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El desarrollo de dos ejercicios de cálculo de transformadas inversas de laplace. En el primer ejercicio, se descompone la fracción racional en fracciones parciales y se calcula la transformada inversa de cada término. En el segundo ejercicio, se sigue un procedimiento similar, pero con una fracción racional de mayor complejidad. El documento muestra el paso a paso del proceso de resolución, incluyendo la aplicación de las propiedades de la transformada inversa de laplace. Este material podría ser útil para estudiantes de ingeniería o ciencias que estén aprendiendo sobre transformadas de laplace y su aplicación en el análisis de sistemas lineales.
Tipo: Ejercicios
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Hallar las transformadas inversas siguientes:
Ejercicio 1.-
− 1
F ( s )
s
( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
Creamos un modelo para la fracción parcial usando el denominador:
s
( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
s + 1
a 1
( s + 1 )
2
a 2
s + 2
Multiplicamos los numeradores de las fracciones:
s ¿ ( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
L ( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
s + 1
a 1 ∗( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
( s + 1 )
2
a 2 ∗( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
s + 2
Simplificando:
s = L ∗( s + 1 )∗( s + 2 )+ a 1 ∗( s + 2 ) + a 2 ∗( s + 1 )
2
Sustituyendo s=-
− 1 = L ∗(− 1 + 1 )∗(− 1 + 2 )+ a 1 ∗(− 1 + 2 ) + a 2 ∗(− 1 + 1 )
2
− 1 = a 1
Sustituyendo s=-2:
− 2 = L ∗(− 2 + 1 )∗(− 2 + 2 )+ a 1 ∗(− 2 + 2 )+ a 2 ∗(− 2 + 1 )
2
− 2 = a 2
Sabiendo que a1=-1 y a2=-2:
s = L ∗( s + 1 )∗( s + 2 )+(− 1 )∗( s + 2 )+(− 2 )∗( s + 1 )
2
s = L ( s
2
2
− 4 s − 2 )
s =( L s
2
2
− 4 s − 2 )
s = L s
2
− 2 s
2
Agrupando y separando términos:
s = s
2
Despejando el valor de
Ahora de la ecuación anterior ya encontramos el valor de cada literal L=2, a1=-1, a2=-
Para la tercera parte:
− 1
{
s + 2
}
De la transformada inversa
− 1
{
s − a
}
= e
− a ∗ t
a=-
− 1
{
s + 2
}
= 2 e
− 2 ∗ t
El resultado final es:
− 1
F ( s )
s
( s + 1 )
2
∗( s + 2 )
= 2 e
− t
− e
− t
∗ t − 2 e
− 2 t
Ejercicio 2.-
− 1
( s + 3 )∗( s + 4 )∗( s + 5 )
( s + 1 )∗( s + 2 )
Desarrollamos los productos:
s
3
2
s
2
Dividimos el término de mayor grado en el numerador con el del denominador
s
3
s
2
= s
2
3
2
s
3
2
s
3
2
= 9 s
2
s +
9 s
2
s
2
Dividimos el término de mayor grado en el numerador con el del denominador
9 s
2
s
2
s
2
= 9 s
2
9 s
2
−( 9 s
2
Quedando:
s + 9
18 s + 42
s
2
Para crear un modelo de fracción parcial hacemos:
18 s + 42
( s + 1 )∗( s + 2 )
s + 1
a 1
s + 2
( 18 s + 42 )∗( s + 1 )∗( s + 2 )
( s + 1 )∗( s + 2 )
L ∗( s + 1 )∗( s + 2 )
s + 1
a 1 ∗( s + 1 )∗( s + 2 )
s + 2
18 s + 42 = L ( s + 2 )+ a 1 ( s + 1 )
Para la raíz del denominador sustituimos s=-
18 (− 1 )+ 42 = L (− 1 + 2 )+ a 1 (− 1 + 1 )
Para la raíz del denominador hacemos s=-
18 (− 2 )+ 42 = L (− 2 + 2 )+ a 1 (− 2 + 1 )
6 =− a 1
Teniendo los valores de L y a1 los sustituimos de la fórmula original:
− 1
{
s + 9 +
s + 1
s + 2
}
Podemos agarrar cada término por separado por la propiedad de linealidad de la
transformada inversa de Laplace:
− 1
De la transformada inversa de Laplace:
