
superior
derecha
inferior
nodo
e ˙ nodo
l
2
k
El desarrollo de la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera en los
problemas bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al realizado en el
caso unidimensional descrito al principio. Una vez más, la región se divide entre
los nodos mediante la formación de elementos de volumen alrededor de ellos y se
escribe un balance de energía para cada nodo frontera. Como se discutió para
una pared plana, se pueden manejar varias
condiciones de frontera, excepto que los
elementos de volumen en el caso
bidimensional comprenden transferencia de
calor en la dirección y así como en la dirección
x. Las superficies aisladas todavía se conciben
como “espejos” y se puede usar el concepto de
imagen especular con el fin de tratar los nodos
sobre fronteras aisladas como nodos interiores.
Página | 15
Figura No. 10: La formulación en
diferencias finitas de un nodo frontera
se obtiene al escribir un balance de
energía sobre su elemento de
Para la transferencia de calor en condiciones estacionarias, la ecuación básica
que se debe tener presente al escribir un balance de energía sobre un elemento
de volumen es ( Figura 10 )
∑
Todos loslados
Q + e ˙ V elemento
Sea el problema unidimensional, bidimensional o tridimensional. De nuevo, por
conveniencia en la formulación, se supone que toda la transferencia de calor es
hacia el elemento de volumen desde todas las superficies excepto para el flujo
específico de calor, cuya dirección está ya determinada.
En los problemas con configuraciones geométricas simples, se puede llenar la
región completa mediante elementos de volumen simples, como tiras, para una
pared plana, y elementos rectangulares para la conducción bidimensional en una
región rectangular. También se pueden usar elementos con la forma de capas
cilíndricas o esféricas para cubrir por completo cuerpos cilíndricos o esféricos.
Sin embargo, muchas configuraciones que se
encuentran en la práctica, como las paletas de las
turbinas o los monobloques de los motores, no
tienen formas simples y es difícil llenar esas
configuraciones que tienen fronteras irregulares
con elementos sencillos de volumen. Una manera
práctica de tratar con esas configuraciones es
reemplazar la configuración irregular por una serie
de elementos simples de volumen, como se
muestra en la figura 11. Con frecuencia este
simple procedimiento resulta satisfactorio para los
fines prácticos, en especial cuando los nodos
están cerca uno de otro en la vecindad de la
frontera. Se cuenta con procedimientos más elaborados para manejar fronteras
irregulares y es común que se encuentren incorporados en los paquetes
comerciales de software-
Figura No. 11: Aproximación de una
frontera irregular con una malla
rectangular.
junto con la baja conductividad térmica que les confiere el título de materiales
aislantes.
Es conocido, que cada material aislante presentará unas condiciones únicas,
como hemos dicho anteriormente, dentro de la baja conductividad térmica cada
uno presentará unos valores mínimos o máximos dentro del límite de
consideración de aislante térmico. Otras de las cualidades a destacar de estos
elementos:
Transmitancia térmica (U): propiedad física que mide la cantidad de energía
que fluye por unidad de tiempo y superficie, transferido a través de un elemento.
Factor de resistencia a la difusión del vapor agua (μ): se da especialmente
en los aislamientos que pretenden preservar una superficie fría; si el aislamiento
permite que la humedad del aire se ponga en contacto con la superficie fría, ésta
se irá condensando y mojando todo el aislamiento, creando problemas de
pérdidas de capacidad de aislamiento.
Densidad (ρ): masa de material que existe por unidad de volumen.
Calor específico (cp): capacidad que tiene un material para acumular energía
en su unidad de masa.
Resistencia térmica (Rt): cociente entre el espesor y la conductividad térmica
del material; cuanto mayor sea su valor mayor es la capacidad aislante.
Existen diversas clasificaciones de los aislantes térmicos, por ejemplo, en cuanto
al material aislante en sí o en cuanto al formato en el que se presenta.
En cuanto al material como aislante térmico podemos diferenciar entre:
Aislantes sintéticos. Son aquellos compuestos por materiales sintéticos
como el plástico, los polímeros procedentes del petróleo y otros materiales
sintéticos. Son muy efectivos térmicamente. Los más comunes son:
Poliestireno expandido (EPS): Es uno de los aislantes más utilizados
por su densidad y baja conductividad térmica.
Poliestireno extruido (XPS): Muy similar al anterior, pero con la ventaja
de que se puede mojar sin problema ya que es muy absorbente. Se
utiliza con frecuencia por sus múltiples aplicaciones.
Poliuretano: Tiene un mayor rendimiento térmico que los anteriores,
pero se usa generalmente proyectado como espuma.
Rollos reflexivos: Son rollos formados por una o varias capas, de
grosor variable, de burbujas de polietileno entre varias finas láminas de
aluminio utilizados especialmente en zonas climáticas suaves.
Lanas minerales. Es el material aislante más empleado. Son productos
aislantes constituidos por un entrelazado de filamentos de materiales
pétreos que forman un fieltro que mantiene entre ellos aire en estado
inmóvil. Resultan muy versátiles y eficaces ya que además de proporcionar
un buen nivel de aislamiento térmico también actúan como aislamiento
acústico y ofrecen un elevado nivel de protección contra el fuego. Dentro
de las lanas minerales se distinguen fundamentalmente dos tipos:
Lana de roca o lana mineral (SW): Se fabrica a partir de roca volcánica
y se presenta en forma de manta, panel no rígido o rollo. Se utiliza en
cubiertas, forjados, fachadas, suelos, falsos techos, buhardillas o
tabiques interiores.
Lana de vidrio (GW): Se fabrica fundiendo arena a altas temperaturas y
su estructura está formada por finas fibras de vidrio unidas por un
aglomerante o resina. Se considera mejor aislante acústico que la lana
de roca y resiste mejor a la humedad. Al ser más liviana que otros
aislantes y de muy baja conductividad térmica, consigue una mayor
eficiencia con el mismo espesor.
Aislantes ecológicos o naturales: Su uso está cada vez más extendido
porque no contienen sustancias ni aditivos y por tanto son más respetuosos
con el medio ambiente. Este tipo de aislantes, además, son reciclables y
biodegradables. Los aislantes naturales más comunes son:
Corcho: Es el de mayor aceptación porque además de sus buenas
propiedades como aislante es reciclable y renovable. Se presenta en diferentes
formatos; en forma de virutas para rellenar cavidades, en forma de paneles de
corcho prensado o incluso proyectado para cubiertas o revestimiento de
superficies.
Lino: Procede de una planta de fácil cultivo de la que se obtienen fibras
reciclables que se utilizan como aislante.
Celulosa: Formada por residuos de papel que se reciclan en forma de aislante
para su aplicación por insuflado en cámaras, trasdosados o sobre forjados.
Lana de oveja: Aislante de procedencia animal que cuando se humedece
mejora su capacidad de aislamiento.
Arlita, perlita y vermiculita: Son aislantes minerales muy frecuentes en la
construcción tradicional y de gran capacidad ignífuga.
Fibra de coco y el algodón: También se utilizan como aislantes naturales en
forma de mantas.
