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Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Departamento de Agrimensura
Facultad de Ingeniería - UNLP
Actualización abril 2023
Carl Friedrich Gauss
Personales : Surgen de las limitaciones de los sentidos humanos (Vista o tacto).
Ejemplo: Puntería con un teodolito.
Mediciones repetidas de una dada magnitud, por un mismo observador, con el
mismo instrumento y en circunstancias análogas, no conducen siempre al mismo
resultado. Este hecho muestra que ellas están afectadas de errores que es propio
atribuir a los agentes que concurren a la medición: el observador, el instrumento y las
condiciones del ambiente en que se desarrollan las experiencias.
Ing. Félix Aguilar -
"Lecciones de Geodesia".
Estos errores de observación se clasifican en tres categorías:
Son causados por el observador y debido a descuidos, fatiga, mala concepción del
problema o inconvenientes en la comunicación.
Ejemplo:
Medida: 156,14 Anotación: 1 65 ,
Se detectan trabajando de modo metódico y realizando controles sobre las
observaciones. Si una medición está afectada por este tipo de error debe ser
descartada y se realiza nuevamente. Caracteriza a los errores groseros el hecho de
que su magnitud exceda la que puede preverse teniendo en cuenta los medios con
que se opera. Pero hay excepciones, errores groseros con valores reducidos que son
difíciles de detectar:
Medida: 156,14 Anotación: 156,1 1
En el ejemplo anterior un descuido durante la anotación de la medida hace que se
cometa un error de - 3 cm. En proporción a la distancia medida, esta es una diferencia
pequeña pero no obstante es un error grosero.
Las condiciones que ocasionan errores sistemáticos se deben a leyes físicas que se
pueden representar matemáticamente. Por lo tanto, si se conocen las condiciones y se
pueden medir, es posible calcular una corrección y aplicarla a los valores observados
1 .
1 Wolf & Ghilani, “Topografía”, Undécima edición, Cap. 3: Teoría de errores.
Son el resultado de factores que comprenden el medio ambiente, los instrumentos y
el observador. Este tipo de errores mantienen su signo y magnitud mientras que las
condiciones de medición no cambien y por lo tanto son acumulativos.
Ejemplos:
Los errores aleatorios son los que quedan después de haber eliminado los errores
groseros y sistemáticos. Son ocasionados por factores que quedan fuera del control
del observador, obedecen las leyes de la probabilidad y se les llama también errores
accidentales. Estos errores están presentes en todas las mediciones topográficas.
Sus magnitudes y signos son consecuencia del azar y por lo tanto no existen
métodos para calcularlos o eliminarlos absolutamente, pueden definirse intervalos
donde acotarlos con un cierto nivel de confianza o probabilidad. Son compensatorios,
esto significa que tienden a cancelarse parcialmente entre sí en una serie de
mediciones.
Ejemplos:
Los errores groseros y los sistemáticos pueden ser prácticamente eliminados de las
mediciones u observaciones, pero siempre habrá errores accidentales. Estos tienen
un comportamiento aleatorio, sus magnitudes y la frecuencia con que ocurren siguen
las leyes de la probabilidad.
Se supondrá que todas las equivocaciones y errores sistemáticos han sido
eliminados antes de considerar los errores aleatorios.
Descartando las equivocaciones, cuando se realiza una medición estarán presentes
errores sistemáticos y accidentales, con lo cual existirá un cierto grado de duda o
incertidumbre sobre el valor de lo que se está midiendo. La incertidumbre del resultado
de una medida refleja la falta de conocimiento sobre el verdadero valor de la magnitud
medida.
El resultado de una medición es solo una aproximación o estimación del valor de una
cantidad especifica de una magnitud. El resultado es COMPLETO cuando es asociado
a un valor de incertidumbre.
La incertidumbre:
La exactitud denota la aproximación absoluta de las observaciones a la medida
verdadera (Desconocida). La exactitud de las mediciones depende de la existencia de
errores sistemáticos en las mismas. Depende de la proximidad entre un valor medido y
un valor considerado como verdadero.
La interpretación de estos dos conceptos suele favorecerse con la utilización del
siguiente ejemplo:
En una competencia de tiro al blanco el primer competidor realiza una serie de
disparos tal como se aprecian en la figura A , estos tiros presentan poca dispersión,
están muy próximos, pero en conjunto se alejan del centro del blanco. En esa sesión
de tiros A el primer tirado fue muy preciso, pero tuvo una baja exactitud. Este tirado
pudo comprobar que su arma tenía un problema de puntería (error sistemático) y pudo
corregirlo, luego realizó nuevamente una serie de tiros que se aprecian en la figura B ,
en este caso el primer tirador demostró alta precisión y alta exactitud, ya que sus
disparos son poco dispersos y están en su conjunto en la zona del centro del blanco.
La dispersión de los disparos es debida a pequeñas imperfecciones en la técnica del
tirador y defectos en el arma imposibles de corregir, esto constituye los errores
accidentales de naturaleza aleatoria (azarosa).
Un segundo tirador realiza sus disparos obteniendo los resultados vistos en la figura
C , sus disparos son menos precisos que los del primero tirador ya que presentan
mayor dispersión, se alejan mucho entre sí. Además, éste segundo tirador fue poco
exacto, ya que el conjunto de disparos se aleja del centro del blanco. El segundo
tirador también decide corregir la puntería de su arma (eliminar errores sistemáticos) y
repetir los disparos obteniendo los resultados de D. En esta última sesión de disparos,
el segundo tirador mejora su exactitud, pero su precisión sigue siendo igual de baja
que en C , lo que es natural debido a que la eliminación de errores sistemáticos mejora
la exactitud, pero no la precisión. Los errores accidentales presentes en A y B son de
menor magnitud que los errores accidentales en C y D , por ello se considera el primer
tirador es más preciso que él segundo.
Los casos del anterior ejemplo pueden aplicarse a las mediciones topográficas, la
presencia de errores sistemáticos afecta a la exactitud de los resultados, mientras que
la presencia de errores accidentales afecta a su precisión. Los errores sistemáticos
pueden ser eliminados prácticamente en su totalidad, con lo cual la exactitud de las
mediciones puede ser mejorada. Los errores accidentales, debidos a sucesos
puramente aleatorios, no pueden ser eliminados, pero conociendo el comportamiento
de este tipo de errores su efecto sobre las mediciones puede ser compensado.
El comportamiento de los errores accidentales se explica a partir de los postulados
de Gauss, y su compensación se realiza mediante el cálculo del promedio o media
aritmética.
En topografía casi siempre los errores se comportan de acuerdo con distribuciones
normales o cerca de lo normal, por lo que en este apunte se supone esta condición.
Esto significa que los errores del tipo accidental obedecen a los Postulados de Gauss:
grandes; es decir, su probabilidad es mayor.
tanto, menos probables; en el caso de los errores con distribución normal, los
excepcionalmente grandes pueden ser equivocaciones y no errores
aleatorios.
con igual frecuencia, es decir, son igualmente probables. La campana de
Gauss, que se analizará en los párrafos posteriores, es simétrica, por lo que
el valor más probable de una seria de mediciones, hechas con el mismo
equipo y procedimientos, es la media aritmética (promedio).
Si bien los errores accidentales presentes en un grupo de observaciones no pueden
se eliminados, su efecto se reduce si se calcula el promedio (valor más probable) de
esas mediciones.
Para una sola incógnita, como la longitud de una línea, que ha sido medida directa e
independientemente varias veces usando el mismo equipo y procedimiento, la primera
medición determina un valor para la longitud y todas las mediciones adicionales son
redundantes. El valor más probable en este caso es la media aritmética o promedio,
definida como:
𝑋
∑ (^) 𝑥
𝑛
xi : observaciones
n : número de observaciones.
Debido a que los errores accidentales tienen la misma probabilidad de ser positivos o
negativos, al promediar mediciones tienden a cancelarse, por ello el promedio es el
valor más probable de un grupo de mediciones.
Tabla 1 (“Topografía” - Wolf & Ghilani.). Valor más probable
(promedio): 27°43’24,9”
En la primera columna la tabla 1 se han ordenado las observaciones angulares de
manera que se inicia por el valor medido más pequeño, y se enlistan en orden
creciente. Si el valor se obtuvo más de una vez, se anota en la segunda columna el
número de veces que apareció o su frecuencia. El valor más chico medido fue
23°43’19,5” y el más grande 23°43’30,8”. Se puede apreciar que las mediciones en la
parte central del intervalo son las más frecuentes.
Para poder analizar los datos medidos se elabora un histograma, este es una gráfica
de barras que muestra los tamaños de las medidas (o sus residuos) contra su
frecuencia de aparición. Se obtiene una impresión visual del patrón de distribución de
las mediciones (o sus residuos).
A continuación, se grafica el histograma correspondiente a los datos de la tabla 1,
donde se muestra la frecuencia de aparición de los residuos. Para graficar un
histograma de residuos, primero se necesita calcular el valor más probable (media
aritmética o promedio) para el ángulo medido, su valor es 27°43’24,9”. Luego se
calculan los residuos ( vi ) de todos los valores medidos, estos pueden encontrarse en
la tercera columna de la tabla 1. Los residuos varían de +5,4” a - 5,9”.
Para obtener un histograma con el número de barras que demuestre gráficamente la
distribución de los residuos en forma apropiada, el intervalo de los residuos
representados por cada barra, o el intervalo de clase, se escogió como 0,7”. Esto
produjo 17 barras en la gráfica. La escala de residuos cubiertos por cada intervalo y el
número de residuos que aparecen dentro de cada intervalo se enlistan en la tabla 2
Tabla 2 (“Topografía” - Wolf & Ghilani.). 17 intervalos de 0,7”
cada uno utilizados para la elaboración del histograma.
Al graficar intervalos de clase en las abscisas contra el número de residuos
(frecuencia de aparición) en cada intervalo en la ordenada, se obtuvo el histograma.
inflexión de la campana sobre el eje de abscisas, se genera un intervalo que contiene
al 68,3% de los residuos (errores).
Este valor σ se denomina desviación estándar y es utilizado como parámetro de
estimación del grado de dispersión o precisión de una medida.
Interpretaciones de la desviación estándar (Wolf & Ghilani - "Topografía"):
La desviación estándar fija los límites dentro de los cuales se espera que estén
contenidas las mediciones el 68,3 % de las veces.
Si una medición se repite diez veces, podría esperarse que, aproximadamente, siete
de los resultados queden dentro del intervalo [-σ ; +σ] determinado por la desviación
estándar, e inversamente, que tres de ellos queden afuera.
Otra interpretación es que una medición adicional tendría 68,3 % de probabilidad de
quedar dentro de los límites determinados por la desviación estándar.
Para el cálculo del valor de la desviación estándar (s) se utiliza la siguiente
expresión analítica:
𝑖
2
Otro parámetro que es utilizado para medir la dispersión de un grupo de
observaciones es la varianza σ
2 :
2
𝑖
2
De manera muy general se puede decir la desviación estándar es la raíz cuadrada de
la varianza. La varianza, junto con la desviación estándar, son medidas de dispersión
de datos u observaciones. La dispersión de estos datos indica la variedad que estos
presentan, es decir, si todos los valores en un conjunto de datos son iguales, entonces
no hay dispersión, pero en cambio, si no todos son iguales entonces hay dispersión.
Si medimos n veces una magnitud (distancia, ángulo o altura), serán más precisas
esas observaciones cuando menor sea la varianza. Es decir, a menor dispersión “más
parecidos serán los valores entre sí” y “más parecidos serán al promedio” lo que
𝑖
2
y por lo tanto menor será σ
2 ; este mismo
razonamiento es válido también para la desviación estándar.
En la campana ilustrada antes se muestra el porcentaje del área total bajo una curva
de distribución normal que existe entre intervalos de residuos (errores) que tienen
valores positivos y negativos iguales. La escala de las abscisas se muestra en
múltiplos de la desviación estándar. En esta curva, el área entre residuos - σ y +σ es
igual al 68,3% del área total bajo la curva de distribución normal. Por tanto, la curva
indica el intervalo de residuos que puede esperarse que ocurran el 68,3% de las
veces. Este porcentaje se aplica a todas las distribuciones normales.
A partir del valor de la desviación estandar pueden obtenerse otros intervalos de
probabilidad:
Un intervalo de ± 2 σ representa un intervalo que contiene al 95,5% de los errores. El
error del 95,5% o dos sigmas (2σ) se usa comúnmente para especificar precisiones
necesarias en proyectos topográficos.
Un intervalo de ±3σ representa un intervalo que contiene al 99 , 7 % de los errores El
error del 99,7% o tres sigmas (3σ) se utiliza como criterio para rechazar mediciones
individuales. Hay una probabilidad del 99,7% de que un error sea menor que esta
cantidad. En un conjunto de mediciones, cualquier valor cuyo residuo exceda de 3σ se
considera como error grosero y deberá rechazarse (criterio de exclusión provisoria).
Esto es: 538,45 ± 0,08 pies ó [538,37 ; 538,53]
Como todas las mediciones contienen errores, cualquier cantidad calculada a partir
de ellas también los contendrá. El proceso de evaluar los errores en valores
calculados con medidas que contienen errores se denomina propagación de errores.
La propagación de los errores aleatorios se calcula usando la ley general de la
propagación de varianzas. En topografía normalmente las mediciones son
matemáticamente independientes.
Sean a,b,c,..,n los valores medidos que contienen los errores Ea, Eb, Ec, ..., En ,
respectivamente.
Sea Z un valor que se calcula a partir de los valores medidos a,b,c,..,n mediante la
función:
𝑍
𝑎
2
𝑏
2
𝑐
2
𝑛
2
Por ejemplo, veamos cómo se aplica la propagación de errores en el cálculo del
promedio de tres mediciones independientes X 1 , X 2 y X 3 , siendo EX1, EX2 y EX3 los
errores aleatorios que afectan a dichas mediciones y considerémoslos iguales:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
𝑋̅
𝑋 1
2
𝑋 2
2
𝑋 3
2
𝑋 1
2
𝑋 2
2
𝑋 3
2
𝑋 1
𝑋 2
𝑋 3
𝑿
𝑋̅
𝑿
2
= ±
𝑿
ellas por el mismo error ±E :
𝑿
̅
El Promedio es el valor más probable para un grupo de mediciones, al calcularlo se
propagan a este resultado los errores de cada una de las mediciones individuales. Si σ
es el error que caracteriza a cada una de las mediciones individuales, el error del
promedio llamado Error Medio del Promedio (M) de un grupo n de observaciones se
expresa como:
El Error Medio del Promedio (M) es un parámetro que indica el error o incertidumbre
sobre el promedio, y depende del error existente en las mediciones individuales.
El error absoluto está representado por la desviación estándar o por el error medio
del promedio. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y la magnitud
medida (o calculada). En las mediciones lineales el error relativo es más indicativo de
su precisión que el error absoluto, éste por sí mismo, si no se consigna la magnitud
medida carecería de significación.
Precisiones lineales:
Para una medición simple:
para 𝑥 𝑖
𝑥𝑖
𝑖
Para un promedio:
𝑋
̅
Ejemplo:
xi= 12.000,00 m ± 1,20 m
Error absoluto: 1,20 m
Error relativo:
1 , 20 𝑚
1
Debe notarse que el error relativo es adimensional, la unidad se cancela mediante en
el cociente.
El error de la superficie se determina a partir del error en los promedios utilizados
para su cálculo, es decir el error medio del promedio de cada uno:
base: b= 603,00 ± 0, 91 [m]
altura: h= 504,00 ± 2,08 [m]
Se utiliza la expresión general:
𝑍
𝑎
2
𝑏
2
𝑎𝑐
2
𝑛
2
Donde la función que se aplica para calcular la superficie del triángulo es:
𝑆
𝑏
2
ℎ
2
2
2
2
El valor de la superficie del triángulo y el error o incertidumbre asociada serán:
𝟐
Dado el anterior resultado se considera finalizado el ejercicio.
A modo de dar un ejemplo de aplicación de cómo se calcula el error relativo se
utilizan las mediciones de este ejemplo:
Los promedios y sus errores medios antes calculados son:
base: b= 603,00 ± 0, 91 [m]
altura: h= 504,00 ± 2,08 [m]
𝑋
̅
𝑏
̅
ℎ
̅
Los errores absolutos correspondientes a las mediciones de b y h no pueden ser
comparados ya que las magnitudes de distancias son distintas, pero los errores
relativos si pueden ser comparados. Puede afirmarse que la medición de la base b se
realizó con mayor precisión que la medición de la altura h debido a que:
𝑏
̅
ℎ
̅
El presente apunte se elaboró tomando como referencia los libros:
Ambos se encuentran disponibles en la biblioteca de la Facultad de Ingeniería.
