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La transformada de Fourier:
propiedades y aplicaciones
Russell Wade: He tought me the mathematics of anatomy, but he could not teach me the poetry of medicine (The body snatcher, Robert Wise, 1945).
El concepto matemático que hoy conocemos como transformada de Fourier fue introducido por Joseph B. Fourier en 1811, en conexión con un tratado sobre la propagación del calor, mediante un argumento de pa- so al límite (del discreto al continuo) a partir de las series que también llevan su nombre. La transformada de Fourier –y el análisis armónico en general– constituye hoy una de las herramientas más útiles para el estudio y el tratamiento de múltiples aspectos de las ecuaciones en derivadas par- ciales. Podría decirse que en este ámbito desempeña un papel análogo al de la transformada de Laplace en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias, permitiendo simplificaciones notables en las ecuaciones toda vez que contribuye a transformar derivadas en potencias, esto es, opera- dores diferenciales en polinomios. Es también significativo el papel que la transformada de Fourier juega en el terreno de las aplicaciones, funda- mentalmente en teoría de la señal, teoría cuántica de campos, tomografía y tratamiento y digitalización de imágenes.
Definición y primeras propiedades. Funciones de
Schwartz y distribuciones temperadas
Aunque el concepto de transformada de Fourier puede introducirse di- rectamente sobre funciones de L^1 ( R d) y adquiere pleno sentido, comenza- remos estudiándolo, por razones que serán expuestas más adelante, sobre
2 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
el espacio de Schwartz S( R d) constituido por las funciones de clase C∞( R d) que decrecen rápidamente en infinito; esto es, aquellas funciones φ : R d^ → R infinitamente derivables en el sentido usual que, junto con todas sus de- rivadas, decrecen más rápidamente que cualquier potencia de (^) |^1 x| cuando
|x| → ∞. Dicho de otro modo:
l´ım |x|→∞
|x α^ D βφ (x)|
= 0 ∀ α , β ∈ ( N ∪ { 0 })d^ ,
donde x α^ = x α 1 1... x α d d, D βφ = ∂
| β | φ ∂ x β 1 1 ...x β dd
y | β | = β 1 + β 2 +... + β d. Un
ejemplo obvio de funciones que pertenecen al espacio de Schwartz son las de D( R d). La familia numerable de seminormas
‖ φ ‖ α , β = sup x∈ R d
|x α^ D βφ (x)|
da lugar a una topología en S( R d) generada por intersecciones finitas de bolas definidas con respecto a tales seminormas, mientras que la conver- gencia de una sucesión { φ n} ⊂ S( R d) hacia φ ∈ S( R d) ha de entenderse del modo l´ım n→∞ {‖ φ n − φ ‖ α , β } = 0
para cualesquiera multiíndices α y β. El dual topológico de S( R d) (denotado S′( R d)) está formado por todos los operadores lineales y continuos definidos sobre S( R d), y sus elemen- tos reciben el nombre de distribuciones temperadas. Tal denominación no es fortuita ni inapropiada, pues los objetos de S′( R d) lo son también de D′( R d) (cf. Ejercicio 2). Por otra parte, el concepto de convergencia en este espacio es el propio de la topología débil ?: una sucesión {Tn} ⊂ S′( R d) converge hacia T ∈ S′( R d) si
l´ım n→∞ 〈Tn, φ 〉S′,S = 〈T, φ 〉S′,S ∀ φ ∈ S( R d).
El lector interesado puede consultar [Sch] para obtener información más detallada a este respecto.
Ejemplo 1. Enumeramos a continuación algunos elementos destacados en el espacio de las distribuciones temperadas.
(a) El espacio de Schwartz es denso en Lp( R d) para todo 1 ≤ p < ∞ (no olvidemos que contiene a D( R d)) y, por supuesto, S( R d) ⊂ L∞( R d) aunque la inyección no sea densa. En consecuencia, para todo 1 ≤
4 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
Finalmente, para demostrar la unicidad de T˜ bastaría con admitir la existencia de S˜ ∈ S′( R d) coincidente con T en D( R d), y compro- bar que ha de ser S˜ = T˜. En efecto, T˜ − S˜ ∈ S′( R d) y se anula en D( R d), que a su vez es un conjunto denso en S( R d). Un teorema de extensión clásico (Teorema BLT) nos permite concluir el argumento.
La razón principal para comenzar estudiando la transformada de Fou- rier sobre esta clase de funciones estriba en el hecho de que es actuando sobre S( R d) (o bien sobre S′( R d)) cuando el operador inverso de Fourier cobra sentido a priori, pues la transformada de Fourier es cerrada para es- tos espacios (como se demostrará más avanzado el capítulo) en tanto que no lo es para L^1 ( R d). En otras palabras, trabajando el concepto de transfor- mada de Fourier en cualquiera de estos dos espacios tenemos garantizado de antemano el buen planteamiento de su construcción inversa.
Definición 1 (Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier en el espacio de Schwartz). La transformada de Fourier F [ φ ] : R d^ → C de una función φ ∈ S( R d) (también denotada a menudo ˆ φ ) se define como
F φ =
∫
R d^
φ (x) e−ix·y^ dx. (2)
La transformada inversa de Fourier de φ es la función
F −^1 φ =
( 2 π )d
∫
R d^
φ (x) eix·y^ dx. (3)
Aunque el marco funcional en el que la transformada de Fourier así definida tiene pleno sentido es bastante más amplio, baste de momento indicar que si f ∈ L^1 ( R d) entonces las integrales (2) y (3) están obviamente bien definidas para todo y ∈ R d. Además sabemos que S( R d) ⊂ L^1 ( R d), por lo que la definición anterior es válida para cualquier función de S( R d).
Definición 2 (Transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier de una distribución temperada). La transformada de Fourier de un funcio- nal T ∈ S′( R d) es un funcional F [T] : S( R d) → C que se define en términos de la siguiente identidad:
F T = T(F [ φ ]) ∀ φ ∈ S( R d). (4)
La transformada inversa de Fourier de T es el funcional
F −^1 T =
( 2 π )d^
F [T]
R φ
donde R denota el operador de reflexión.
Obsérvese que para que esta definición tenga sentido es necesario que se cumpla F [ φ ] ∈ S( R d), lo cual será verificado en breve por medio del Teorema 3. En este mismo resultado se comprobará asimismo que la trans- formada de Fourier de una distribución temperada es otra distribución temperada. A continuación estudiamos algunas de las propiedades más relevan- tes de la transformada de Fourier. Para ello introducimos previamente las definiciones correspondientes a la acción del operador de traslación sobre una distribución temperada, la acción de una distribución temperada so- bre una homotecia, y el producto de un polinomio, de un cambio de fase y de una función de la clase de Schwartz por una distribución temperada:
Definición 3. Dados T ∈ S′( R d), α = ( α 1 ,... , α d) un multiíndice, λ ∈ R \ { 0 } y x, a ∈ R d, se definen las siguientes distribuciones temperadas:
(i) x α^ T( φ ) := T(x αφ ),
(ii) τ a T( φ ) := T( τ −a φ ),
(iii) T( λ x)( φ ) := T
1 | λ |d^ φ
( (^) x λ
(iv) eia·x^ T( φ ) := T
eia·x φ
(v) ψ T( φ ) := T( ψφ ),
para cualesquiera φ , ψ ∈ S( R d).
Teorema 1. Las siguientes propiedades son satisfechas:
(a) [Transformada de Fourier de una derivada] Para cualesquiera φ ∈ S( R d), T ∈ S′( R d) y α un multiíndice, se cumple
F [D αφ ] = i| α |y α F [ φ ] , F [ ∂α^ T] = i| α |^ x α F [T].
Nótese que en estas identidades D α^ y ∂α^ denotan cualquier derivada de orden α en el sentido clásico y distribucional, respectivamente.
(b) [Diferenciación de la transformada de Fourier] Para cualesquiera φ ∈ S( R d), T ∈ S′( R d) y α un multiíndice, se cumple
D α (F [ φ ]) = F [(−i)| α |^ x αφ ] , ∂α (F [T]) = F [(−i)| α |y α^ T].
Como en (a), en las identidades anteriores D α^ y ∂α^ denotan cualquier derivada de orden α en el sentido clásico y distribucional, respecti- vamente.
José L. López
(h) [Continuidad y caída en infinito] Para toda φ ∈ S( R d), F [ φ ] es una función continua y acotada en R d. Además, {F φ } → 0 en C si |y| → ∞.
Demostración. (a) Se tiene
F D αφ =
∫
R d^
D αφ (x) e−ix·y^ dx = (− 1 )| α |
∫
R d^
φ (x) D α (e−ix·y) dx
= i| α |y α
∫
R d^
φ (x) e−ix·y^ dx = i| α |y α F φ ,
para lo que se ha utilizado la fórmula clásica de integración por partes. En el caso distribucional se tiene
F ∂α^ T = ∂α^ T
F [ φ ]
= (− 1 )| α |T
D α F [ φ ]
(b) = (− 1 )| α |T
F
[
(−i)| α |^ x αφ
])
= i| α |F [T](x αφ ) De f. 3 (i) = i| α |^ x α F T.
(b) Se tiene
D α F φ = D α
R d^
φ (x) e−ix·y^ dx
∫
R d^
φ (x) D α
e−ix·y
dx
=
∫
R d^
φ (x) (−i)| α |^ x α^ e−ix·y^ dx = F (−i)| α |^ x αφ .
En el caso distribucional se tiene
∂α (F [T])( φ ) = (− 1 )| α |F [T]
D αφ
= (− 1 )| α |T
F [D αφ ]
(a) = (− 1 )| α |T
i| α |y α F [ φ ]
) (^) De f. 3 (i) = (−i)| α |y α^ T
F [ φ ]
= F
[
(−i)| α |y α^ T
]
( φ ).
(c) Se tiene
F τ a φ =
∫
R d^
φ (x − a) e−ix·y^ dx =
∫
R d^
φ (u) e−i(u+a)·y^ du
= e−ia·y
∫
R d^
φ (u) e−iu·y^ du = e−ia·yF φ .
En el caso distribucional se tiene
F τ a T = τ a T
F [ φ ]
) (^) De f. 3 (ii) = T
τ −aF [ φ ]
) (^) (d) = T
F [e−ia·x φ ]
= F [T]
e−ia·x φ
) (^) De f. 3 (iv) = e−ia·xF T.
José L. López
8 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
(d) Se tiene
τ aF φ =
∫
R d^
φ (x) e−ix·(y−a)^ dx = F eia·x φ .
En el caso distribucional se tiene
τ aF T
De f. 3 (ii) = F [T]
τ −a φ
= T
F [ τ −a φ ]
) (^) (c) = T
eia·yF [ φ ]
De f. 3 (iv) = eia·y^ T
F [ φ ]
= F
[
eia·y^ T
]
( φ ).
(e) Si λ 6 = 0, se tiene
F φ ( λ x) =
∫
R d^
φ ( λ x) e−ix·y^ dx
| λ |d
∫
R d^
φ (u) e−i^
u λ ·y^ du = 1 | λ |d^
F [ φ ]
( (^) y
λ
En el caso distribucional
F T( λ x) = T( λ x)
F [ φ ]
De f. 3 (iii) = T
| λ |d^
F [ φ ]
( (^) x
λ
= T
F [ φ ( λ y)]
= F [T]
φ ( λ y)
) (^) De f. 3 (iii)
| λ |d^
F [T]
( (^) y
λ
( φ ).
(f) Se tiene ∫
R d^
F φ ψ (y) dy =
∫
R d
R d^
φ (x) e−ix·y^ dx
ψ (y) dy
∫
R d^
φ (x)
R d^
ψ (y) e−ix·y^ dy
dx
=
∫
R d^
φ (x)F ψ dx.
La identidad de Parseval se obtiene a partir de (6) tomando F [ ψ ] = ϕ ,
de donde se desprende que ψ = ( 2 π )−d^ F [ ϕ ] (véase el Teorema 2 que viene a continuación). Finalmente, para obtener la fórmula de Plancherel basta con elegir ψ = φ en la identidad de Parseval y extraer raíces cuadra- das.
10 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
luego
∣F φ
∫
R d
φ (z) − φ
z −
π y |y|^2
e−iz·y^ dz
∫
R d
∣ φ (z)^ −^ φ
z −
π y |y|^2
∣ dz^.
Finalmente, usando el resultado del Ejercicio 13 del capítulo anterior se obtiene que
l´ım |y|→∞
∥ φ (·)^ −^ φ
π y |y|^2
L^1 ( R d)
y por consiguiente {F φ } → 0. En el siguiente resultado justificamos el nombre de transformada in- versa de Fourier que acompaña a F −^1 en las definiciones 1 y 2. Compro- baremos que, en efecto, se trata del operador inverso de la transformada de Fourier F.
Teorema 2 (Fórmula de inversión de Fourier en S( R d)). Sea φ ∈ S( R d). Entonces
φ (x) =
( 2 π )d
∫
R d^
F φ eiy·x^ dy
para todo x ∈ R d.
Demostración. Consideramos la función gaussiana G(x) = e− π |x|
2 y defi-
nimos la siguiente sucesión de funciones: Gn(x) = G
x n
. Entonces
F Gn = ndF G (8)
en virtud del Teorema 1 (e). Además
∫
R d^
F φ G
( (^) y
n
dy =
∫
R d^
F φ Gn(y) dy =
∫
R d^
φ (y)F Gn dy
= nd
∫
R d^
φ (y)F G dy =
∫
R d^
φ
( (^) y n
F G dy ,
donde se ha usado (8), el teorema de cambio de variable y la propiedad de simetría (f) del Teorema 1. Si tomamos ahora el límite n → ∞, una
aplicación del teorema de la convergencia dominada^2 nos conduce a la siguiente identidad:
G( 0 )
∫
R d^
F φ dy = φ ( 0 )
∫
R d^
F G dy. (9)
Como G( 0 ) = 1 y F G = e−^
|y|^2 4 π (^) (véase el Ejemplo 2 (c) más abajo),
podemos reescribir (9) de la siguiente forma: ∫
R d^
F φ dy = ( 2 π )d φ ( 0 ). (10)
Aplicando finalmente la fórmula (10) al operador de traslación τ −x obte- nemos (^) ∫
R d^
F τ −x φ dy = ( 2 π )d φ (x). (11)
Pero F τ −x φ = eiy·xF φ en virtud del Teorema 1 (c), de modo que al reemplazar esta identidad en el primer miembro de la fórmula (11) se obtiene la propiedad deseada. El siguiente resultado pone de manifiesto, entre otras propiedades, que la clase de Schwartz S( R d) y la clase de las distribuciones temperadas S′( R d) son cerradas tanto para la transformada de Fourier como para la correspondiente transformada inversa.
Teorema 3. La transformada de Fourier es un homeomorfismo lineal de S( R d) en S( R d) y de S′( R d) en S′( R d).
Demostración. La llevamos a cabo en dos etapas:
Primera etapa: F : S( R d) → S( R d) es un homeomorfismo lineal. Sea φ ∈ S( R d).
(a) [F es cerrada en S( R d)] Claramente F [ φ ] es continua en virtud del Teorema 1 (h). Con respecto a su derivabilidad se dispone de la pro- piedad (a) del Teorema 1:
D α (F [ φ ])(x) = F (−i)| α |y αφ .
Como la función (−i)| α |y αφ pertenece claramente a S( R d) (puesto que φ ∈ S( R d)) sabemos que su transformada de Fourier es con- tinua, luego podemos afirmar que D α (F [ φ ]) es continua cualquiera (^2) Ver Ejercicio 6
José L. López
Por otra parte, la linealidad de F [T] actuando sobre S( R d) es de verificación inmediata, de donde se concluye que F [T] ∈ S′( R d).
(b) [Linealidad] Sean α , β ∈ R y T, S ∈ S′( R d). Entonces
F α T + β S = ( α T + β S)(F [ φ ]) = α T(F [ φ ]) + β S(F [ φ ]) = α (F [T])( φ ) + β (F [S])( φ )
para toda Φ ∈ S( R d).
(c) [Bicontinuidad] Sea {Tn} ⊂ S′( R d) tal que {Tn} → T en S′( R d). Entonces, para toda φ ∈ S( R d) se verifica
{F Tn} = {Tn(F [ φ ])} → T(F [ φ ]) = F T ,
luego F : S′( R d) → S′( R d) es continua. La transformada inversa de Fourier F −^1 : S′( R d) → S′( R d) también es continua, toda vez que F −^1 = ( 2 π )−^2 dF 3 (remitimos nuevamente al Ejemplo 2 (a)).
(d) [Biyectividad] Si S ∈ S′( R d), podemos definir
T( φ ) := S(F −^1 [ φ ]) ∀ φ ∈ S( R d).
Claramente F [T] = S, luego F : S′( R d) → S′( R d) es sobreyec- tiva. Para verificar la inyectividad supongamos que F [T] = 0. En- tonces T(F [ φ ]) = 0 para toda φ ∈ S( R d). Como F : S( R d) → S( R d) es sobreyectiva, esta última condición se puede reformular como T( ψ ) = 0 para toda ψ ∈ S( R d) y, por consiguiente, T ≡ 0 y F : S′( R d) → S′( R d) es inyectiva.
Ejemplo 2. Detallamos a continuación algunos ejemplos de cálculo de la transformada de Fourier, ya sea en el ámbito de la clase de Schwarz como en el de las distribuciones temperadas, haciendo especial hincapié en los elementos de análisis complejo necesarios para llevarlo a cabo con rigor.
(a) Comprobemos que F δ x 0 = e−ix^0 ·x^ en el sentido de las distribu- ciones temperadas. En efecto, las siguientes identidades son satisfe- chas:
F δ x 0 = δ x 0 (F [ φ ]) = F [ φ ](x 0 ) =
∫
R d^
φ (x)e−ix·x^0 dx = Tf ( φ ) ,
José L. López
14 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
con f (x) = e−ix^0 ·x. Si en la expresión anterior tomamos x 0 = 0 se obtiene la propiedad F [ δ 0 ] = 1 , de donde se deduce que δ 0 = F −^1 [ 1 ] = (^) ( 2 π^1 )d F [ 1 ] y, en consecuencia,
F [ 1 ] = ( 2 π )d δ 0.
Al hilo de estas propiedades podemos verificar cómodamente la re- lación F −^1 = ( 2 π )−^2 dF 3 usada con anterioridad. En (7) ya se dedujo que F 2 [ φ ] = ( 2 π )d^ R φ , luego
F 3 φ = ( 2 π )d
∫
R d^
(R φ )(z) e−iz· ω^ dz
= ( 2 π )d
∫
R d^
φ (z) eiz· ω^ dz = ( 2 π )^2 dF −^1 φ
después de haber aplicado en repetidas ocasiones el teorema de Fu- bini.
(b) La siguiente identidad es una consecuencia inmediata del enunciado (b) del Teorema 1 y del ejemplo anterior:
F [x α ] = i| α | ∂α (F [ 1 ]) = ( 2 π )di| α | ∂αδ 0.
(c) F [e− α
(^2) x 2 ](y) =
√ π | α | e
− y 2 4 α^2. En efecto, completando cuadrados en el integrando se obtiene
F [e− α
(^2) x 2 ](y) =
∫ (^) ∞
−∞
e− α
(^2) x (^2) −ix·y dx = e−^
y^2 4 α^2
∫ (^) ∞
−∞
e−( α x+^
i 2 α y) 2 dx
| α |
e−^
y^2 4 α^2
∫ (^) ∞
−∞
e−( λ +^ 2 i α y)^2 d λ =
| α |
e−^
y^2 4 α^2
∫
Im(u)= 2 y α
e−u
2 du.
Basta entonces con verificar que la recta del plano complejo Im(u) = y 2 α puede^ transportarse^ al eje real Im(u) =^ 0, ya que en ese caso po- dríamos escribir ∫
Im(u)= 2 y α
e−u
2 du =
∫ (^) ∞
−∞
e− λ
2 d λ =
π , (14)
obteniendo con ello el resultado esperado. Para comprobar la pro- piedad (14) consideramos el contorno rectangular cR de la Figura 2.
16 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
r cR^1
cR^2
cR^3
cR^4
Figura 1: Contorno de integración en (14)
se tiene que
F Tf = Tf
F [ φ ]
∫
R^3
F φ |x|^2
dx
= 2 π
∫
R^3
( ∫^ ∞
0
te− π t
(^2) |x| 2 dt
F φ dx
= 2 π
∫ (^) ∞
0
t
R^3
e− π t
(^2) |x| 2 F φ dx
dt
= 2 π
∫ (^) ∞
0
t^2
R^3
e − |x| 2 4 π t^2 φ (x) dx
dt ,
para lo que se ha empleado el teorema de Fubini y el hecho de que ∫
R^3
e− π t
(^2) |x| 2 F φ dx =
t^3
∫
R^3
e − |x| 2 4 π t^2 φ (x) dx
en virtud de la identidad de Parseval (Teorema 1 (f)) y del ejemplo expuesto en (c). Bastará, pues, con calcular
2 π
∫ (^) ∞
0
t^2
e−^
|x|^2 4 π t^2 dt = 2 π |x|
∫ (^) ∞
0
e−^ 4 s^2 π ds =
2 π^2 |x|
(e) La transformada de Fourier de la función característica del intervalo [−a, a] ⊂ R (a > 0 ),
χ −a,a =
1 si x ∈ [−a, a] 0 si x ∈/ [−a, a]
es F
[
χ [−a,a]
]
(y) =
y
sen(ay).
(f) El siguiente ejemplo es un ejercicio interesante de integración com-
pleja. Calculemos F
[
ei α |x|
2 ]
, donde x ∈ R d^ y α > 0. Como
ei α |x|
2 = ei α x 12 ei α x
(^22)
... ei α x
(^2) d ,
bastará con calcular la transformada de Fourier de la función f (x) = ei α x
2 con x ∈ R. Considerando la identificación de esta función con la correspondiente distribución temperada Tf y construyendo la su- cesión de funciones
fn(x) =
f (x) si − n < x < n 0 si |x| ≥ n
es inmediato concluir que {Tfn } → Tf en S′( R ) o, dicho de otro modo,
{Tfn ( φ )} =
{ ∫^ n
−n
ei α x
2 φ (x) dx
∫ (^) ∞
−∞
ei α x
2 φ (x) dx = Tf ( φ )
para toda φ ∈ S( R ). Entonces la continuidad de la transformada de Fourier (cf. Teorema 3) asegura que {F [Tfn ]} → F [Tf ] en S′( R ), por lo que (abusando del lenguaje)
F f = l´ım n→∞
F fn
∫ (^) ∞
−∞
eix( α x−y)^ dx
= e−i^
y^2 4 α
∫ (^) ∞
−∞
ei α (x−^
y 2 α )
2 dx = e−i^
y^2 4 α
∫ (^) ∞
−∞
ei αξ
2 d ξ
= 2 e−i^
y^2 4 α
∫ (^) ∞
0
ei αξ
2 d ξ (16)
sin más que completar cuadrados en el integrando. Para resolver la integral
0 e
i αξ^2 d ξ utilizamos el contorno Γ = OABO en el plano complejo (véase la Figura 2).
Como la función z 7 → ei α z
2 es holomorfa y la curva Γ es cerrada, el teorema de Cauchy garantiza que ∫
Γ
ei α z
2 dz = 0.
José L. López
entre R y 0. En este caso ∫
BO
ei α z
2 dz = −
( 1 + i)
∫ (^) R
0
e− αξ
2 d ξ = −
2 ( 1 + i) 2
α
∫ √ α R
0
e− ξ
2 d ξ ,
de modo que (17) puede reescribirse de la siguiente forma:
∫ (^) R
0
ei αξ
2 d ξ = −
∫
AB
ei α z
2 dz +
2 ( 1 + i) 2
α
∫ √ α R
0
e− ξ
2 d ξ. (18)
Como
0 e
− ξ^2 d ξ =
√ π 2 , al pasar al límite^ R^ →^ ∞^ en (18) se deduce ∫ (^) ∞
0
ei αξ
2 d ξ =
2 π ( 1 + i) 4
α
Por tanto, a raíz de la fórmula (16) se obtiene
F f =
2 π ( 1 + i) 2
α
e−i^
y^2 4 α (^). (20)
Finalmente,
F
[
ei α |x|
2 ]
(y) =
2 π ( 1 + i) 2
α
)d e−i^
|y|^2 4 α (^).
(g) A continuación proponemos otra forma de resolver el problema abor- dado en (g) bajo la hipótesis (más general) α ∈ C. Consideramos el caso n = 1 y, tratando α como variable, definimos
f (y, α ) = F
[
ei α x
2 ]
(y). (21)
Un cálculo sencillo que involucra a las propiedades expuestas en el Teorema 1 (a) y (b) nos conduce a la identidad
iy f (y, α ) = F
[ (^) d
dx
ei α x
2 )]
(y) = F [ 2 i α xei α x
2 ](y) = − 2 α
∂ f ∂ y
(y, α ) ,
de donde se obtiene la siguiente ecuación lineal en derivadas parcia- les: ∂ f ∂ y
(y, α ) + i
y 2 α
f (y, α ) = 0. (22)
José L. López
20 Funciones de Schwartz y distribuciones temperadas
Resolviendo (22) llegamos a la expresión
f (y, α ) = C( α )e−i^
y^2 4 α (^) , (23)
donde C( α ) es una constante a determinar que depende de α. Derivando ahora en (21) con respecto a α y volviendo a hacer uso del Teorema 1 (b) observamos que
∂ f ∂α
(y, α ) = F
[
ix^2 ei α x
2 ]
(y) = −i
∂^2 f ∂ y^2
(y, α ) ,
de donde se deduce una nueva ecuación en derivadas parciales que ha de ser satisfecha por f :
∂ f ∂α
(y, α ) + i
∂^2 f ∂ y^2
(y, α ) = 0. (24)
Sustituyendo (23) en (24) obtenemos la siguiente ecuación diferencial para C( α ): C′( α ) +
2 α
C( α ) = 0 ,
por lo que
C( α ) =
K
α
K
| α |
e−i^
θ (^2) (25)
después de considerar la representación polar α = | α |ei θ. Solamente resta determinar el valor de la constante K. Para ello eva- luamos f (y, i) en (21) y (23) y aplicamos el cálculo llevado a cabo en (c), de donde se desprende que C(i) =
π. Sustituyendo finalmente en (25) se obtiene
K =
2 π 2
( 1 + i) ,
luego
f (y, α ) =
π 2 | α |
( 1 + i) e−i^
θ 2 e−i^
y^2 4 α (^).
Es inmediato comprobar que esta expresión se reduce a (20) cuando 0 < α ∈ R.
