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Departamento de Ciencias

COMPLEMENTO MATEMÀTICO

PARA INGENIEROS

SESIÓN 6 : Ecuación de la hipérbola

INTRODUCCIÓN

Sistema de navegación de largo alcance LORAN

Es un sistema de ayuda a la navegación

electrónico hiperbólico que utiliza el intervalo

transcurrido entre la recepción de señales

de radio transmitidas desde dos transmisores para

determinar la posición del receptor..

¿Cómo será una trayectoria hiperbólica?

¿Qué función cumplirán las 2 estaciones?

¿Qué necesitaremos saber para diseñar un sistema

de este tipo?

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión el estudiante

resuelve ejercicios y problemas

de contexto real relacionados a

su carrera haciendo uso de la

ecuación de la hipérbola, de

forma correcta.

CONTENIDOS

1. Definición y elementos de la hipérbola.

2. Ecuación de la hipérbola.

3. Ecuación ordinaria de la hipérbola.

4. Aplicaciones.

ELEMENTOS

o Centro: C

o Vértices: V y V ´

o Focos: F y F ´

❖ Excentricidad:

= ; c  1 a

c e

❖ Asíntotas:

❖ Lado Recto

2 2 b LR a

=

( x h ) a

b y − k =  −

( x h ) b

a y − k =  −

Eje transverso paralelo al eje x:

Eje transverso paralelo al eje y:

oEje transverso: VV´=2a

oEje conjugado:

BB´=2b oEje Focal: línea recta que

pasa por los focos Distancia Focal

FF´=2c

2 2 2

c = a + b

Se cumple:

❖ Ejes

Y

L’

B

V’ V

B’

F ´ F

R’ R

L

X

C

a a

b

b

c c

ECUACIÒN CANÒNICA C(0,0)

C(0;0) y eje focal en el

eje x

2

2

2

b

y

a

x

C(0;0) y eje focal en el

eje y

2

2

2

b

x

a

y

Ejercicio

x

y

𝒉

𝒌 (^) 𝒂

𝒃

2

2

2

2

b

y k

a

x h

Ecuación de la hipérbola con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje X

2 2 2

c = a + b

Ejercicio

𝟐

𝟐𝟐^

𝟐

𝟑𝟐^

2

2

2

2

b

y k

a

x h

Ejemplos

Identifique a 𝒉, 𝒌 ; 𝒂 y 𝒃 de:

Ecuación de la hipérbola con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje X

Ejercicio

𝟐𝟐^

𝟑𝟐^

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

Con centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje Y

2

2

2

2

b

x h

a

y k

Ejemplos

Identifique a 𝒉, 𝒌 ; 𝒂 y 𝒃 de:

Solución

Ejercicio

Hallar la grafica de la siguiente hipérbola:

1 2 3

2

2

2

2

− =

x y

Ejercicio

Encuentra la ecuación general de la hipérbola con focos en (1,6) y (1,0) y excentricidad e = 3/2.

Solución

Ejercicio

Encuentra la ecuación general de la hipérbola con focos en (1,6) y (1,0) y excentricidad e = 3/2.

x

y

(^0 1 )

F ´

F

c

c

5

4

3

2

1

6

C( 1, 3)

Se deduce que: 𝒉 = 𝟏 , 𝒌 = 𝟑, 𝒄 = 𝟑

Además: e =

c a

3 2

Reemplazando la información en la condición:

𝑐 2 = 𝑎 2

• 𝑏 2

Se tiene: 3 2 = 𝟐 2

• 𝑏 2

Resolviendo la ecuación obtenemos: 𝑏 = ± 5 Descartamos la solución negativa, puesto que b es una distancia.

La ecuación ordinaria es: (^ ) ( ) 1

2

2

2

2

b

x h

a

y k

1 5

( 1 )

4

( 3 ) 2 2 =

− −

Reemplazando tenemos: y −^ x

Solución

Ejemplo

Halle la ecuación canónica de la hipérbola que tiene sus Focos en ( 3 , 0 ) y lado recto = 5

Solución

Ejemplo

Halle la ecuación canónica de la hipérbola que tiene sus Focos en ( 3 , 0 ) y lado recto = 5

x

y

• 3 - 2 - 1 0 1 2 3

F ´ F

c^ c

C( 0, 0)

Se deduce que:

𝒄 = 𝟑 y 𝐿𝑅 =

2 𝑏^2 𝑎

𝟐

𝟓𝒂 𝟐 Reemplazando la información en la condición: 𝑐^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2

Se tiene: 3 2 = 𝑎 2

5𝑎 2

Resolviendo la ecuación cuadrática se tiene:

𝒂 = 𝟐 ∨ a = −

Como a = 2 , entonces: 𝑏 = 5

Descartamos la solución negativa, puesto que a es una distancia.

2 𝑎^2 + 5𝑎

2

• 5𝑎 − 18 = 0

(2𝑎 + 9 )(𝑎 − 2 ) = 0

 la ecuación canónica será:

1 4 5

2 2

− =

x y

2

2

2

2

b

y

a

x