¡Descarga Topologías de Alexandroff y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Topología solo en Docsity!
Topología vs^ pre-ordenes
Un (^) subconjunto R^ de (^) XXX es^ una relación (^) de Pre-orden sobre^ X ,^ o
simplemente un^ Pre-orden^ Sobre^ X,^ Si^ R^ es^ reflexiva^ y transitiva
- (x, X)ER FxEX
- Si^ (X, y) ER y
(y ,^ z)^ e^ R^ implica (X,^ z1ER,^
donde X
,y^.^
zEX
Definición :^ Pado un espacio topológico (x
, T), definimos la relación binaria (^) - <^ en^ X^ como: T x =^
- Y < = >XE44) es decir X (^) =
toda vecindad Uydex
Proposición
: Sea
,^ i)^ un^ espacio^ topológico^.^ la^
relación
y define un
pre-orden
Dem :^ Es^ reflexiva-^ puesto (^) que Xt^ ·^ Sear^ xy y (^) y z entonces (^) XE143 (^) y (^) y 4z} Por^ tanto (^) (xhyb y 9418/
ya que
esto mustes^ elmenarradoque menc (^) cerrado contiene x =
y (
Y NyNx^
=
yENx Proposición Sea (^) (X ,
- (^) un (^) conjunto pre-ordenado (^) y B-( +X^ : (^) x ** I (^) la colección de Filtros principales) donde X = GyEx : x2] entonces (^) & es^ una base^ minimal (^) de X
la topología generada por^ B es de (^) Alexandroff y notada T([) Dem : para cada (^) XEX X (^) es un conjunto minimal^ de tu con respecto de^ la (^) colección (^) B. sean yeX con (^) XEY y (^) pEX entonces
y
=X y (^) Xp ; por^ la Transitividad (^) de EP Luego (^) pery.^ por^ lo^ tanto x y así Xes on conjunto minimal^ de X
Fatopologia () se^ denomina (^) topología asociadaase Ejemplo
: Sea^ <^ una relación de
equivalencia.^ la^ base minimal para
T (1) es la^ coleccion^ de^ clases^ de
equivalencia,^ es^ decir^ B = ([X] : XEX] Proposición :^ Sean (^) Te ya^ topologias^ en (^) X. Si (^) TIGTa [TzEETa Dem :^ Si^ X Tiy y^
entonces
XTzy , existe (^6) #1 conteniendo^ a (^) X tal^ que y 6
. (^) Como (^) TETz , GETa por lo tanto XITzy así EYEEY
reciproco
se tiene^ Si
TyyT son topologías dy
Alexandroff
Reticulos X1y en^ Pimplica &(x1^ =^ YCylen Q AP decimos^ que XEP (^) es (^) una cota superior Para A^
si 9X^
para todo atA. Dualmente (^) XEP es (^) una cota^ inferior para ASixa para cada a^ GA VA NA A = Ex,y} XV (^) y : =^ SupEX , y)^ x^ Xny^ : (^) = inf(xx, (^) y}
dex (^) Y f(x) respectivamente
sea F(Nx)INf(X XEX^ y V una^ recidad de (^) F(X). Por sery^ de (^) Alexandroff NFcxlU por consiguiente^ f(NX)^ &V así f Continua. Topologías de (^) Alexandrolf, un^ enfoque por filtros Def : Sea (L^ , )^ un (^) retículo (^) con minimo ↓ y maximoT a El^ , a^ +^ 1 es^ un^ infraelemento^ si ningun elemento (^) procede a a exceptod De (^) manera dual , a es^ un^ ultraelemento si (^) aFT y ningun^ elemento es mayor are a excepto T Top(X) (^) [0 (^) , X^ , (^63) donde (^) GEX (^6) + 4 , 6 X
Definición Para^ cada Filtro (^) sobre y cada elemento^ fijo^ PEX^ definimos la siguiente^ topologia Sobre X 9(p. F)
P(X-(p3) (xy , (x(x)X
- (^) P proposición : Una (^) topología de la forma Gha,^
donde at^ X^ y U es un ultra filtro sobre X^ talque 2 F (^) Ya dande^
- ↑ ua = {FeX : Gef es una^ ultra-fopología Dem Sea T^ una topología SobreX
q (^) Gla, UD Y : veamos (^) que
una ultratopologia (^) generada por^ un ultrafittro (^) principal es llamada^ una vitra-topologia principal^. Una topologia sobre (^) X (^) es principal Si es interseccion^ de^ ultra-topologias principales es decir^ interseccion de topologías de la (^) Forma G (X , Hy)^ con X^ , y EX Denotamos por T(x) Sea (^) la topologia principal^ T= (pUg)A
- (q , Ur) => T^ G (^) (p , Ur) Dem 6 ET^ => Sip# , GE Glp, Ur) Si pe G geG (^) por tanto 6EG(p , (^) Ur) (^) por consiguiente
↑ EG(p, Ur) Lema (^) : Si ↑^ es^
una
tepologia principal Sobre^ X Bx = (y
- (^) x (^) 4(G(x , vy)} es (^) abierto para cada (^) x eX^ e.^ d^ .. BXET Sies^ una^ topologia en (^) X , T=^ 196(X , u) : (^) Te G(X, (^23) dende (^) U (^) es un (^) ultrafittro sobre (^) X Tecrema :^ Una Topologia T (^) sobre X es principal Si y solo Si^ es de^ Alexandroff => ↑ una^ topologia principal B : <Bx : (^) x EX & donde Bx = < (^) yEX : ↑ EG(X ,^ Uy)} es una^ base minimal^ de^ X^ y^ una (^) base para
ET una^ topologia de^ Alexandraff^ donde para cad XEX , NX^ essu recidad minimal Y= 144(x , u) :T(G(x, 2) sea y
(^) Ny entonces TEG(X , (^) l Ya que cualquier abierto que Contiene a^ X entiene (^) a (^) Y por fanto Tend 4x.^ 2y) . y = Nx} Si (^) X ( 66G(X, Y) y Si XE , NXEG^ por ser (^) l vitrafiltro GtT^ , tenemos & G(x, Hy) : (^2) EiNX] G(x. M
- x3x^ -144(x, u) :^ 4 =9(x, 233 = 5
