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FINAL OPTIMIZACION DINAMICA
Alumno: Mauro Franco Palazzo Belardinelli
Presentación : 21/02/
Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics – Daniel Léonard
and Ngo Van Long.
Consignas:
- Planteo del problema y aplicación del principio del máximo, usando
hamiltoniano a valor presente y a valor corriente.
- Analizar la estabilidad de los equilibrios con sentido económico.
- Encontrar las trayectorias óptimas con formas cerradas cuando las condiciones
del ejercicio lo permita.
- Plantear los diagramas de fase (estado, control) y (estado, costado) ( en este
último caso tanto para hamiltoniano a valor presente como corriente, cuando se
pueda).
- Realizar el análisis económico - debidamente fundamentado- de las trayectorias
optimas de las variables control, estado y costado.
Ejercicio 6.
ModiMique el problema del cultivador de hongos (ejercicio 6.4.2) suponiendo que la
función de utilidad depende tanto de c como de s, y no existe la posibilidad de cultivo
(x=0). Elegimos 𝑢(𝑐, 𝑠) = ln(𝑐𝑠) 𝑦 𝑠̇ = 𝑠( 1 − 𝑠) − 𝑐. La restricción 𝑠 − 𝑐 ≥ 0 sigue
aplicándose. Construya el diagrama de fase en el espacio (estado, costado) y demuestre
que el equilibrio es un saddle point.
Resolución:
Para empezar, planteamos el ejercicio desarrollado con las modiMicaciones que señala el
enunciado, para luego trabajar con el hamiltoniano:
Max: 𝑉 = ∫
[
ln
)]
!"#
$
%
s.a: 𝑠̇ = 𝑠( 1 − 𝑠) − 𝑐
%
$
Siendo:
- S(t): stock de hongos en t
- C(t): consumo de hongos en t
- r: tasa de descuento de consumo
Primero planteamos el hamiltoniano a valor presente, siendo este:
𝐻(𝑐(𝑡), 𝑠(𝑡), 𝜋(𝑡), 𝑡) = [ln(𝑐) + ln(𝑠)]𝑒
!"#
+ 𝜋[𝑠( 1 − 𝑠) − 𝑐]
Luego armamos el lagrangiano para incorporar las restricciones sobre la variable
control:
[
ln
)]
!"#
[
] + 𝜆(𝑠 − 𝑐)
Aplicando el principio del máximo se presentan las condiciones de primer orden, que
incluye condiciones de no negatividad sobre c(t). A partir de aquı́ eliminare el
argumento t por comodidad.
Condiciones de primer orden:
&ℒ
&(
)
(
!"#
&ℒ
&(
&ℒ
&*
&ℒ
&+
)
!"#
&ℒ
&,
&ℒ
&,
%
$
Antes de continuar, es importante señalar que 𝑐 > 0 siempre, dado que lim
(→%
!
)
(
por lo tanto la condición de primer orden siempre será:
!"#
Diagrama de fase estado/control (s,c)
Buscamos realizar un diagrama de fase que presente en el eje horizontal a “s” y en el eje
vertical a “c”. Por lo tanto para ello, necesitamos expresar ecuaciones que solo dependan
de c y s.
Primero buscamos 𝑐̇ = 0 y vemos que existen dos posibilidades:
- Si 𝜆 = 0 𝑠 > 𝑐 por lo tanto por la primera CPO:
!"#
Analizando las trayectorias de crecimiento y decrecimiento de c y s, se realiza el
siguiente análisis:
.
Vemos que hay una relación opuesta entre 𝑐̇ 𝑦 𝑠; puesto que si aumenta s, 𝑐̇ se hace cada
vez más pequeño, por lo tanto a la derecha de esta curva cae 𝑐̇ = 0
Por su parte para 𝑠̇ = 𝑠
También existe una relación inversa, a medida que aumenta c, 𝑠̇ es cada vez más chico;
por lo tanto por arriba de la curva 𝑠̇ = 0 cae.
Diagrama de fase estado/coestado ( 𝒔, 𝝅)
Este diagrama se hace imposible de realizar, dado que no es posible expresar estas
variables en términos de las solo mencionadas (es autónomo).
Para seguir este análisis y obtener el diagrama de fase estado/coestado, se trabajara
con el hamiltoniano a valor corriente.
Hamiltoniano a valor corriente.
Aplicando un 𝜋 = Ψ𝑒
!"#
obtenemos el hamiltoniano a valor corriente como.
H
= ln(𝑐) + ln(𝑠) + Ψ[𝑠( 1 − 𝑠) − 𝑐]
Y ahora utilizamos el lagrangiano que toma la forma:
ℒ = ln
[
]
Obtenemos las condiciones de primer orden:
&ℒ
&(
)
(
&ℒ
&/
&ℒ
&+
)
)
&ℒ
&,
&ℒ
&,
%
$
Diagrama estado/control (s,c) a valor corriente
Para analizar 𝑐̇ = 0 tenemos dos casos:
- Si 𝜆 = 0 𝑠 > 𝑐 por lo tanto por la primera CPO:
Luego para analizar la estabilidad, se realiza la matriz Jacobiana en el punto de
equilibrio (s,c):
!"̇
!"
!"̇
!$
!$̇
!"
!$̇
!$
(=J
(
"
"
(
K
Tr(J)>
Det(J)<
Se conMirma la presencia de un saddle point.
Diagrama de fase estado/coestado a valor corriente ( 𝒔, 𝚿)
Realizamos el mismo análisis para ambos casos pero ahora a valor corriente.
- Si 𝜆 = 0 𝑠 > 𝑐 y por la primera CPO:
Por la tercera CPO:
Por la segunda CPO:
- Si 𝜆 > 0 𝑠 = 𝑐 y por la primer CPO:
Luego por la tercera CPO:
Por la segunda CPO:
De este caso, podemos concluir que al reemplazar c por s; este será el techo de s y Ψ
cuando s=c.
Para analizar el comportamiento de las Mlechas:
si ↑ 𝑠 ↑ Ψ
por lo que a la derecha de Ψ
por lo que por arriba de 𝑠̇ = 0 ↓ 𝑠
GráMicamente:
Análisis de las trayectorias posibles.
Debido a que el ejercicio no plantea un stock inicial ni un stock Minal especiMico, voy a
plantear tres casos posibles distintos para un T dado.
%
$
Si observamos el diagrama de fase estado/control podrı́amos empezar con un stock
inicial como el 𝑠
%
menor al stock Minal, por ejemplo en la zona 4 donde el consumo de
hongos es menor a que s. Es decir que la persona arrancarı́a consumiendo cada vez
menos hasta llegar a la llegar a un stock Minal 𝑠
$
mayor. En dicha zona, la disminución
que hace sobre su consumo no alcanza como para obtener 𝑠
$
Siguiendo la trayectoria pasamos a la zona 3, donde el individuo pasa a consumir cada
vez menos hasta que consigue generar la reserva necesaria para alcanzar ese stock Minal
de hongos, mayor que el inicial.
Por su parte, en el diagrama estado/costado, el agente podrı́a empezar en un punto
ubicado en la zona 5, con una cantidad de hongos menor al stock Minal necesario, donde
)
(
= Ψ crece, por lo tanto el agente preferirı́a consumir menos con un stock de hongos
decrecientes. Finalmente cruzamos la zona 6 por encima de 𝑠̇ = 0 , conseguimos que
genere una reserva mayor de hongos en comparación con su cantidad inicial.
%
$
Para este análisis tomare un punto como el que se encuentra sobre la restricción de c=s
en el diagrama estado/control. Al ubicarnos sobre la restricción, vemos que el consumo
de hongos es decreciente, debido a la relación inversa previamente explicada entre
ambas variables.
Luego llegamos hasta la zona 1, y vemos que al cruzar 𝑐̇ = 0 , el consumo aumenta (sin
embargo no podemos hacer una trayectoria que nos lleve por la zona donde c>s), para
Minalmente terminar sobre la propia restricción con un stock Minal 𝑠 $
menor que el
inicial.
%
$
Comenzando con el diagrama de estado/control, arrancamos con un 𝑠
%
donde s>c,
suponiendo que el individuo tenga que devolver la misma cantidad de hongos con la
que empezó, una trayectoria posible seria que este mismo arranque en la zona 2 con un
consumo creciente, donde dicho consumo presente deba compensarse con el del futuro.
Tal es ası́ que este mismo consumo empezara a ser decreciente una vez que pase la zona
donde 𝑠̇ = 0 por lo que terminara generando una reserva Minal igual a su stock inicial de
hongos.
Consistente con el diagrama estado/costado, el agente podrı́a empezar en un punto
sobre la zona 1 donde generarı́a una reserva para consumir en el futuro debido a que
su costo marginal de posponer este consumo es muy alto; para Minalizar en la zona 2
donde esa reserva que genera empezara a disminuirse hasta obtener un stock Minal igual
al que tenı́a cuando empezó.
