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TRABAJO Y ENERGÍA:
Las técnicas para resolución de problemas respecto al movimiento de una partícula o un objeto,
muestran que podría representarse como una partícula. El nuevo planteamiento comienza al dirigir
la atención sobre un sistema y desarrollar técnicas para aplicar en un modelo de sistema.
El trabajo W invertido sobre un sistema por un agente que ejerce una fuerza constante sobre el sistema
es el producto de la magnitud F de la fuerza, la magnitud ∆ r del desplazamiento del punto de aplicación
de la fuerza y cos 𝜃, donde 𝜃 es el ángulo ∆ entre los vectores fuerza y desplazamiento ∆𝑟:
W = F r cos 𝜃
Se realiza trabajo cuando hay producto de la fuerza en la dirección del desplazamiento, (y
efectivamente este ocurre) diferente de cero.
Las unidades de trabajo son las de fuerza multiplicada por longitud. En consecuencia, la
unidad del SI de trabajo es el newton·metro (N-m= kg. m
2
/s
2
). Esta combinación de
unidades se usa con tanta frecuencia que se le ha dado un nombre propio, joule (J).
EJEMPLO
Ejemplo:
Un hombre que limpia un piso jala una aspiradora con una fuerza de magnitud F = 50.0 N en un
ángulo de 30.0° con la horizontal. Calcule el trabajo consumido por la fuerza sobre la aspiradora a
medida que esta se desplaza 3.00 m hacia la derecha.
F = ( 50 cos 30°, 50 sen 30 °)=
W=F. ∆𝑟 = 43x3 N.m + 25x0 Nm = 129 Nm
W= 50N x 3m cos 30°= 129 Nm
TRABAJO CONSUMIDO POR UNA FUERZA CONSTANTE
Una partícula móvil en el plano xy se somete a un desplazamiento (2.0i + 3.0j) m cuando una
fuerza constante F= (5.0iˆ + 2.0j) N actúa sobre la partícula.
A) Calcule las magnitudes de la fuerza y el desplazamiento de la partícula.
2
2
2
2
2
2
2
𝜃 = tan
− 1
( 2 / 5 ) = 21. 8 ° (deg)
Buscar conversión de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. (x, y) → (𝑟, 𝜃)
2
2
2
2
2
2
B) Calcule el trabajo consumido por F en la partícula.
W= F. ∆𝒓 cos (56.3-21.8) °= 5.4 N. 3.6m cos 3 4.5°= 16.02 Nm ≅ 16 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑜𝑠
TRABAJO CONSUMIDO POR UNA FUERZA VARIABLE:
Considere una partícula que se desplaza a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza que
varía con la posición. Sin embargo, si piensa que la partícula se somete a un desplazamiento
muy pequeño x , como se muestra en la figura, la componente x de la fuerza, Fx , es
aproximadamente constante en este intervalo pequeño; para este desplazamiento
pequeño, se puede aproximar el trabajo invertido en la partícula mediante la fuerza como
W = Fx. ∆ x
La fuerza que actúa sobre una partícula es constante para los primeros 4.0 m de movimiento y
después disminuye linealmente con x de x = 4.0 m a x = 6.0 m. El trabajo neto invertido por esta
fuerza es el área bajo la curva. (25 N.m)
LEY DE HOOKE:
En la zona elástica (morada) el esfuerzo y la deformación unitaria son proporcionales; si cesa o para
la aplicación de la fuerza, el material recupera sus condiciones iniciales.
En la segunda zona o zona plástica (entre puntos b y d), el esfuerzo y la deformación unitaria no son
proporcionales; si cesa o para la aplicación de la fuerza, el material no recupera sus condiciones
iniciales.
Ley de Hooke F reacción= - Kx El material sometido a esfuerzo trata de recuperar sus condiciones
iniciales cuando cesa la aplicación de la fuerza.
TRABAJO CONSUMIDO EN UN RESORTE
En la figura se muestra un modelo de sistema físico común para el que la fuerza varia con la posición.
Un bloque sobre una superficie horizontal sin fricción se conecta a un resorte. Para muchos resortes,
si el resorte esta estirado o comprimido una distancia pequeña desde su configuración sin estirar
(en equilibrio), ejerce en el bloque una fuerza que se puede representar matemáticamente como:
F
Spring
PREGUNTA
Un dardo se carga en una pistola de juguete, la cual se activa por un resorte al empujarlo hacia
adentro una distancia x. Para la carga siguiente, el resorte se comprime una distancia 2 x. ¿Cuánto
trabajo se requiere para cargar el segundo dardo en comparación con el que se requiere para cargar
el primero? a) cuatro veces, b) dos veces, c) el mismo, d) la mitad, e) una cuarta parte.
ENERGÍA POTENCIAL DE UN SISTEMA:
Es aquella que posee un sistema físico en virtud de la posición relativa de sus partes. La
gravitatoria relativa al marco de referencia (suelo) y la elástica, debida al alargamiento o
compresión de un resorte.
El marco de referencia es el piso; y=
La energía potencial de un sistema solo se asocia con tipos específicos de fuerzas que actúan entre
integrantes de un sistema. La cantidad de energía potencial en el sistema se determina mediante la
configuración (posición relativa de las partes) del mismo. Mover los integrantes del sistema a
diferentes posiciones o girarlos cambia su configuración y por ende su energía potencial.
Cuando hay componentes vectoriales en la fuerza y el desplazamiento no es paralelo a ningún eje.
FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS:
FUERZAS CONSERVATIVAS
Las fuerzas conservativas tienen estas dos propiedades equivalentes:
- El trabajo invertido por una fuerza conservativa sobre una partícula móvil entre dos puntos
cualesquiera es independiente de la trayectoria tomada por la partícula.
El trabajo invertido por una fuerza conservativa en una partícula móvil a lo largo de cualquier
trayectoria cerrada es cero. (Una trayectoria cerrada es aquella en la que el punto de partida y
el punto final son idénticos.)
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA:
El trabajo realizado en un sistema (conservativo), es igual al cambio en la energía cinética del
sistema.
Energía Cinética Traslacional (velocidad lineal) + Energía Potencial Gravitatoria (posición sobre la
tierra) inicial =
𝐄𝐧𝐞𝐫𝐠í𝐚 𝐂𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚 𝐓𝐫𝐚𝐬𝐥𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥
( 𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥
)
- 𝐄𝐧𝐞𝐫𝐠í𝐚 𝐏𝐨𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐆𝐫𝐚𝐯𝐢𝐭𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚 (𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐬𝐨𝐛𝐫𝐞 𝐥𝐚 𝐭𝐢𝐞𝐫𝐫𝐚)𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥
Energía Cinética Traslacional (velocidad lineal)inicial-
E𝐧𝐞𝐫𝐠í𝐚 𝐂𝐢𝐧é𝐭𝐢𝐜𝐚 𝐓𝐫𝐚𝐬𝐥𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥
( 𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐥
) 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 =
+𝐄𝐧𝐞𝐫𝐠í𝐚 𝐏𝐨𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐆𝐫𝐚𝐯𝐢𝐭𝐚𝐭𝐨𝐫𝐢𝐚 (𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐬𝐨𝐛𝐫𝐞 𝐥𝐚 𝐭𝐢𝐞𝐫𝐫𝐚)𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 - Energía Potencial Gravitatoria
(posición sobre la tierra) inicial
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN SISTEMAS NO CONSERVATIVOS
INVARIANTE DE ENERGÍA:
Energía inicial = Energía Final + Pérdidas de Energía (con signo positivo)
Energía inicial = Energía Cinética Inicial + Energía Potencial Inicial
Energía inicial = Energía Cinética Traslacional (velocidad lineal (CM)) + Energía Cinética
Rotacional (velocidad angular) (rotación de eje)
- Energía Potencial Gravitatoria (posición sobre la tierra) + Energía
Potencial Elástica (almacenada en los resortes)
Energía Inicial – Energía Fricción = Energía Final
Energía Inicial = Energía Fricción + Energía Final
E
inicial
= (Ekt + E kR
+ E
pg
+E
pe
iniciales
E
final
= (Ekt + E kR
+ E
pg
+E
pe
final
Pérdidas de Energía = f k.
d = 𝜇 𝑁 𝑑
E
inicial
= E
final
Cada punto en el desarrollo del sistema es susceptible de contemplar en la ecuación.
Usando el teorema del trabajo y la energía tendremos:
Perdidas =
E
inicial
= E
final
(Ekt (no se traslada mv
2
/2 ) + E
kR
(no hay rotación Iw
2
/2) + E
pg
+E
pe
(no hay resortes Kx
2
iniciales
(Ekt + E kR
+ E
pg
+E
pe
final en punto B
- Pérdidas de Energía (no hay fricción)
En el punto A
E
pgA
= E
kt B
+ E
pgB
Mgh A
= Mv B
2
/2 + Mgh b
(Multiplicando la ecuación por 2/M)
(Ekt + E kR
+ E
pg
(la masa sube al ser disparada) +E pe
(al lanzar la masa entrega toda su
energía almacenada en el resorte)) final
E
pe
= E
pg
no existe energía cinética Traslacional al llegar al punto máximo ya que opera
como un Lanzamiento Vertical hacia Arriba.
Kx
2
/2 = Mgh , entonces h = Kx
2
/ (2Mg) = (5000 N/m)(0.1 m)
2
/ (2 (0.250 Kg)(9.8 m/s
2
))
H = 10.20 mt
a) (Ekt + E kR
+ E
pg
+E
pe
iniciales
= (Ekt + E kR
+ E
pg
+E
pe
final
E
pg inicial
= (Ekt + E pg
final
M
1
gh = (M 1
V
2
/2 + M
2
V
2
/2 ) + M
2
gh ; el término de energía cinética en rojo es la
correspondiente, a la llegada de M 1
al piso, y se pierde durante el choque
porque V 1
= V
2 =
V
Multiplicando la ecuación por 2
2M
1
gh = (M 1
V
2
+ M
2
V
2
) + 2M
2
gh
2M
1
gh = V
2
( M
1
+ M
2
) + 2M
2
gh
V
2
= 2gh (M 1
- M
2
)/ ( M
1
+ M
2
V
2
= 2 (9.8 m/s
2
)(4m) ((5-3)/(5+3))Kg
V= 4.43 m/s
b) E inicial
= E
final
(Ekt + E kR
+ E
pg
+E
pe
iniciales
= (Ekt + E kR
+ E
pg
+E
pe
final
- Pérdidas de Energía en choque
M
2
V
2
/2 + M
2
gh = M 2
gh + M 2
gh x
+ M
1
V
2
V
2
/2 (M
2
- M
1
) = gh x
V
2
= 2gh x
(M
2
- M
1
) entonces h x
= mts que es la altura adicional a la que sube, después de que M
llega al piso.
- Ecf-Eci = mv
2
/2- 0, Trabajo realizado sobre el bloque es mv
2
/
- Por teorema del trabajo y la energía Epi - Epf por lo que se tiene:
∇Ecinética = − ∆ Epotencial
∆ Epotencial = − mv
2
/
- 𝑓𝑘 = 𝜇𝑁 = 𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠 𝛽
2
2250
N
m
- 3 𝑚
2
2
)/(( 10 kg)( 9. 8 m/𝑠
2
)( 6. 0 m))
Los coeficientes de fricción son adimensionales.
Problema:
Una bola de masa m =300 g se conecta mediante una cuerda resistente de longitud L = 80.
cm a un pivote y se mantiene en su lugar con la cuerda vertical. Un viento ejerce fuerza
constante F hacia la derecha sobre la bola, como se muestra en la figura. La bola se libera
desde el reposo. El viento hace que se balancee para lograr altura máxima H sobre su punto
de partida antes de que se balancee abajo de nuevo. a) Encuentre H como función de F.
Evalúe H b) para F = 1.00 N y c) para F = 10.0 N. ¿Cómo se comporta H d) cuando F tiende a
cero e) y cuando F tiende a infinito? f) Ahora considere la altura de equilibrio de la bola con
el viento que sopla. Determínela como función de F. Evalúe la altura de equilibrio g) para
F= 10 N y h) para F que tiende a infinito.
𝑑𝜃 = 𝑑𝑙/𝐿 entonces
F = 1 N, entonces 𝑯 ≅
𝟐𝑳
𝟏+(𝒎𝒈)
𝟐
F = 1 0 N, entonces 𝑯 ≅
𝟐𝑳(𝟏𝟎)
𝟐
𝟏𝟎𝟎+(𝒎𝒈)
𝟐
𝟐𝑳
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎
(𝒎𝒈)
𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝑳
𝟏+
(𝒎𝒈)
𝟐
𝟏𝟎𝟎
El efecto de multiplicar la fuerza del viento por 10, hace que el peso reduzca su efecto a
un centésimo del original.
Ejercicio resuelto en Serway (Pág. 215):
Potencia entregada por un motor de elevador
El ascensor mostrado tiene una masa de 1 600 kg y transporta pasajeros con una masa
combinada de 200 kg. Una fuerza de fricción constante de 4 000 N retarda su movimiento.
A) ¿Cuánta potencia debe proporcionar el motor para levantar el elevador y sus
pasajeros con una rapidez constante de 3 m/s?
P= T.v
B) ¿Que potencia debe entregar el motor en el instante en que la rapidez del elevador es v
si el motor está diseñado para proporcionar al ascensor una aceleración hacia arriba de 1
m/s
2
P= T.v
