¡Descarga Ejercicios Resueltos de Raíces Cuadradas de Polinomios y Radicales Dobles y más Tesis en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
A
AA
A
|
A
A
A
A
AE
A
O
A
A, RM
qpueteta, e ” 7
¿Radicación
cIóM, ma
CAPACIDADES:
+. Identificar Radicales simples y radicales dobles.
e. Transformar algunos radicales dobles en radicales simples,
e Racionalizar denominadores.
Ye _WvJc.FR
dale a—b
EL DESCUBRIMIENTO DE LAS MAGNITUDES
INCONMENSURABLES.
La grandeza sublime del Teorema de Pitágoras y la mágica
belleza del Pentagrama místico pitagórico fueron dos caballos de
Troya para la Geometría griega,
porque llevaban en su
interior el |
germen de la profunda
crisis de la secta pitagórica
donde Has
aparecieron.
Los Pitagóricos, que, como
filósofos presocráticos, PITÁGORAS
habían considerado
como núcleo dogmático
de su Filosofía que "los números son
la esencia
del universo”, encuentran
que las consecuencias de
su Teorema atenta contra
los
fundamentos de su
doctrina, que les había llevado
a establecer un paralelismo
entre el
concepto numérico y la representación geométrica.
En tono apocalíptico escribe Jámblico (Vida Pitagórica. XXXIV, 246-247,
p-141): "Se dice
que primero que reveló la
naturaleza de la conmensurabilidad
e
inconmensurabilidad
a los indignos
de participar de tales conocimientos
fue aborrecido
[por la comunidad pitagórica]
hasta el punto de que no sólo lo expulsaron
de la vida y de la
vivienda en común,
sino que incluso le erigieron una
tumba como si él, que había
sido una
vez compañero,
hubiese abandonado
la vida entre los hombres.
El descubrimiento
de la inconmensurabilidad marca
un hito en la Historia de la
Geometría, porque
noes algo empírico, sino puramente
teórico. Con el descubrimiento
de
los inconmensurables
quedaban afectadas y debían ser reconstruidas
todas las pruebas
pitagóricas
de los teoremas en los que
haya que comparar razones
de magnitudes
geométricas.
Se explica, pues,
el consiguiente secretismo
de los pitagóricos
sobre la
cuestión irracional y la leyenda del castigo por su divulgación.
La tempestad provocada
por el descubrimiento
pitagórico de los irracionales
precipitó
la primera crisis de fundamentos
en la Historia
de la Matemática, propiciando
"el
horroral infinito", que caracteriza casi toda la Matemática
griega posterior. Como reacción
al lenguaje ingenuo
de los pitagóricos,
mezcla de brillantes ideas
matemáticas, actitudes
místicas y aforismos
religiosos, se impondrá el severo
rigor de Los Elementos de Euclides.
Pero
el desarrollo de La Geometría
al margen de la Aritmética,
la ausencia
de un E
simbólica y la conversión de toda la Matemática en Geometría, con un estilo sintético de
exposición que oculta
la vía heurística del descubrimiento,
fue el efecto más inmediato.
pd
LIBRO
Y”MATEMÁTICAS
dl
¡RADIDICACIÓN |
"DEFINICION
Es la operación matemática cuyo objetivo es determinar una expresión llamada Raíz, de modo que
dicha expresión elevada a un número entero positivo denominado Índice reproduzca otra expresión
llamada Radicando.
VA=r «+ rM=A; neZ' an AcR
Donde:
J =5Signo radical ; n= Índice
A = Radicando o Cantidad subradical.
r = Raíz n — ésima de A.
RU OBSERVACIÓN: Ca ES Ne E
A AP
Si el índice de algún signo radical es 2, dicho índice no será necesario escribirlo, se dará por
entendido. Por ejemplo: A = YA
E rr uN "rr AAAAA KAA<q<áKI[-lÓ.:.OÓIIIAÓ-q _e——— ss AA
CANTIDAD TOTAL DE RAÍCES
Dada la expresión "/A, ésta presenta en total “n” raices complejas (reales oimaginarias).
Ejemplos:
. La expresión /10 presenta tres raíces.
- Laexpresión/25 presenta dos raices.
EXISTENCIA DE LAS RAÍCES REALES.
Siendo A un número real distinto de cero y “n” un entero positivo,
Z a - - a Fs -..
1*CASO: “YA con A > 0 tiene sólo dos raíces reales de signos opuestos. Á la raiz positiva se le da el
nombre de solución principal ysólo esta será el resultado de la operación, a no ser que se
especifique por la otra.
Ejemplo:
5 isolución principal!
. Paralaexpresión: 425 < -
2" O: *YA conA < 0 notiene raíces reales, las raíces son números imaginarios.
3"CASO: “17]!/A tienesólo una raíz real, cuyo signo es igual al signo de A.
Ejemplos:
*/1=
A
A
A
A
A
A
Y
Y
A
Y
A
A
A
A
A
A
A
A
E
A
A
A
AMEN
LIBRO
Esquema
yPolinomio Dado: PG] Raíz: 0Q(x)
Expresión
Auxiliar
Residuo o Resto: R(x)
Ejemplo: Extraer la raíz cuadrada al siguiente polinomio:
P(x) = x? -32x - 6x7 + 29+19x?
Resolución: —De acuerdo con los pasos procedemos de la manera siguiente:
P(x)=x? -6x7 +19x? - 32x + 29
y x* 6x7 +19x2-32x+29] x2-3x+
e
|
|
(KáK_ E—— E —— o — —
(2x? - 3x)(-3x)
6x7 4 19x? (2x? - 6x + 5)(5)
6x7 — gx?
10x? — 32x + 29
-10x? + 30x — 25
-2x +
Operaciones descriptivas:
dx* = x?
(-6x?)+(2x?) =-3x
3") (10x%)+(2x?)=
Finalmente
tenemos: —
Raíz =0(x)=x?-
3x +
Resto = R(x) = —-2x +
A
e
A
+=
..
*»
a
A
r—Á
Mi
Mr
Mo
E
A
A
PM
EM
E A
E
A
PA
A
"FONDO
EDITORIAL
RODO
| RACIONALIZACIÓN
¡DEFINICION.
Es el proceso mediante
el cual una expresión
irracional se transforma
en otra parcialmente
racional, frecuentemente
se racionalizan
denominadores con
el uso del factor racionalizante
(FR)
según la relación.
(Expresión Irracional). (FR) = Expresión Racional
¡FACTOR RACIONALIZANTE (F.R)
Es el menor
número irracional
positivo que multiplica
a otro número irracional
y lo transforma
en racional.
Ejemplo: ¿Cuál
es el factor racionalizante
de /2?
Resolución: Observar lo siguiente
Y2.42 =Y4 =
42.48 =416 =
V/2./18=V36=
42.4/32=464=
a.
Existen varios números
irracionales que
multiplican a 2
y lo transforma en
racional pero entre todos ellos 4/2 es el menor. FR =Y
¡RADICAL SIMPLE
Se
denomina así a todo
número irracional
que se puede expresar
según la forma:
VA:neZ AAEOQ
veamos algunos ejemplos:
. 4/
e Ya
e. 245 =v20 Y
-=
RADICAL DOBLE :
Se denomina
así a todo número
irracional que se puede
expresar según la forma:
A+tUB;maneZ', AaABeQ
veamos algunos ejemplos:
yr
A
AE
AA
HSA
A
ES
A
A
A
A
E
A
A
TAO
“FONDO
EDITORIAL
RODO
AE
ZA
b) Para
que presente
la forma de
la regla práctica
es necesario
utilizar un
artificio, veamos:
Ya
4202 — 43)
pate
(
a
_ Ja - 2.43 y4-2/3.
o 42 y
AN
3
TRANSFORMACIÓN
DEL
RADICAL DOBLE
DE LA
FORMA YA
SIMPLES
BI ca
slós slán
$
VA +VB
=x+Jy
; xeQ a Jy
eQ'
Donde
para calcular
x a y debemos
resolver el siguiente
sistema
de ecuaciones:
PT
A
(1)
siendo:
C= Y A?—-B
“Racional”.
Ejemplo:
Transformar
/10+-/108 en
radicales simples.
Resolución:
Se plantea: Y10+
4108 =x
Hallemos el
valor de C:
C=*Y/10? - 108
C=Y100-
C=Y-8 =-
Ahora formamos el sistema:
ARO
1D
crac (1)
y=x?+2 PA (2)
De donde
al resolver
tenemos: x=
1 a y=
:
pá
pel 3/10 + /108 =1+ 3
Ea
LIBRO
Y”MATEMÁTICAL
dl
CASOS DE RACIONALIZACIÓN
- Para denominador monomio
[Ya” | [FR]= A ; m,n e Z'/n > m, A es número primo
Donde: FR = YA”””
,veamos algunos ejemplos:
¿. 1_ 143 _y
Y3 v/3.FR 3
. 5 _512 _sU
Ya dem 2
. 13 13. _ 139%. 3.5% 13FR 13FR
Y20 y. 3s Y.o3.s.fr 2.3.5 30
MI. Para denominador binomio indice dos
Expresión
FR Expresión
Irracional
Racional
YA + VB
YA —YB
A-B
¡A,BeQ'
YA — /B JA + /B A-B
Veamos algunos ejemplos:
- 12107 -4D __ 47- v7-V2 7-
17 + (74 DER (NY 72 5
5 _ SyYI1+43)_ 5(11+43) _ 511 +43) _ SFR
11-43 (11-VDFR (ID? -(3Y 11- 8
2 ____ 2FR
V13+ (3- 13-9 4 2
, 12 FR DL
|
YS- (B-a
Y5-
(5%-ay
5-
4
- neZ*/nes par
(YA + YB)(FR)= A-B
donde:
FR = yan? _ ya vB A ya"
Ejemplo:
Racionalizar
el denominador de
la expresión:
7
E=
Resolución: Observar
que Y5 + (3 corresponde
ala relación (2)
visto anteriormente, con
lo
cual tenemos:
FR =Y5% -V5 3 +... +
7 FR
Ahora:
E=
(U5 + 7/3) ER
E= 7 FR
543
E = 7ER
8
Ejemplo:
Racionalizar el denominador
de la expresión:
B= 2 -_
Wo -
Resolución:
Observar que 'Y6 - 'Y
corresponde a la relación (1)
visto anteriormente.
FR=96* + 106192 +......+192>
Ahora tenemos;
e.
CY6 -1Y2)FR
E= 2FR Ñ 2FR
6-2 4
4 pa ER
pe
2
e
La
A
2
A
o
A
de
a rd.
AÁAAA
A
S
P
- — Racionalizar cada denominador en las 4.
expresiones mostradas a
continuación:
A)
LA
v
B) ¿=
1
O) ===
Y
10
D) ¿==
Y2a
2x?y
7/9xy?
E)
2 Racionalizar cada uno de los 5.
denominadores:
A) ] =
7 2
1
DI-4w
2
a 41342
?
245-
E) y2__
10 - /
D)
3, — Racionalizar únicamente cada uno de
los denominadores:
1
A) ===
411 +
C) =
YTO +
=>
$17 -
ij ===
Ya +Y2+
TRATA
Considerar que:
D. 1. = Denominadorirracional.
E R. = Fracción racionalizante.
D. R. = Denominador racional.
Completa las filas de la tabla adjunta.
DER ER | DR
v
11 + y/
17 -
Y1o + Y
925 - Y10+ Y
Colocar en cada paréntesis R. S. (Radical
Simple) o R. D. (Radical Doble) según
corresponda.
A) 7
B) 45+ 4/
D) Y2/
E) Y10- 47
ss
e
E
ur
tl
a
el
Transformar a radicales simples:
A) /5+ /
B) Y3- J
C) 47 + 440
D) /11- 4120
E) 24 43
10+ 424 + /40 + 460
H) Yo - /
REA
AA
A
AA
A
O
A
A
A
A
Td
FONDO EDITORIAL RODO
PROBLEMA 4
Resolución:
Teniendo en cuenta:
%
E:
=-E)
EE)
Elevando al cuadrado:
Y
dx
Luego:
La relación es: 5x? = 2y
Reducir:
K= >
2/3 - 3/2 E J2-2/3 12-
Racionalizando los denominadores en cada término tenemos:
32._ 3(243 + 3,/2) _ 243 +
243-342 (243 -34/2)(243 + 3/2) -
so 5(V2 + 2/3) 424243
Y2-2N3 (12-243I/2+2/3) 2
2(42+ 4/3)
2
"Bo O NN) RA
Ahora reemplazando los equivalentes en la expresión K se tendrá:
qa HERA RES o 1 3)
AR 2/3 43)
K=-2(43+42) + 242 + 43)
K=
ALGEBRA
LIBRO
PROBLEMA 5
Resolución:
PROBLEMA 6
Resolución:
AE ZA
Reducir:
3 4 1
LE
LB
47-210 /8+4vV3 411-
Transformando cada denominador tenemos:
e vV7-2V10=y7-2,/5.2 =y5-y
.
48 + 443 = /8+ 2412
= /8+2,/6.2 = 6
e y11-2430=/11-2,/6.5= /6 - V
Ahora la expresión dada inicialmente será:
_A 45 +42), 46-42) _ 6 +
L=y5+ 2 +46 - 42 -— V6 - /
L
L=
Si se racionaliza el denominador de:
2415 - 47)
14 43 4 45 + 47
Se obtiene:
Sea F la expresión dada, luego:
p- 2015-47)
(13 + 45)+(47 +D
" 2AVIS - VD)|[ (43 + 15) (47 + Dm]
[340+ (67 +D][63 +45) - (47 +1]
p - AI5 - 173643 +45 - 17D
_2AVAS - VDJ3 + Y5-V7-D
: 2415 - 4/7)
F=43+45:=4/7=
ALLÁ
Ñ
A
A
A
O
NA
A
LIBRO
AZ
Por condición:
x2=x+1 >
x2-1l=x
V2F=42x + 2vVx? — =xx-
Y2F=y/2x +2/(x + 1)(x-1) - Vx-—
Transformando
2 E=Yx+1+Y4x-1-vx-
J2F= yx +
po +
2
PROBLEMA
9 Luego
de racionalizar al
denominador de:
1
E=
Y49 -Y7 -
se tendrá:
Resolución:
El denominador
de la expresión
es:
D=YA9 -Y7-6=Y7 YT -
Y7 -
«> 4 2
D=(Y7-D WT +2)
Observar
que el FR
de (Y7 -3)
es: 174337
2
También
que el FRde
(4/7 +2) es: 97-237 +
e AITANA 27 +4)
[6/7 DER |. [17 + 2)FR |
_ 49 +37 + 91149- 237 + 4)
E 2015)
e (V49 +3V7 + 9)/49 - 237 +4)
PROBLEMA
10 Siendo a y b
naturales que satisfacen
la equivalencia:
A
a
A
ds
Calcular: a. b
ad e ra
Resolución: Designemos
por M a la expresión del
primer miembro:
els
e >|
ep
V/10 +1 + /410-
[288|
ATTE
TT
TA
EPR
TE
E
O
A
OA
A
A
AA
A
RA
FOIDO EDITORIAL
RODO
Elevando al cuadrado y simplificando tenemos:
m?=10. 90+
LO +
Racionalizando el denominador se consigue:
M? =10(410+ (410 - 3)
M2 =10(7- 2410) =M=y10.47- 2410
M =y10../7-2/5.
M =y10.(45- 42) = 50 - 420
M =54/2-24/
Por condición: 542-2445 <> ab —byYa
a=5Ab=
a.b=
PROBLEMA 11 — Determine un valor más simple de:
Ya Qi-P- 15-47)
Resolución: Sea “K” el valor simple:
x -+5 (13-75 -45-17)
Elevando al cuadrado:
2 =/3+ 7 (V13- 47 - 45-47)
Efectuando operaciones:
x= 347 3-47 -V3+ 47 15 -V
K2=/G+ 7113-17)
K2 =/32+10/7- /8 +
K? =./32+2. 547 - 18 + 247
K?=,/32+2,/25.7 - /8+2,/7.
Transformando tenemos:
K? = 4/25 +47 - (47 +41)
K?=5+47 -/7-1=
FONDO EDITORIAL HODO 3443 +3-4/ S|=
5 'I m Ñ res
” Ñ
ñ PROBLEMA 14 Racionalizarel denominadorde: . 1 h 2473 + | Resolución: Supongamos que a= 2: b=3 y e=Y4, por la equivalencia de Gauss tenemos: (a+b+c)(a?+b?+0c?-ab-ac—bc)=a? +b? +0?- 3abe Observar que al+b?%+c2-ab-ac-bc se comporta como el factor racionalizante de a+ b+c, ahora si "K” es la expresión:
O
E +3/3 +3/4 JER es FR (a) (5) +) -2 12.3. Ya
En PE gas
2+3+4-338. x FR FR -9-3.2/3 9- Ahora considerando un nuevo factor racionalizante para el último denominador, se tendrá: K = FR..Fr FR... Fr
(9-63) rr oy -(6Y3)
K= FR.Fr ——_ FR.Fr_ 729-216.3 729- K= FR. Fr 81 | Observación: A veces FR. Fr se cambia por un nuevo FR, esto por que al efectuar se obtiene casi siempre un nuevo número irracional. mdd aL o 5 AO
$
» A
LIBRO
PROBLEMA 15
Resolución:
MAREA
Siendo x, y, zracionales positivos calcular: “x + y + z” si:
3Y2 -1 <> Yx —Yy + Yz
Sea K el primer miembro de la equivalencia, luego:
K=%YYV2-
EE
Y2 +
Ya —
2 +
e ¡En 4+1)
+04 +Y4 +
Observar que: Ya" + Y4+1=Y16+Y4 +
=2V2+Y2*+
=(Y2 +1)?
K= i (Ya) -1?
(2 +D(62 +
3
K= la
(Y2+ 17
Y
o Y2 +1.
_ RN
A2+D0W2?*-Y2+1)
a Ya(Ya -Y2+
K
3
y - BR -Y2+
Y
x-Y4-V2+N
Yo
K = E, 2, 1
9 Yy9 yo
4 2 1
Observar que: (fx, y, z) = (
que ym 5)
7
+y+z=-=w+49 zo
e
A
y
RR
A A
A
E —
Y
Y
A
A
E
A
A
A A
A
A
A
A
A A
A
A
A A
A
E
o
