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Solución de EDO con la Transformada de Fourier
Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial
y
3 y
2 y 6 t
Aplicando la transformada de Fourier
y
3 y
2 y 6 t
y
y
y
t
iw
2
Fw 3 iwFw 2 Fw 6
iw
2
3 iw 2 Fw 6
Fw
iw
2
3 iw 2
iw 1 iw 2
A
iw 1
B
iw 2
iw 1
iw 2
calculando la transformada inversa de Fourier se obtiene
y ft 6 e
t
ut 6 e
2 t
ut
Ejemplo. Resolver la ecuación diferencial
y
6 y
5 y t 3
Aplicando la transformada de Fourier
y
6 y
5 y t 3
y
y
y
t 3
iw
2
Fw 6
iw
Fw 5 Fw e
3 iw
iw
2
6 iw 5 Fw e
3 iw
Fw
e
3 iw
iw
2
6 iw 5
e
3 iw 1
iw 1 iw 5
e
3 iw
1
4 iw 1
1
4 iw 5
1
4
e
3 iw
iw 1
e
3 iw
iw 5
calculando la transformada inversa de Fourier se obtiene
ft
e
t 3
ut 3 e
5 t 3
ut 3
Convolución
Sean f y
g
funciones definidas en la recta real. Entonces f tiene una
convolución con
g
si
a
b
ftdt
y
a
b
gtdt
existen para todo intervalo
a, b.
- Para todo número real
t
ft g
d
converge. En este caso, se define la convolución
f gt
ft g d .
ft gt
1 1
iw 1
2
iw 2
2
1
2
1 iw
1
1 iw
2
2
2 iw
1
2 iw
2
2 e
t
ut te
t
ut 2 e
2 t
ut te
2 t
ut
Teorema de Parseval
El teorema de Parseval para la transformada de Fourier afirma que si
ft
es
una señal de energía, entonces
|ft|
2
dt
|Fw|
2
dw
Ejemplo. Evalúe
1
a
2
x
2
dx
Solución : sea
ft e
at
ut
Fw ft
a iw
luego
|Fw|
2
a iw
2
a iw
a iw
a iw
2
a iw
a
2
w
2
2
a
a
2
w
2
i
w
a
2
w
2
2
a
a
2
w
2
2
w
a
2
w
2
2
2
a
2
w
2
a
2
w
2
2
2
a
2
w
2
Por el teorema de Parseval
|ft|
2
dt
1
2
|Fw|
2
dw
o
|
Fw |
2
dw 2
|
ft |
2
dt
a
2
x
2
dx 2
|ft|
2
dt 2
0
e
2 at
dt 2
e
2 at
2 a
0
a
Ejemplo. Evaluar
1
4 x
2
dx
por el ejercicio anterior
a 2 , luego
1
4 x
2
dx
2
Ejemplo. Evaluar
a
2
a
2
x
2
2
dx
Solución
Sea
ft
1
2
e
a|t|
entonces
Fw
2 a
a
2
w
2
a
a
2
w
2
Por el teorema de Parseval
Fw
2
dw 2
ft
2
dt
