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EJEMPLO DE PROBLEMAS Y
SOLUCIONES
1. Simplifique el diagrama de bloques de la figura 3-27.
Solución. Primero, mueva el punto de ramificación de la trayectoria que contiene H 1 fuera del lazo que contiene H (^) 2 como se
aprecia en la figura 3-28(a). Luego eliminar dos lazos produce la figura 3-28(b). Al combinar dos bloques en uno se obtiene la figura 3-28(c).
Figura 3- Diagrama de bloques de un sistema.
Figura 3- Diagramas de bloques simplificados para el sistema que aparece en la figura3-27.
2. Simplifique el diagrama de bloques de la figura 3-29. Obtenga la función de transferencia que relaciona C(s) con R(s).
Solución. El diagrama de bloques de la figura 3-29 se modifica para obtener el que se muestra en la figura 3-30(a). Luego obtenemos la figura 3-30(b), que se simplifica a la que se muestra en la figura 3- 30(c). Así, la función de transferencia C(s)/R(s) es igual a:
Rs =^ G^1 G^2 + G^2 +
C s
También se obtiene el mismo resultado procediendo del modo siguiente. Dado que la señal X(s) es la suma de dos señales G 1 (^) R ( s )y R ( s ),tenemos que
X ( s )= G 1 R ( s )+ R ( s )
La señal de salida C(s) es la suma de G 2 (^) X ( s )y R ( s ). Por tanto
C ( s )= G 2 X ( s )+ R ( s )= G 2 [ G 1 R ( s )+ R ( s )] + R ( s )
Así obtenemos el mismo resultado que antes:
Rs =^ G^1 G^2 + G^2 +
Cs
C ( S )
G 1
R ( S )
G 1
X ( S )
Figura 3-
Diagrama de bloques de un sistema. ( S ) G 1 C ( S ) R G 1
X ( S )
R ( (^) S ) G 1 + 1 G 1 X (^ S ) C ( S )
R ( S ) G 1 (^) G 2 + G 2 + 1 C ( S )
Figura 3- Reducción del diagrama de bloques que aparece en la figura 3-
3. Obtenga el modelo en el espacio de estados del sistema que aparece en la figura 3-31.
Solución. El sistema contiene un integrador y dos con retraso. La salida de cada integrador o con retraso puede ser una variable de estado. Definamos la salida de la planta como x 1 , la salida del controlador
como x 2 y la salida del sensor como x 3.
Figura 3- Sistema de control.
2
1
X s s
X s
U s X s s
X s 1 ( ) ( )
3
1
3
X s s
X s
Y ( s )= X 1 ( s ) Que puede escribirse como sX 1 (^) ( s )=− 5 X 1 ( s )+ 10 X 2 ( s ) sX (^) 2 ( s )=− X 3 ( s )+ U ( s ) sX (^) 3 ( s )= X 1 ( s )− X 3 ( s ) Y ( s )= X 1 ( s )
Tomando la transformada inversa de Laplace de las cuatro ecuaciones precedentes, obtenemos
x & 1 (^) =− 5 x 1 + 10 x 2 x & 2 = − x 3 + u x & 3 (^) = x 1 − x 3 y = x 1
Por tanto, un modelo en el espacio de estados del sistema en la forma estándar se obtiene mediante
u x
x
x
x
x
x
3
2
1
3
2
1
[ ]
3
2
1 1 0 0 x
x
x y
Es importante observar que ésta no es la única representación en el espacio de estados del sistema. Son posibles muchas otras
A continuación convierta K/[s(s + a)] en el producto de K/s y 1/ (s + a). Después, vuelva a dibujar el diagrama de bloques como aparece en la figura 3-33(b). Definiendo un conjunto de variables de estado, según se aprecia en la figura 3-33(b), obtenemos las ecuaciones siguientes:
y x
x z p x px z pu
x Kx Kx Ku
x ax x
Reescribiendo la ecuación, nos da
u z p
K
x
x
x
z p p
K K
a
x
x
x
[ ]
x
x
x Y
Observe que la salida del integrador y las salida de los integradores con retraso de primer orden [1/(s + a) y (z - p)/(s + p)] se eligen como variables de estado. Es importante recordar que la salida del bloque (s + z)/(s + p) de la figura 3-33(a) no puede ser una variable de estado, porque este bloque contiene una derivada, s + z.
6. Considere un sistema definido por las siguientes ecuaciones en el espacio de estados:
[ ] (^)
x
x y
u x
x x
x &
Obtenga la función de transferencia G(s) del sistema. Solución. Remitiéndonos a la ecuación (3- 32), la función de transferencia del sistema se obtiene del modo siguiente (observe que en este caso D=0):
[ ]
[ ]
1 1
− −
s s
s Gs
s s
s s s
s s s s
s Gs
s
s Gs C sI A B
A-3-15. Considere el sistema del nivel de líquido de la figura 3-43. En el sistema, Q 1 (^) yQ 2 son flujos de entrada en estado estable y H (^) 1 yH 2 son las alturas en estado estable. Las cantidades q (^) i 1 , qi 2 , h 1 , h 2 , q 1 yq 2 , se consideran pequeñas. Obtenga una representación en el espacio de estados para el sistema cuando h 1 (^) yh 2 ,son la salidas y q (^) i 1 yqi 2 son las entradas.
Solución. Las ecuaciones para el sistema son
C (^) 1 dh 1 =( q (^) i 1 − q 1 ) dt
(3-101)
1 1
(^1 2) q R
h h
C (^) 1 dh 2 =( q 1 − qi 2 − q 0 ) dt
(3-103)
0 2
(^2) q h
h
(3-104)
La eliminación de q1 de la ecuación (3-101), usando la ecuación (3-102), da como resultado
1
1 2 1 1 1
R
h h q dt C
dh i
(3-105)
Figura 3-
Sistema del nivel de líquido
La eliminación de q 1 (^) yq 0. de la ecuación (3- 103), usando las ecuaciones (3-102) y (3- 104), nos lleva a
2
2 2 1
1 2 2
R
h q R
h h dt C
dh i
(3-106)
Defina las variables de estado x1 y x mediante
x 1 (^) = h 1 ; x 2 (^) = h 2
las variables de entrada u1 y u2, mediante
u 1 (^) = qi 1 ; u (^) 2 = qi 2
y las variables de salida y1 y y2 mediante
y 1 (^) = x 1 = h 1 ; y (^) 2 = x 2 = h 2
A continuación, las ecuaciones (3-105) y (3-
- se escriben como
1 1
2 2 2
1 1 1
1
(^1 11) u C
x RC
x RC
x & =− + +
1 2
2 1 2 2 2
1 1 2
2
(^1 111) u C
x RC RC
x RC
x (^) +
En la forma de la representación matricial estándar, tenemos
Figura 3-59 Sistema eléctrico.
B-3-13 Considere un sistema de nivel de liquido de la figura 3-60. Suponiendo que − H =3cm,
− Q =0.02m^3 /seg, y que el área
transversal del tanque es igual a 5m^3 , obtenga la constante de tiempo del sistema
en el punto en el punto de operación (
− H ,
− Q ).
Suponga que el flujo a través de la válvula es turbulento.
B-3-14 Considere el sistema del tanque de agua cónico de la figura 3-61. El flujo a través de la válvula es turbulento y se relaciona con la altura H mediante
Q=0.005 H
En donde Q es el flujo medido en m^3 /seg y H esta en metros.Suponga que la altura es de 2m en t=0. ¿Cuál es la altura en t=60seg?
B-3-15 Considere el sistema del nivel de liquido de la figura 3-62. En estado estable
el flujo de entrada es
− Q y el flujo de salidos
es también
− Q. Suponga que en t=0, el flujo
el flujo de entrada cambia de
− Q a
− Q + qi, en
donde qi es una cantidad pequeña. La entrada de perturbación es de qd, también es una cantidad pequeña, dibuje un diagrama de bloques del sistema y simplifíquelo para obtener H 2 (s) como una función de Qi(s) y Qd(s), en donde H 2 (s)=ζ[h 2 (t)], Qi(s)= ζ[qi(s)] y Qd(s)= ζ[qd(s)]. Las capacitancias de los tanques 1 y 2 con C1 y C2, respectivamente.
Figura 3-60 Sistema del nivel de líquido.
Figura 3-61 Sistema del tanque de agua.
Figura 3-62 Sistema de nivel de líquido.
