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Transformadas de Laplace
La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación
algebraica más fácil de resolver.
Un ejemplo sencillo de transformación matemática es cuando el problema de multiplicación se cambia por
la simple operación de adición mediante la transformación logarítmica.
log 𝐴 = log BC = log 𝐵 + 𝑙𝑜𝑔 𝐶
log 𝐴 = 𝐷
Para encontrar el valor de A se debe realizar la operación antilogaritmo
Por ejemplo
log 𝑍 = log 𝑥 − log 𝑦
− 1
(log 𝑥 − log 𝑦)
La transformada de Laplace es un tipo similar de operación matemática a esta transformación logarítmica.
La ecuación diferencial que describe cómo se comporta un circuito con el tiempo se transforma en
relaciones algebraicas sencillas, que no involucran el tiempo, donde es posible realizar las manipulaciones
algebraicas normales de las cantidades; el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo se
transforma al dominio de s , en el cual se pueden realizar manipulaciones algebraicas. Entonces se utiliza
una transformada inversa a fin de obtener la solución que describe cómo la señal varía con el tiempo.
La transformación de Laplace
El matemático francés P. S. Laplace (1749-1827) descubrió una forma de resolver ecuaciones diferenciales:
multiplicar cada término de la ecuación por 𝑒
−𝑠𝑡
y, así, integrar cada uno de esos términos respecto al tiempo
desde cero hasta infinito; s es una constante con unidades de 1/tiempo.
∫ (𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜)𝑒
−𝑠𝑡
∞
0
Debido a que el término es una función del tiempo, se escribe como f(t) , como la transformada de Laplace
es una función de s , se escribe como F(s). Se usa la letra mayúscula F para la transformada de Laplace y la
letra minúscula f para la función del tiempo.
−𝑠𝑡
∞
0
Con [𝑠] =
1
𝑠𝑒𝑔
Ejemplo: tenemos una resistencia R a través del cual circula una corriente i y la diferencia de potencial es
V , se escribiría
Puesto que tanto V como i son funciones del tiempo
Las transformadas de Laplace de V y de i transforman la ecuación a
La transformada de Laplace para una función escalón
La función escalón se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, por ejemplo, el cambio en el
voltaje (entrada) aplicado a un circuito cuando éste se enciende de manera súbita. La forma que tomaría
una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del
escalón es 1 unidad.
La ecuación para esta función es
𝑓(𝑡) = 1 para todos los valores t mayores a 0
𝑓(𝑡) = 0 para los valores de t menores que 0.
La transformada de Laplace para valores mayores que 0, es
−𝑠𝑡
∞
0
−𝑠𝑡
0
∞
Puesto que cuando 𝑡 = ∞ ⟶ 𝑒
−∞
− 0
Si ahora en lugar de una señal de entrada escalón de altura 1 unidad se tiene una de una altura de a unidades,
entonces para todos los valores de t mayores que 0 se tiene
−𝑠𝑡
∞
0
−𝑠𝑡
∞
0
Reglas:
Se dispone de tablas que proporcionan las transformadas de todas las funciones más comunes, que,
combinadas con algunas reglas básicas para manipular dichas transformadas, permiten abordar los
problemas por resolver.
𝐶
Dividimos y multiplicamos por RC
𝐶
𝐶
𝐶
Tenemos algo similar a
Con 𝑎 = 1 /𝑅𝐶
La antitransformada de (3) por tabla es
−𝑎𝑡
Es decir
−
𝑡
𝑅𝐶
Entonces
𝐶
−
𝑡
𝑅𝐶 )
La figura muestra la gráfica de esta ecuación. Las
formas de la ecuación y la gráfica son típicas de
sistemas de primer orden sujetos a una entrada
escalón. RC es la constante de tiempo 𝝉.
Teoremas del valor inicial y del valor final
Teorema del valor inicial: Si la transformada de Laplace es multiplicada por s , el valor del producto
cuando s tiende a infinito es el valor de la transformada inversa a medida que el tiempo t tiende a cero.
lim
𝑠 ∙ 𝐹(𝑠) = lim
𝑓(𝑡)
Teorema del valor final: Si la transformada de Laplace se multiplica por s , el valor del producto
cuando s tiende a cero es el valor de la transformada inversa a medida que el tiempo tiende a infinito.
lim
𝑠 ∙ 𝐹
( 𝑠
) = lim
𝑓(𝑡)
Ejemplo: Para un circuito RL en serie alimentado por una entrada escalón de magnitud V en t = 0 , la
variación de corriente con el tiempo va a estar dada por la ecuación
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = 𝑉 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙ó𝑛
Como
𝑖
(𝑡) = 𝑉 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙ó𝑛
𝑖
𝑖
Entonces
lim
𝑡→∞
𝑖(𝑡) = lim
𝑠→ 0
𝐼(𝑠) ∙ 𝑠 = lim
𝑠→ 0
[𝑉
] 𝑠
lim
𝑠→ 0
[𝑉
] =
lim
𝑡→ 0
𝑖(𝑡) = lim
𝑠→∞
𝐼(𝑠) ∙ 𝑠 = lim
𝑠→∞
[𝑉
] 𝑠
lim
𝑠→∞
[𝑉
] = 0
Dividimos y multiplicamos por RL a (1)
Juntamos V con R y a R con L
Queda de la forma
𝑎
𝑠
( 𝑠+𝑎
)
con 𝑎 = 𝑅/𝐿
La antitransformada es
−𝑎𝑡
−
𝑅
𝐿
𝑡
Es decir que
−
𝑅
𝐿
𝑡
La gráfica de esta ecuación es de forma similar a la de la gráfica del ejemplo anterior, la constante de tiempo
𝝉 es L/R y el valor de la corriente alcanzada es V/R.
