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TEMAS QUE USTED DEBE SABER PARA PRESENTARSE AL EXAMEN FINAL DE
CALCULO III (Grupo 01) Profesora: Doris Hinestroza
El examen cubrir· los capÌtulos de Funciones Vectoriales, Campos vectoriales y Campos Escalares (o Funciones de Varias Variables). El examen ser· aprÛximadamente de hora y media.
Los temas que usted debe conocer son siguientes:
- Elementos b·sicos del algebra lineal. Usted debe saber distinguir entre vectores y escalares, entre el producto escalar !a
b que es un n˙mero (como se calcula) y el producto cruz !a
b que es un vector (como se calcula). Usted debe saber calcular la norma de un vector (es un n˙mero) y debe saber construir un vector unitario u =
!a k !a k
. Usted debe saber como se calcula la ecuaciÛn cartesiana de un plano dado un vector normal al plano y un punto dado del plano. Usted debe conocer como se halla la ecuaciÛn vectorial y paramÈctricas de una recta que pasa por un punto P y que tiene un vector director !a
- Funciones Vectoriales
(a) Funciones Vectoriales: Usted debe saber que es una funciÛn vectorial. Usted debe saber dar ejemplos de funciones vectoriales. Dado una funciÛn vectorial !r (t); usted debe saber calcular el vector velocidad !v (t) =
r^0 (t) y la aceleraciÛn !a (t) =
r^00 (t): Usted debe conocer la propiedad geomÈtrica de las funciones vectoriales dieferenciables que tienen longitud constante. (b) Vectores tangente, Normal, y Binormal: Dado una funciÛn vectorial !r (t) saber calcular el vector velocidad !v (t) =
r^0 (t) y la aceleraciÛn
a(t) =
r^00 (t): Calcular el vector tangente ! T (t) =
! r^0 (t) ! r (^0) (t) , el vector normal^
N (t) =
! T 0 (t) T 0 (!t) y el vector binormal^
B(T ) =
T (t)
N (t).
Usted debe poder hallar la ecuaciÛn vectorial de la recta tangente y la ecuaciÛn del plano osculador a la curva en un punto dado. (c) DescomposiciÛn de la aceleraciÛn. Usted debe saber por quÈ el vector aceleraciÛn
a(t); se puede descomponer como
a(t) = aT
T (t) + aN
N (t) y como se llaman los n˙meros aT y aN y como se calculan. (d) La Longitud del arco: Usted sebe saber calcular la longitud de una funciÛn vectorial entre
dos puntos dados
r(a) y
r(b), L =
Z^ b
a
r^0 (t) dt. Usted debe saber deÖnir la funciÛn longitud
de arco s(t) =
Z^ t
a
r^0 ( ) d y sus propiedades por ejemplo que es s^0 (t); que s es invertible
(porquÈ). Usted debe saber la importancia de parametrizar una curva por la longitud del arco, y por dada la parametrizaciÛn de una curva como reparameterizar la curva por longitud de arco.
(e) Curvatura: Usted debe saber que signiÖca la curvatura y como calcularla, k(t) =
T 0 (!t) v(t) = ! a(t)
v(t) v^3 (t)
- Campos Vectoriales y Campos Escalares (o Funciones de varias variables)
(a) campos vectoriales y campos escalares: Usted debe saber que son campos vectoriales y campos escalares. Usted debe saber dar ejemplos campos vectoriales y campos escalares. (b) Gr·Öca de un campo escalar, Curva de Nivel y SuperÖcies de Nivel: Usted debe entender quÈ son curvas del nivel, dibujarlas y su relaciÛn al gr·Öco de una superÖcie. Usted debe entender que son superÖcies de nivel, dar algunos ejemplos como los cÌlindros, el cono, la esfera, etc. Usted debe saber la diferencia entre gr·Öca de una funciÛn, curvas de nivel y superÖcies de nivel. (c) Los lÌmites y la Continuidad: Usted debe saber calcular los lÌmites de una funciÛn de dos variables, y poder determinar cuando una funciÛn de m·s de una variable tiene lÌmite o no, cuando es continua o no. (d) Derivadas en un punto y en una direcciÛn dadas. Usted debe conocer la deÖniciÛn f 0 ( !a ; !y ) = lim t! 0
f ( !a + t !y ) f ( !a ) t
; cuando se habla de derivada direccional, que son las derivadas parciales y saber calcularlas. Entender que representa f 0 ( !a ; !y ): (e) Diferenciabilidad de una funciÛn de un campo escalar. Usted debe conocer la deÖni- ciÛn de cuando un campo escalar f : Rn^! R (n = 2; 3 ) sea diferenciable en !a 2 : Un campo es diferenciable en !a 2 ; si existe un vector, denotado por rf (a) 2 Rn^ talque
!^ lim h ! ! 0
f ( !a +
h ) f ( !a ) rf ( !a )
h ! h
= 0: Esto tambiÈn lo podemos expresar equivalente-
mente como f ( !a +
h ) = f ( !a ) + rf ( !a )
h +
h E( !a ;
h ); donde (^) !lim h ! ! 0
E( !a ;
h ) = 0:
Usted debe conocer la importancia de que una funciÛn sea diferenciable en !a : (i) f es con- tinua en !a ; (ii) f 0 ( !a ; !y ) existe para todo !y 2 Rn^ y f 0 ( !a ; !y ) = rf ( !a ) !y : Usted debe saber la interpretaciÛn geomÈtrica de la derivada direccional f 0 ( !a ; !y ). øQuÈ importancia tiene el vector gradiente rf ( !a )? Debe saber que el rf ( !a ) es la direcciÛn de m·ximo crec- imiento y que signiÖca krf ( !a )k : Usted debe conocer la regla de la cadena. debe saber que (^) dtd (f ( !r (t)) = rf ( !r (t))
r^0 (t): Utilizando la regla de la cadena Usted debe saber que el gradiente siempre es perpendicular a las curvas de nivel. Usted debe saber pintar el gradiente y conocer el signo de las componentes del gradiente cuando le dan algunas super- Öcies de nivel. Usted debe saber construir una direcciÛn !y sobre las curvas de nivel tal que f 0 ( !a ; !y ) = 0: Usted debe saber utilizar la regla de la cadena cuando le dan z = f (x; y) donde x = x(u; v); y = y(u; v) y saber calcular
@z @u
@z @v
@^2 z @u@v
@^2 z @u^2
@^2 z @v^2
: Lo mismo para funciones de tres variables t = f (x; y; z) donde x = x(u; v; w); y = y(u; v; w); z = z(u; v; w) y saber calcular
@t @u
@t @v
@t @w
@^2 t @u@v
@^2 t @u^2
; etc: Usted debe saber calcular la ecuaciÛn del plano tangente a una superÖcie cuando la superÖcie est· dada como la superÖcie de nivel de una funciÛn de tres variables o como la gr·Öca de una funciÛn de dos variables. Usted debe saber utilizar el gradiente para hallar aproximaciones lineales utilizando el hecho que si
h
0 entonces f ( !a +
h ) f ( !a ) + df , donde df = rf ( !a )
h (llamado diferencial de f en !a : Usted debe saber hallar la diferencial total de una funciÛn. Usted debe saber que es los m·ximos y mÌnimos globales y locales de una funciÛn de dos variables. Debe saber que es un punto silla. Usted debe saber calcular los puntos crÌticos de una funciÛn, rf ( !x ) =
0 y clasiÖcar los puntos crÌticos en m·ximos, mÌnimos y puntos silla usando el criterio de la matriz Hessiana.
