Trabajo de aplicaci´on 01 - UD2 de C´alculo 3
Docente : Ms. C. Miguel ´
Angel Yglesias J´auregui.
Escuela : Ingenier´ıa civil.
Semestre : 2025 - I.
PROBLEMAS
Resuelva los siguientes problemas justificando su proceso
de resoluci´on en base a las de finiciones y propiedades
referentes al tema.
1. Considere la funci´on f:R2→Rdefinida por
f(x, y) =
x2+y2sen 1
(x2+y2)1/2(x, y)= (0,0)
0 (x, y) = (0,0)
a) Calcule ∇f(0,0).
b) Pruebe que fes diferenciable en (0,0).
c) Pruebe que ∂f
∂x y∂f
∂y no son continuas en (0,0).
2. Sea f:R2→Rcontinua y diferenciable. Sea Gf=
{[(x, y), f (x, y)) : (x, y)∈Dom(f)}el grafo de f.
Sea F:R3→Rtal que F(x, y, z) = z−f(x, y ).
a) Muestre que Gfcorresponde a un conjunto de
nivel de F.
b) Demuestre que ∇F=−∂f
∂x ,−∂f
∂y ,1.
c) Encuentre el vector normal y el plano tangente
aGfcuando f(x, y) = x+yexen el punto
(1,1).
Ac´a debe notar que Gfes lo que acostumbramos a
llamar superficie.
3. Considere la superficie dada por z= ln(2x+y) y el
paraboloide de ecuaci´on
z= 5 + (x+ 1)2+ (y+ 2)2
Determine la ecuaci´on de la recta dada por la inter-
secci´on de los planos tangentes a las superficies en
los puntos (−1,3,0) y (2,9,10) respectivamente.
4. Sea z= ln √x2+y2−x
√x2+y2+x, pruebe que
∂z
∂x +y
x
∂z
∂y = 0
.
5. Si u=z
xy+yz+xz , pruebe que
x∂u
∂x +y∂u
∂y +z∂u
∂z +u= 0
6. Considere f:R2→Rdiferenciable. Se define g:
R2→Rpor
g(x, y) = f(u(x, y), v (x, y))
donde
u(x, y) = x+yy; v(x, y) = sen(x−y)
a) Demuestre que:
∂g
∂x 2
+∂g
∂y 2
= 2 ∂f
∂u 2
+2 cos2(x−y)∂f
∂v 2
y explicite en que puntos est´an evaluadas cada
una de las derivadas parciales.
b) Verifique lo anterior para f(u, v) = v2−usin−1(v).
7. Una funci´on f:R2→Rse llama arm´onica si satis-
face la ecuaci´on de Laplace ∂2f
∂x2+∂2f
∂y2= 0.Prucbe
si las siguientes funciones son arm´onicas
a)u=exsen y+ ln x2+y2+x3−3xy2
b)u=ex2−y2sen 2xy
8. Dada la funci´on z=1
5x5−2x3+ 25x+ax3y2+
bxy4+cxy2
a) Determine los valores de a, b ycde modo que
∂2z
∂x2y∂2z
∂y2sean iguales y de signos opuestos.
b) Halle los puntos de la superficie representativa
de dicha funci´on en los que el plano tangente
es horizontal.
9. Considere las funciones
f(x, y) = tan(x+y),1 + xy, ex2+y
yg(u, v, w) = sen(uv +πw). Sea h=g◦f. Calcule
la ecuaci´on del plano tangente a hen (0; 0; 0).
10. Calcule la derivada direccional de la funci´on
f(x;y)=2y3x−3x2
en el punto A(1; 2) en la direcci´on del vector a =
λ;√1−λ2,λ > 0. Halle λpara que esta derivada
sea m´axima.
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