¡Descarga trigonometrica y frases y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
6.6 Identidades trigonométricas fundamentales
OBJETIVOS
Utilizar las identidades fundamentales para demostrar otras identidades.
Las funciones trigonométricas se relacionan entre sí, de tal forma que una expresión trigonométrica se
puede expresar en términos de una o más funciones trigonométricas por medio de ecuaciones, llamadas
identidades trigonométricas. Ocho identidades se obtienen directamente del círculo trigonométrico,
son llamadas identidades fundamentales y se estudian en el primer tema de ésta sección.
Identidades trigonométricas fundamentales
Considere un ángulo agudo en posición estándar en un círculo trigonométrico y un punto P x y ( , )en el
lado terminal del ángulo, como se muestra en la figura siguiente
(1,0) x
P x y ( , )
(0,1)
(0, 1)
( 1,0)
y
O
1
Como se estudió en una sección precedente, las seis funciones trigonométricas del ángulo se definen en
la forma siguiente
sen y cos x tan , si 0
y x x
csc , si y 0 y
sec , si x 0 x
cot , si 0
x y y
Las primeras cinco identidades fundamentales se obtienen directamente de las definiciones anteriores y
reciben el nombre de identidades recíprocas
1 1 csc y sen
, entonces
csc sen
sec , x cos
entonces
sec cos
cot tan
x
y y x
entonces
cot tan
sen tan cos
y
x
^ entonces
sen tan cos
cos cot sen
x y
entonces
cos cot sen
Las otras tres identidades trigonométricas se obtienen utilizando el teorema de Pitágoras o bien la
ecuación del circulo unitario, estas son llamadas identidades pitagóricas.
Al utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma en el primer cuadrante
se tiene
2 2 x y 1
Al sustituir cos x y sen y se obtiene
2 2
(cos ) (sen ) 1
Para evitar el uso de los paréntesis es usual escribir las potencias anteriores en la forma 2 2
(cos ) cos y
2 2 (sen ) sen , de tal forma que la identidad anterior se escribe como
sen^2 cos^2 1
Si la ecuación anterior se divide entre 2
cos se obtiene otra identidad fundamental
2 2
2 2 2
2 2
2 2
sen cos 1
cos cos cos
sen 1 1 cos cos
tan 1 sec
Procediendo en la misma forma, solo que ahora dividiendo la identidad 2 2
sen cos 1 entre
2 sen ^ se obtiene la última identidad fundamental
2 2
2 2 2
2 2
2 2
sen cos 1
sen sen sen
cos 1 1 sen sen
1 cot csc
Las ocho identidades trigonométricas fundamentales se resumen en la siguiente tabla
I d e n t i d a d e s t r i g o n o m é t r i c a s f u n d a m e n t a l e s
csc sen
sec cos
cot tan
sen tan cos
cot tan
2 2
sen cos 1
2 2
tan 1 sec
2 2
1 cot csc
Demostración de identidades trigonométricas
Utilizando las identidades fundamentales, es posible demostrar otras identidades trigonométricas. No
hay un método único para demostrar identidades, sin embargo en la siguiente tabla se sugiere un
procedimiento para tales demostraciones
Ejemplo 2: Demostración de identidad trigonométrica
Demuestre la identidad trigonométrica
sen 1 cos
2csc
1 cos sen
x x
x
x x
Solución
En éste ejemplo se recomienda trabajar sobre el lado izquierdo ya que permite efectuar operaciones algebraicas. Desarrollando la suma de fracciones se tiene
2 2
2 2
sen 1 cos
2 csc
1 cos sen
sen (1 cos )
2 csc
(1 cos )(sen )
sen 1 2 cos cos
2 csc
(1 cos )(sen )
x x
x
x x
x x
x
x x
x x x
x
x x
Sustituyendo la identidad 2 2
sen x cos x 1 se obtiene
2 2
(sen cos ) 1 2 cos
2 csc
(1 cos )(sen )
1 1 2 cos
2 csc
(1 cos )(sen )
2 2 cos
2 csc
(1 cos )(sen )
2(1 cos )
2 csc
(1 cos )(sen )
2 csc
(sen )
x x x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
Finalmente, como
csc
sen
x
x
. Se demuestra la identidad
2 2 csc
sen
2 csc 2 csc
x
x
x x
Ejemplo 3: Demostración de identidad trigonométrica
Demuestre la identidad trigonométrica
2
1 cos tan
cos sec 1
Solución
En éste ejemplo se recomienda trabajar sobre el lado derecho ya que las funciones
tan y sec se pueden expresar en términos de senos y cosenos y luego efectuar las
operaciones algebraicas resultantes.
2 2 2 2 2 2 2 2
1 cos tan
cos sec 1
sen
cos
cos
sen
cos
1 cos
cos
sen cos
cos (1 cos )
sen
cos (1 cos )
En este punto parece ser que ya no hay operaciones algebraicas por efectuar y se debe
pensar en una sustitución trigonométrica, como 2 2
sen x cos x 1 , se tiene que
2 2
sen x 1 cos x. Al hacer la sustitución en el numerador y factorizar la
diferencia de cuadrados se completa la demostración
2
1 cos 1 cos
cos cos (1 cos )
(1 cos )(1 cos )
cos (1 cos )
1 cos
cos
Ejemplo 4: Demostración de identidad trigonométrica
Demuestre la identidad trigonométrica
1 cos sen
sen 1 cos
t t
t t
Solución
Observe que ni en el lado izquierdo, ni en el lado derecho se pueden efectuar operaciones algebraicas. Por otro lado ambos lados están expresados en términos de senos y cosenos, por lo que no es posible utilizar una sustitución trigonométrica. En estos casos el problema se puede resolver multiplicando el numerador y denominador por la misma expresión, de manera que se forme una diferencia de cuadrados.
1 cos sen
sen 1 cos
sen 1 cos
1 cos 1 cos
t t
t t
t t
t t
Ahora se pueden operar los productos resultantes y usar alguna identidad trigonométrica
2 2 2 2 2cos x (cot x 1) csc x cot x 1
2 2 2 2 csc x sec x csc x sec x
cot cos csc sen sec tanx sec tan
x x x x x x x
2 csc 2cos cot sec
x x x x
tan sen (^) tan sen
tan sen tan sen
y y (^) y y
y y y y
cot^2 y sec^2 y 1 cot^2 y
2
sec cot csc csc cot sec
x x x x x x
2 1 sen cos tan cos sen cos
x x x x x x
2 2 2 2 2
tan cot 1 4sen cos sec csc
x x x x x x
(^2) sen^2 cos sen
tan sen 1 cos
x^ x^ x
x x x
6 6 2 2 2
sen cos 1 sen cos 2sen 1
x x x x x
3 3 cos sec (^2 ) sec sen cos sec
x x x x x x
2 2 2 2 sec x cot x cos x csc x 1
49. sen^6 x cos^6 x 1 3sen^2 x cos^2 x
1 cos 2 csc cot 1 cos
x x x x
2 1 sen x cos x 2(1 sen x )(1 cos x )
sen sen 2 cot csc cot csc
2 4 4 2
2cot sen cos 1 csc
2
2
sec tan (sen 1)
sec tan cos
x x x
x x x
1 sen cos cos
1 sen cos 1 sen
x x x
x x x
1 tan sec 1 sec
1 tan sec tan
x x x
x x x
2 2
3 2
4 tan sec 4 tan sec 1 1 4 tan tan
x x x x
x x
tan tan tan tan cot cot
x y x y x y
cot cot tan tan
1 cot cot tan tan 1
x y y x
x y x y
2 2 2 2 2 sen x 2cos x cos x cot x csc x
