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1 CARGA Y MATERIA
1.1 Introducción.
Una vez comprendidas las leyes básicas que gobiernan el movimiento el paso siguiente es observar e investigar las interacciones responsables de dichos movimientos. Empezaremos por decir que hay varios tipos de interacciones (nos referiremos solo a dos de ellos):
- Gravitatorias. La que a pesar de ser la más débil de todas las interacciones conocidas es la más cuidadosamente estudiada debido al interés motivado por el hombre desde la antigüedad por la astronomía, y porque la gravitación es en sí la responsable de muchos fenómenos que afectan directamente nuestras vidas.
- Electromagnética. La mejor comprendida y posiblemente la más importante desde el punto de vista de nuestra vida diaria. La mayoría de fenómenos que observamos a nuestro alrededor, incluyendo los procesos químicos y biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticas entre átomos y moléculas. Observadas y comprobadas científicamente, este conocimiento se lo debemos agradecer, tanto a los científicos del siglo XIX: Ampere, Faraday, Maxwell y otros, quienes descubrieron la naturaleza del electromagnetismo, así como a los científicos del siglo XX quienes explicaron la estructura atómica de la materia.
Supondremos inicialmente que estamos familiarizados con los hechos fundamentales de la electricidad. Por ello, no nos vamos a detener en examinar todos los experimentos que pusieron de manifiesto la existencia de la carga eléctrica de la materia, o la evidencia de la constitución eléctrica de la materia, solo examinaremos algunos hechos a modo de información general y uno que otro cálculo donde ello sea necesario. Por otro lado examinaremos minuciosamente los fundamentos experimentales de las leyes básicas de las cuales dependen todas las otras. En este capitulo, estudiaremos la física de las cargas eléctricas estacionarias, conocido como la electrostática. El electromagnetismo clásico trata de las cargas y corrientes eléctricas y sus interacciones, como si todas las magnitudes que intervienen pudieran medirse independientemente con precisión ilimitada. La teoría clásica del electromagnetismo había llegado casi a su estado presente de desarrollo inclusive antes del descubrimiento de Planck. Esta teoría ha sobrevivido extraordinariamente, ni la revolución de la física cuántica ni el desarrollo de la relatividad restringida empañaron el esplendor de las ecuaciones del campo electromagnético que Maxwell consignó y desarrolló hace más de 100 años. Desde luego que la teoría estaba basada sólidamente en la experiencia, y como consecuencia de ello estaba firmemente situada dentro de un ámbito original de aplicaciones: bobinas, condensadores, corrientes oscilantes, llegando hasta las ondas de radio y las llamadas ondas luminosas. Sin embargo, a pesar de poseer un éxito tan grande ello no asegura su validez en otros dominios. Por ejemplo, el interior de una molécula. Dos hechos nos ayudan a explicar la creciente importancia en la física moderna de la descripción de la descripción clásica del electromagnetismo clásico.
1
( ) a ( b ) ( ) c
A repeleaB A atraeaC BatraeaC
A B A C B C
Primeramente, la relatividad restringida no requiere de una revisión del electromagnetismo clásico. Históricamente hablando, la relatividad restringida surgió de la teoría electromagnética clásica y de experimentos inspirados por ella. Segundo , las modificaciones cuánticas resultan ser poco importantes hasta distancias menores que 10-10^ cm. Podemos explicar la atracción y repulsión de partículas en el átomo usando las mismas leyes que aplicamos a las hojas de un electroscopio, pero necesitamos la mecánica cuántica para predecir cómo se comportan dichas partículas bajo la acción de dichas fuerzas. Surgen entonces las preguntas: ¿Qué es lo que debemos aprender primero? ¿Debe enseñarse la ley correcta desde el punto de vista de la mecánica cuántica o estudiar primero la naturaleza eléctrica de la materia, la conservación de la carga, etc? Evidentemente lo que primero excita más nuestra imaginación, pero, el segundo es más fácil comprender de inmediato, además, no requiere de un bagaje de conocimientos matemáticos avanzados que sí requiere el primero. Una propiedad fundamental de la carga eléctrica es sin lugar a dudas su existencia en las dos clases diferenciadas desde un inicio en, positivas y negativas , o si se quiere “protones” y “electrones ”. El hecho comprobado es que si son de la misma clase se repelen y si son de distinta clase se atraen. Ahora bien, si dos cuerpos pequeños A y B, cargados eléctricamente (con una de las dos clases mencionadas líneas arriba) además de estar separadas una cierta distancia se repelen entre sí, y si A atrae a un tercer cuerpo C, siempre verificaremos que B atrae a C.
Fig. 1.1 Interacción mutua entre diferentas clases de partículas cargadas
El porqué rige esta ley universal realmente no lo podemos decir con absoluta seguridad. Sin embargo los físico hoy en dia tienden a considerar las cargas positivas y negativas fundamentalmente como manifestaciones opuestas de una dualidad (considerada muchas veces como una propiedad intrínseca de la materia, su carga eléctrica), tal como “derecha” e “izquierda” son manifestaciones opuestas de mano. A decir verdad, la cuestión de simetría implicada en “derecha” e “izquierda”, parece estar íntimamente relacionada a esta dualidad de carga eléctrica , y a otra simetría fundamental, los dos sentidos del tiempo. La física de partículas elementales está buscando que aclarar esta cuestión. Otras dos propiedades observadas de la carga eléctrica son esenciales en la estructura eléctrica de la materia, la conservación de la carga y la cuantización de la carga.
a) Coja un peine (ú otro objeto) de plástico, frótelo contra un trozo de lana (puede ensayar con otras telas). Ahora, manipule un caño de agua hasta que corra un fino hilo de agua. Acerque el peine frotado al hilo de agua. Describa lo observado y dibújelo. b) Tome una hoja de papel periódico, luego trócelo en pequeñas partes y deposítelo en la mesa. Seguidamente frote el peine de plástico contra un trozo de lana y pácelo por sobre los pedacitos de papel. Describa lo observado y dibújelo. c) Sobre una mesa mantenga una plancha de vidrio (o de plástico, ensaye con diferentes plásticos ) a unos 2.50 cm apoyar la plancha, en sus costados, sobre libros u otros objetos convenientes. Luego, corte pedacitos de papel periódico y deposítelos sobre la mesa, de tal manera que la plancha de vidrio se encuentre encima, seguidamente frote la plancha de vidrio en su parte superior con un trapo de lana ( puede ensayar con otros tipos de tela ). Describa lo observado y dibújelo. d) Frote un peine sobre sus cabellos y pase cerca de su brazo ( puede ensayar con otras partes ligeramente velludas de su cuerpo ). Describa lo observado y dibújelo. e) Suspenda un pedazo de hilo de nylon, luego acerque un peine de plástico previamente frotado. ¿ Qué observa ?. Describa lo observado y dibújelo. f) Tome ahora un pedazo de tubo de plástico ( preferentemente una tubería de agua de ½” ). Seguidamente en uno de sus extremos fije un pedazo de metal ( puede ser un dedal) luego frote la varilla con un trapo de lana o seda en dirección de la cabeza metálica pudiendo inclusive tocar tal extremo. Previamente a este procedimiento deberá tener listo una masa (bolilla) de tecnoport, y que deberá estar pintada con carboncillo o con grafito coloidal (puede preparar varias bolillas de distintos diámetros, procurando que éstas no sean muy grandes). Luego deberá suspenderlo de un extremo, de modo que se observe sí.
Tubode plástico
Bolillade tecnopor
Fig. 1.
Debemos decir además que la bolilla deberá estar quieta. Haga entonces los siguientes ensayos:
f.1) Acerque la varilla (previamente frotada) a la bolilla. Diga lo que observa y grafique. f.2) Repita el procedimiento anterior, pero ahora permita que la bolilla se “pegue” a la varilla, seguidamente sepárelo de ella ( emplee la “fuerza” si es necesario ). A continuación acerque la cabeza metálica de la varilla hasta que “toque” a la bolilla y diga ¿qué ocurre en ese preciso instante?. f.3) Suspenda dos bolillas de sus extremos ( de preferencia que sea del mismo tamaño ) separados una pequeña distancia ( ensaye esta distancia ) luego “toque” una de las bolillas con la varilla frotada ¿qué ocurre? Observe y dibuje. Seguidamente haga lo mismo con la otra bolilla ¿qué ocurre ahora?, observe y dibuje. Ahora acerque la cabeza metálica a cada una de las bolillas ¿qué ocurre ahora?, observe y dibuje. f.4) Las dos bolillas penden ahora verticalmente de sus extremos. Sin tocarlas, acerque ahora la varilla frotada a través del plano de las bolillas y sus hilos. ¿Qué le ocurre ahora a las bolillas?. Retire la varilla ¿cuál es la posición de las bolillas?, observe y dibuje.
var illade plástico
cabeza metálica
Fig.1. f 5) Las bolillas son ahora obligadas a mantenerse juntas en contacto. Acerque la varilla frotada, luego, sin retirar la varilla separe las bolillas (utilice un poco de su fuerza si fuera necesario) ¿ qué ocurre ahora con las bolillas?. Observe y dibuje. Retire ahora la varilla (cuya cabeza no ha tocado a las bolillas), luego acérquelas una distancia prudencial de tal manera que no entren en contacto ¿Qué observa?. Dibuje.
Analicemos las fuerzas de atracción y repulsión entre los cuerpos cargados observados en 1.4 (experimentos a realizarse en casa). Se tratan de fuerzas como las que conocemos en mecánica, las que pueden fácilmente deducirse del “diagrama de cuerpo libre” de la bolilla, ver Fig.1.6.
( ) a
Tubodeplástico
T
W
F
( b )
Fig. 1.6 (a) Bolilla y varilla en interacción, (b) diagrama de cuerpo libre de la bolilla.
Como observamos, dicha bolilla es atraída y mantenida con el hilo de soporte inclinado. En el diagrama de cuerpo libre se hace necesario considerar una fuerza extra para explicar el equilibrio. Para la bolilla en equilibrio, conociendo la fuerza W de su peso y la dirección de la tensión T en el soporte (la cual podemos medirla) verificamos que F está en la dirección de la línea que une a los cuerpos cargados. Además, al alejar las cargas entre sí, F disminuye; al acercarlas, aumenta. Si la distancia se mantiene constante solo se verificará a lo más un cambio en la dirección. Ver Fig. 1.7.
T
W
F
( ) a
T ( b )
F
W
d d
Fig. 1.7 Diagrama de cuerpo libre de la bolilla para dos configuraciones distintas (a ) y ( b ).
Para determinar cómo varía F con la distancia, efectuemos el siguiente experimento: Consideremos dos bolillas cargadas. El extremo de una de ellas es mantenido fijo, mientras la otra bolilla es desplazada alternadamente, hacia abajo, hacia arriba, a los costados, de modo tal que el módulo de la fuerza F sobre la primera bolilla se mantiene constante, en otras palabras, el ángulo entre la cuerda de la cual se encuentra suspendida la primera bolilla y la vertical sea fijo. Ver Fig.1.
F
T
W
( ) a ( ) b
Fig. 1.8 (b) Representación de fuerzas sobre la bolilla suspendida del hilo, en el cual se ha substituido la varilla por otra bolilla semejante ( 2 ).
Así vemos que, en el diagrama de cuerpo libre de la bolilla se conocen W , la dirección de T y la dirección de F , suficientes para calcular precisamente la magnitud de F (^) , objetivo de este experimento.
F
Fig. 1.
T
W
β e 1
e 2
De la Fig.1.9 tenemos F + T + W = 0 (1.1) Donde:
2
1 2
1 2 cos
cos
W W e
T T e Tsen e
F F e Fsen e
Reemplazando en (1.1) y reagrupando convenientemente, se obtiene
( F cos β − Fsen α) e 1 +( T cos α− Fsen β− W ) e 2 = 0 (1.3)
Los experimentos realizados en casa (ver nuevamente 1.4) indican además que tal fuerza depende no solo de la distancia, sino también de la cantidad de carga eléctrica que poseen los cuerpos en interacción. Aclaremos este detalle.
( ) a ( b )
− +^ +
r 12
F 12
−^ +
r 12
F 12
2 ó 2 *
( ) c ( d )
Fig. 11 Configuración de bolillas cargadas (a), y representación de la interacción entre ellos (b). Distribución de cargas entre dos bolillas y una nueva distribución de ellas (c) y la nueva interacción entre estas (d).
Tomemos tres bolillas pintadas con grafito coloidal y marquémosla con 1, 2 y 2*, de tal manera que “1” esté cargada negativamente, “2” cargado positivamente y “2” sea neutra (ver Fig.1.11 (a)). Entonces calculemos la fuerza tan como se indica en la Fig.1.11 (b),
es decir la fuerza sobre la bolilla “1” debido a la bolilla “2”.
F 12
Seguidamente, juntamos las bolillas 2 y 2*^ (de iguales dimensiones y material), de manera que se redistribuye la carga y queden cargadas positivamente (por conservación de la carga). Ello nos permite observar lo siguiente:
- La fuerza F 12 entre la bolilla “1” y la bolilla “2” habrá disminuido al valor F 12 *.
- La fuerza entre “1” y “2*” es también F 12 *.
F = F. En efecto, si asumimos (distancia entre los centros de las cargas)
constante y que una de las cargas ha disminuido en la mitad de su valor original.
r 12
Luego, si distribuimos la carga en tres balillas, cuatro bolillas “iguales” , etc, obtendremos que la fuerza (manteniendo siempre constante) habrá disminuido a un tercio, un cuarto etc, respectivamente, de su valor inicial. Por su puesto que estas consideraciones las hacemos bajo la suposición que la carga de la bolilla “2” se ha distribuido de manera tal que si son tres o cuatro las bolillas a distribuir (estando “2” incluida)a cada una le tocará la tercera parte, cuarta parte , y así sucesivamente.
r 12
- Ahora bien, si era la carga que tenía la bolilla inicialmente entonces la carga
que tendrá después de tomar contacto con “(n-1)” bolillas iguales será de
Q 2
2
Q
n
además encontramos que la fuerza , medida a la misma distancia con que se halló anteriormente (con toda su carga ) será:
F 12 F 12 Q 2
12
12
F
n
F = (1.8)
Luego (^3) 12
12 r
r F ≈ ± Q (1.9)
Donde * 2 2
Q
n
Q = (1.10)
- Si ahora repetimos el proceso, pero, dejando la carga “2” fija y dividimos la carga “1” obtendremos que la fuerza es también proporcional a Q 1 , es decir:
3 12
12 (^1212) r
r F ≈ ± QQ ( Tercer principio )^ (1.11)
- Finalmente diremos que si tomamos Q > 0 la carga será positiva; si Q < 0 , entonces será negativa ( Primer principio ), y tomando K como constante de proporcionalidad obtendremos el siguiente resultado:
3 12 12
12 1 2 r r
QQ
F = K (1.12)
La expresión obtenida en (1.12) expresa la Ley de Coulomb en términos matemáticos, desde un punto de vista vectorial. Resumiendo tendremos:
¡ Existen dos y solo dos clases de cargas eléctricas, siendo una positiva y la otra negativa. ¡ Dos cargas puntuales ejercen entre sí fuerzas que actúan sobre la línea recta que los une y que son inversamente proporcional al cuadrado de su distancia de separación. ¡ Las fuerzas señaladas anteriormente son también proporcionales al producto de sus cargas; son repulsivas si las cargas son iguales y atractivas si las cargas son contrarias. ¡ Puede verificarse además que F (^) 12 + F 21 = 0 , esto es se cumple el principio de acción y reacción ( Tercera Ley de Newton ).
Es importante mencionar que los resultados anteriores se obtienen considerando que entre las dos cargas sólo existe el aire ó el vacío, además se descarta la presencia de otro cuerpo cargado. Podría suceder que las cargas eléctricas estuvieran sumergidas en un cierto ambiente (medio). En tal caso desconocemos lo que sucedería (nuestras bases teóricas no son las suficientes todavía para poder explicarlas).
Ejemplo 1 Se coloca una pequeña carga eléctrica 1 cm. verticalmente, por sobre una carga de + 10 uec y se observa que su peso disminuye aparentemente en 2 dinas. Hállese: a) La magnitud de la carga sobre el cuerpo. b) El signo de dicha carga. Solución. La aparente disminución del peso nos sugiere que ocurre una interacción de repulsión por lo que el signo de la carga debe ser positivo.
1 cm
Q 1
Q 2
Q 2
F e
W = m g
Fig. 1.
La magnitud de la carga la podemos hallar observando que “F” es de naturaleza repulsiva.
Como Q 1 = + 10. 00 uec , r = 1. 00 cm , K = 1 dinaxcm^2 ( uec )^2 y 122
r
Q Q
F = K
Y reemplazando en la fórmula indicada se obtiene Q (^) 2 = 0. 5 uec. Obsérvese que no
era necesario conocer el peso del cuerpo cargado.
1.6 Principio de Superposición. Si en el mundo solamente existieran dos cargas y con las que tuviéramos
que experimentar, nunca podríamos medirlas por separado. Únicamente podríamos
comprobar que es proporcional a
Q 1 Q 2
F 12
2 1 r 12. Supongamos que tenemos tres cuerpos que
poseen cargas , y , podemos medir la fuerza sobre cuando esta muy cerca,
a 10 cm. de , y está muy lejos; como en la Fig. 14 (a).
Q 1 Q 2 Q 3 Q 1 Q 2
Q 1 Q 3
A continuación podemos alejar y poner en su lugar a y medir de nuevo la
fuerza sobre. Finalmente colocamos y muy próximos entre sí y a una distancia
de 10 cm. de.
Q 2 Q 3
Q 1 Q 2 Q 3
Q 1
Midiendo la fuerza sobre vemos que es igual a la suma de las fuerzas
previamente medidas. Este importante resultado no podía predecirse por razonamientos
Q 1
lógicos a partir de la simetría, como hemos hecho anteriormente cuando demostramos que la fuerza entre dos cargas puntuales tiene la dirección de la recta que los une.
Sea cual fuera el número de cargas presente en nuestro sistema, la ley de Coulomb puede utilizarse para calcular la interacción de cada par. Este es la base del principio de superposición al cual invocamos muchas veces en nuestro estudio de la física. La superposición significa combinar dos conjuntos de manantiales en un sistema añadiendo al segundo “sobre” el primero sin alterar su configuración.
“La fuerza con la cual dos cargas interactúan no se modifica por la presencia de una tercera carga”.
Fig. 1.14 (b) 10 cm
Q 1
Q 2 Q 3
10 cm
1
Q 2
dis tan ciamuy grande Q^3
Fig. 1.14 (a)
Q
dis tan ciamuy grande
10 cm
Q 1
Q 2
Q 3
dis tan ciamuy grande
Fig. 1.14 ( c )
Observación. Puede muy bien existir un dominio de fenómenos en donde no se cumpla la superposición, en realidad hoy en día sabemos que los fenómenos cuánticos en el campo electromagnético representan un fracaso de la superposición, considerada desde el punto de vista de la física clásica. Existen razones para aceptar la ley de Coulomb en el enorme
dominio de distancias, desde 10 −^13 cm .a varios metros.
1.7 Conductores y Aislantes. En lo que respecta a su comportamiento eléctrico, los materiales pueden dividirse en dos categorías: Conductores de electricidad y aislantes (dieléctricos)
Los conductores. Son sustancias, como los metales, que contienen un gran número de portadores de carga libre esencialmente. Estos portadores de carga (electrones en la mayoría de los casos) tienen la libertad de moverse por el material conductor, responden a campos eléctricos casi infinitesimales y continúan moviéndose mientras experimenten un campo.
c ado
Objeto arg
Aislante
inducida
C arg a
Fig.1.16 (a) Un peine cargado atrae pedazos de papel porque las cargas son desplazadas en el papel (b) Objeto cargado induce cargas sobre la superficie de un aislante.
Estos portadores de carga llevan corriente eléctrica cuando se mantiene un campo eléctrico en el conductor por medio de una fuente externa de energía.
Los Aislantes (dieléctricos). Son sustancias en las que todas las partículas cargadas están ligadas muy fuertemente a las moléculas constituyentes. Las partículas cargadas pueden cambiar sus posiciones ligeramente como respuesta a un campo eléctrico, pero no se alejan de la vecindad de sus moléculas (esta definición se aplica a un dieléctrico ideal). Los dieléctricos físicos reales pueden mostrar una débil conductividad, de unas veces menor que la de un conductor.
Los semiconductores. Son una tercera clase de materiales cuyas propiedades eléctricas se encuentran entre la de los aislantes y de los conductores. El silicio y el germanio son ejemplos de semiconductores muy conocidos y que son usados en la construcción de diversos dispositivos electrónicos, como transistores, diodos etc. Las propiedades eléctricas de los semiconductores pueden cambiarse en varios ordenes de magnitud añadiendo a estos materiales cantidades controladas de ciertos átomos (impurezas).
Fig. 1. 17
El concepto de tierra. La tierra puede considerarse como un “sumidero” infinitamente grande, al cual las cargas eléctricas pueden emigrar muy fácilmente. Con esta definición podemos entender de que manera se carga un conductor por medio de un proceso denominado como inducción.
Para entender la inducción consideramos una esfera conductora neutra (sin carga) aislada de la tierra, como se muestra en la Fig.1.17 (a). Cuando una varilla de caucho cargado negativamente se acerca a la esfera, en la región de la esfera más cercana a la varilla se concentra un exceso de carga positiva, mientras que en la región más alejada de la varilla se concentra un exceso igual de cargas negativas, como se muestra en la Fig.1.17 (b), es decir las cargas eléctricas en la esfera conductora se van a desplazar en sentidos opuestos para ubicarse como se indica en la Fig.1.17 (b). Seguidamente, el extremo de la esfera conductora es puesto a tierra mediante un hilo conductor, como se muestra en la Fig.1.17(c). Esto permite a los electrones de la esfera emigrar a través del hilo conductor a tierra como consecuencia de la intensa repulsión de las cargas negativas de la varilla. Si el alambre de conexión a tierra es retirado posteriormente, entonces la esfera conductora tendrá un exceso de cargas positivas inducida, como se observa en la Fig.1.17 (d). Finalmente cuando se retira la varilla de caucho de la vecindad de la esfera, ésta quedará cargada positivamente por inducción
- 00 cm
Q
q
iFig.1. 6.-Una esfera de plástico del tamaño de una pelota de fútbol es pintado con grafito coloidal y tiene carga. A un centímetro de ella se coloca una esferilla, como las usadas anteriormente de carga ¿puede ud. determinar la fuerza entre las cargas consideradas? ¿porqué? ¿Qué consideraciones hemos hecho al hallar experimentalmente la ley de Coulomb? ¿qué debe con carga puntual?.
Q
q
8.- Calcular la masa que debería tener un electrón para que la fuerza eléctrica sea igual a la fuerza gravitacional entre los mismos. Comparar esta masa así hallada con la masa real del electrón.
Q 1
Q 2
h
iFig.1.
7.- Sean dos cargas puntuales Q y del
mismo signo. La carga está fija, la carga de peso W solo puede desplazarse verticalmente. La carga se deja caer desde una altura h sobre la carga calcular:
1 Q 2
Q 2
Q 1
Q 1
Q 2
a) La distancia mínima de acercamiento. b) La distancia máxima de acercamiento c) La distancia d, para que la fuerza de interacción entre ellas sea nula.
9.- Demostrar que u ⋅ du = udu , también que (^) ⎟ ⎠
r
dr d r
r 1
Demuestre que el trabajo realizado por la fuerza (^1 ) r
r F = KQQ , a lo largo de una
trayectoria que une los puntos p 1 y p 2 está dado por:
= (^) ∫ ⋅ =− − 2 1
1 2
(^1) r r
W F dr KQQ
p p
- Defínase la función = −∫ ⋅
2 (^211)
p V (^) p F dr , luego demostrar que: (^) ⎟
2 1
21 1 2
r r
V KQQ. El
valor V 21 es llamado diferencia de energía potencial eléctrica al pasar de p 1 a p 2.
