UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ANÁLISIS MATEMATICO III
Trabajo práctico N°1: Números complejos 2025
TRABAJO PRÁCTICO 1
NÚMEROS COMPLEJOS
1. Resolver las siguientes operaciones, escribir el resultado en forma binómica,
z a bi= +
donde
a b,
a) (3 + 4𝑖 )+ (2 −7𝑖) b) (2 − 3𝑖)(4 + 2𝑖) c)(−1 + 2𝑖)((7 − 5𝑖 )+ (−3 + 4𝑖))
d)3−2𝑖
−1+𝑖 e) (12+8𝑖
2−3𝑖 )+(52+13𝑖
13𝑖) f)3𝑖30−𝑖19
2𝑖−1
2. Considerar 𝑧1= 4 − 3𝑖 𝑦 𝑧2= −1 + 2𝑖. Obtener analítica y gráficamente:
a) |𝑧1+ 𝑧2| b) |𝑧1− 𝑧2|
c) 𝑧1
− 𝑧2
d) |2𝑧1
− 3𝑧2
− 2|
3. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en su forma polar:
𝑧 = 𝜌𝑐𝑖𝑠𝜃 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃).
a)2 + 2√3𝑖 b) −5 + 5𝑖 c) −√6 − √2𝑖 d)−4𝑖 e)1 − 𝑖
4. Resolver las operaciones, use forma polar y el teorema de Moivre
a)
2
333232 )i()i( −+
b)
2
32
388
i
i
+
+
c)
3
6
66
36
+
+
i
i
d)
3
1
434 i−
e)
( )
12
1510 4
5
cis.
cis.
f)(−1 + 𝑖)1/3
5. Hallar; si existe, la(s) solución(es) de las siguientes ecuaciones:
a)𝑧2= 𝑧2 b) 𝑧 − 𝐼𝑚(𝑧). 𝑧 = 1 c) 𝑧2+(𝑖 − 2)𝑧 + (3 − 𝑖)= 0
d) e z = 0 e) 𝑧2+𝑖𝑧 + 2 = 0 f) sen z = 0
g) 𝑧5= −32 (represente graficamenete) h) 𝑧5= 1(raíces quintas de la unidad)
6. Pruebe la siguiente identidad: 𝑠𝑒𝑛3𝜃 = 3
4𝑠𝑒𝑛𝜃 −1
4𝑠𝑒𝑛3𝜃 (Recuerde que: 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑒𝑖𝜃−𝑒−𝑖𝜃
2𝑖 ).
7. Representar, en el plano complejo, los subconjuntos dados a continuación.
a)
z i− = 1
b)
z1
c)|𝑧 − 1 + 𝑖|< 3 d) |𝑧 + 𝜋𝑖|≥ 1
e)
Re ( )z1
f)
4 9 3
3
4
z
8. Considere: 𝑧1= 3 − 4𝑖 y 𝑧2= −4 + 3𝑖, hallar:
a) 𝑧1∙ 𝑧2 𝑏) 𝑧1× 𝑧2 c) el ángulo agudo entre los vectores 𝑧1 𝑦 𝑧2.