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El ajedrez puede constituir un excelente recurso didáctico en el aula de matemáticas. El presente trabajo trata sobre algunas de las conexiones que se pueden establecer entre estas dos disciplinas, y sobre la posibilidad de plantear problemas matemáticos tomando como soporte el tablero y las piezas de ajedrez. Los contenidos de los problemas son muy variados, manejando diver- sas cuestiones -algebraicas, combinatorias, geométricas, cálculo de probabilidades, de lógica, etc.-, que resultan especialmente motivadoras por el carácter lúdico y manipulativo que posee el juego de los 64 escaques.
Chess can be an excellent didactic resource in the Maths class. This piece of work is about some of the connections that can be established between these two disciplines, and about the possibility of setting out mathematical problems involving the use of the chessboard and the chess pieces. The contents of the problems are very varied. Students need to use concepts related to alge- bra, combinatorial analysis, geometry, calculation of probabilities, logic etc... These activities are especially motivating due to the playful and manipulative nature of chess.
as relaciones entre el ajedrez y las matemáticas son muy diversas. Al ajedrez se le suele llamar el juego ciencia por lo que tiene de recreativo y de pseudocientífico. Stefan Zweig, en su obra "El jugador de ajedrez", lo define como "un pensa- miento que no conduce a ninguna parte, una matemática que no establece nada, un arte que no deja tras de sí obra alguna, una arquitectura sin materia...".
Las únicas disciplinas intelectuales que producen con fre- cuencia niños prodigio, además de la música, son el ajedrez y las matemáticas.
El ajedrez es, sin lugar a dudas, el juego ideal para una mente matemática. Entre los matemáticos se suelen encontrar bue- nos ajedrecistas. Euler, Gauss, Legendre y De Moivre fueron grandes aficionados, y resolvieron problemas matemáticos basados en este juego. Por otro lado, no son pocos los ajedre- cistas de elite que fueron amantes de las matemáticas. Adolf Anderssen (1818-1879), profesor de matemáticas en su ciudad natal, Breslau (Alemania), es el autor de dos partidas memo- rables: "La Inmortal", jugada en 1851 contra Kieseritzky, y "La Siempreviva", contra Dufresne en 1852. Wilhelm Steinitz (1836-1900), campeón del mundo entre 1866 y 1894, al que algunos comentaristas califican como el padre del ajedrez moderno, también fue profesor de matemáticas. Emmanuel Lasker (1868-1941), campeón del mundo de 1894 a 1921, estaba especialmente dotado para los números. Doctor en matemáticas por la universidad de Erlanguen (Alemania),
José Ángel Ortega Dato I.E.S. "Diego Tortosa" Cieza (Murcia). Sociedad de Educación Matemática de la Región de Murcia.
El juego-rey y la ciencia de los números
L crea el concepto de ideal primario en su tesis doctoral "Los
módulos ideales", en 1902. Max Euwe (1901-1981), gran maestro holandés, campeón del mundo de 1935 a 1937, fue profesor de matemáticas y su estilo ajedrecístico se caracteri- zaba por la precisión matemática en el tratamiento de todas las fases del juego. Mijail Botvinnik, del que es famosa su frase "El ajedrez es a las matemáticas lo que la música a la acústi- ca", fue un gran maestro ruso campeón del mundo en tres ocasiones, entre 1948 y 1963. Como ejemplo actual, el gran maestro inglés Nunn es doctor en Topología Algebraica por la universidad de Oxford.
En el IES Diego Tortosa de Cieza (Murcia), en el que desarro- llo mi labor docente, se ha introducido un Taller de Ajedrez como materia optativa en el cuarto curso de la ESO, tras la autorización por parte del MEC de un currículo propio.
Por otro lado, entre las materias optativas de la ESO se encuentra el Taller de Matemáticas. Esta asignatura no se concibe como una clase más de Matemáticas, ni de amplia- ción ni de recuperación de conocimientos; se trata más bien de trabajar los conceptos ya adquiridos dándoles una dimen-
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sión práctica y prestando especial atención a los contenidos de carácter procedimental y actitudinal. El profesorado tiene gran libertad a la hora de seleccionar los contenidos a impar- tir, y de adecuarlos a las motivaciones, intereses y caracterís- ticas de los alumnos que elijan esta materia. Entre los objeti- vos del Taller de Matemáticas destacan el desarrollar capaci- dades para la resolución de problemas, fomentar la imagina- ción y creatividad, poner de manifiesto el aspecto utilitario de las matemáticas, potenciar el trabajo en equipo, favorecer una actitud positiva hacia las matemáticas, y descubrir que se puede llegar a disfrutar “haciendo matemáticas”.
Es fácil, pues, que surgiera la idea de relacionar estas dos materias, Taller de Matemáticas y Taller de Ajedrez, encua- dradas ambas en el departamento de Matemáticas. De esta forma, en el Taller de Matemáticas, comenzamos a elaborar y recopilar problemas de contenido matemático tomando como base al ajedrez.
La introducción en el aula de materiales manipulativos suele ser en sí mismo un estímulo para los alumnos. En particular, el ajedrez puede constituir un recurso didáctico especialmen- te motivador en el aula de matemáticas por su carácter lúdico.
Conocimientos previos y materiales didácticos
Para abordar los problemas no es necesario tener conoci- mientos muy amplios sobre ajedrez, bastará que los alumnos conozcan el tablero y el movimiento de las piezas (gráfico 1).
La resolución de los problemas se realiza fundamentalmente en trabajo en grupo. Los alumnos deberán manejar tableros y fichas de ajedrez, y también puede serles útil en algún momen- to la calculadora. Para explicar una cuestión a todos los alum- nos se usa un tablero mural de ajedrez con fichas magnéticas. La dinámica de la clase suele ser la siguiente. Se reparte una fotocopia del problema por alumno, y otra extra para la res-
puesta del grupo. En primer lugar el problema se estudia indi- vidualmente, a continuación se produce un intercambio de opiniones entre los miembros del grupo para llegar a un con- senso, y se redacta la solución del grupo. Finalmente hay una exposición de cada grupo, intentando llegar a una conclusión para toda la clase, valorando las distintas estrategias seguidas.
Resolución de problemas
Los problemas que se proponen son apropiados para los alumnos del segundo ciclo de la ESO, y pueden servir para reforzar conocimientos ya adquiridos e introducir otros nuevos.
Los contenidos son muy variados, tratándose cuestiones geo- métricas, algebraicas, combinatorias, de lógica, etc. Situándonos en el campo de la resolución de problemas, se pide el establecimiento de fórmulas, el paso a la generaliza- ción partiendo de situaciones concretas, el recuento sistemá- tico de casos, eligiendo en cada situación la estrategia más adecuada.
Se potencian en los alumnos las capacidades de análisis de situaciones, creatividad, pensamiento lógico e imaginación. Por otro lado, al ser el ajedrez un juego, es mayor la participa- ción y la motivación de los alumnos, eliminando el recelo hacia los problemas de contenido matemático.
Tendríamos que puntualizar que un “problema” no es un ejer- cicio; es decir, no se puede resolver de forma automática, sino que requiere una investigación previa para elegir la estrategia adecuada. Muchas veces no se sabe muy bien cómo comen- zar, ni tampoco cómo seguir. De manera que resolver proble- mas es una actividad mental compleja, que requiere ciertos conocimientos y poner en escena una buena dosis de talento y creatividad, por esto, habitualmente habrá muchas formas de resolverlos, y también habrá varios métodos o estrategias en las que se podrá basar la resolución. Se requiere de un entrenamiento y, por lo tanto, el mejor método para llegar a ser un experto en resolución de problemas es el esfuerzo.
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Gráfico 1
Tendríamos que
puntualizar que un
“problema” no es un
ejercicio; es decir, no se
puede resolver de forma
automática, sino que
requiere una investigación
previa para elegir la
estrategia adecuada.
Problema de las ocho damas Otro tema clásico de conexión entre las matemáticas y el aje- drez es el “Problema de las ocho damas”, formulado por el ale- mán Max Bezzel en 1848. Consiste en hallar todas las formas posibles de colocar en el tablero de ajedrez ocho damas, de manera que dominen todas las casillas y no se protejan mutuamente, es decir, sin que ninguna de ellas esté amenaza- da por otra. En el gráfico 3 se representa una de las soluciones.
El problema fue estudiado por C. F. Gauss, el príncipe de los matemáticos, que halló 76 de las 92 soluciones posibles. Pero fue en 1850 un amigo suyo, el matemático ciego Franz Nauck, el primero en encontrar todas las coordinaciones posibles (Frabetti, 1995).
Siguiendo el consejo de Miguel de Guzmán (“Empezar por lo fácil hace fácil lo dif ícil”), el problema lo deben abordar los alumnos en tableros más pequeños: Situar 4 damas en un tablero de 4x4 casillas, situar 5 damas en uno 5x5, etc., tenien- do siempre en cuenta que no puede haber dos damas en la misma fila, columna o diagonal. Es significativo que no exista ningún algoritmo que relacione el número de soluciones posi- bles con las dimensiones del tablero.
Las 92 soluciones en el tablero normal de 8x8 casillas se obtie- nen por giros y simetrías a partir de 12 soluciones básicas (gráfico 4).
Un procedimiento muy laborioso consiste en considerar que el movimiento de la dama es una combinación de torre y alfil. Partiendo del problema con el mismo enunciado pero para ocho torres, que es mucho más sencillo de resolver, basta con- siderar que el movimiento de la torre se produce por filas y columnas, entonces cada torre deberá estar en una columna distinta. La torre de la primera columna se puede situar en cualquiera de sus 8 casillas, la segunda torre se podrá situar en 7 casillas, y así sucesivamente hasta llegar a la octava torre que
sólo dispone de una casilla. Luego el número total de coordi- naciones es 8! = 40320. De éstas, tendremos que eliminar las 40228 coordinaciones en las que dos torres se encuentren en una misma diagonal (movimiento del alfil), para llegar a las 92 coordinaciones diferentes para las ocho damas.
La búsqueda de las soluciones se puede realizar mediante un programa de ordenador. Asignando a cada dama el número de la fila que ocupa, y tomando las columnas de izquierda a dere- cha, cada posición se puede cifrar con un número de 8 dígitos. Por ejemplo, la posición del gráfico 3 se anotaría 35281746. La condición que debe cumplir una permutación para ser solu- ción válida es que la diferencia entre dos cualesquiera de los dígitos no sea igual a su distancia, pues en caso contrario dos damas estarían en la misma diagonal. Por ejemplo, la permu- tación 46851372 no será válida pues el 5 y el 3 están a dos lugares de distancia y se diferencian en dos unidades (las damas situadas en la cuarta y sexta columnas estarían en la misma diagonal).
Una aplicación interesante del problema de las ocho damas a los algoritmos genéticos se desarrolla en el artículo reseñado en la bibliograf ía (Corzo, 2000). Este problema se puede ampliar a cualquiera de las demás
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Gráfico 3
Gráfico 4
El ajedrez es, sin lugar a dudas, el
juego ideal para una mente
matemática. Euler, Gauss,
Legendre y De Moivre fueron
grandes aficionados, y resolvieron
problemas matemáticos basados
en este juego. Por otro lado, no son
pocos los ajedrecistas de elite que
fueron amantes de las
matemáticas.
piezas, enunciando los problemas de coordinaciones de pie- zas idénticas (Bonsdorff, 1974):
“Hallar el máximo número de piezas iguales que se pueden colocar en un tablero de ciertas dimensiones, de modo que no se amenacen entre sí, y determinar todas las combinaciones posibles”.
O también; “hallar el mínimo número de piezas de cierta clase que es necesario y suficiente para abarcar todas las casillas de un tablero de cierto orden”.
E incluso el problema inverso: “¿Cuántas piezas iguales se pueden colocar como máximo en el tablero de forma que no dominen todas las casillas?”.
Problema de Guarini El siguiente problema fue propuesto por el italiano Guarini di Forli en el año 1512, por lo que es uno de los problemas más antiguos relacionados con el ajedrez.
En un tablero de ajedrez de dimensión 3x3 se colocan los dos caballos blancos en las esquinas inferiores y los dos caballos negros en las superiores (gráfico 5). Se trata de intercambiar las posiciones de los caballos blancos y negros en el mínimo número de movimientos, considerando que de forma alterna- tiva se mueve un caballo negro y uno blanco siguiendo las reglas del ajedrez. Manipulando los caballos en el tablero, los alumnos pueden
llegar a la solución. El objetivo se logra en 16 movimientos, haciendo girar los caballos alrededor del tablero en cuatro etapas (gráfico 6). Este problema se puede transformar en otro isomorfo de
carácter topológico de teoría de grafos. Se traza un diagrama donde se representa por una línea recta cada uno de los posi- bles saltos de los caballos. “Desatascando” el grafo se llega rápidamente a la solución (Gardner, 1981).
Problemas sobre el tablero de ajedrez
Tomando como soporte el tablero de ajedrez se pueden plan- tear numerosos problemas. A continuación se exponen algu- nos de ellos.
Cuadrados en el tablero de ajedrez ¿Cuántos cuadrados existen en el tablero de ajedrez? (Fernández, 1991).
Considerando las casillas del tablero tendremos 64 cuadradi- tos, pero también se pueden construir cuadrados tomando de lado dos casillas del tablero (orden 2), tres casillas (orden 3), etc., y hasta ocho casillas de lado que constituiría el cuadrado del tablero completo (gráfico 7).
El cálculo del número de cuadrados que hay de cada orden se realiza mediante recuento sistemático y ordenado. La solu- ción se recoge en la siguiente tabla:
El número total de cuadrados es:
Los alumnos pueden llegar a la fórmula que relaciona el número de cuadrados según su orden:
1
8
∑i i
Orden Nº Cuadrados
1 64
2 49
3 36
4 25
5 16
6 9
7 4
8 1
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Gráfico 5
Gráfico 6
Gráfico 7
Pero, ¿qué es lo que ocurre? ¿Nos habéis hecho trampa?. El tablero de ajedrez tiene 64 casillas y el rectángulo obtenido 65. ¿Dónde está la casilla que sobra?
Si los cuatro trozos se reagrupan como en el gráfico 11 en vez de ganar una casilla, lo que ocurre es que se pierde, ya que la figu- ra tiene sólo 63 casillas. ¿Dónde está el truco? (Frabetti, 1995).
Dominó en el tablero de ajedrez Desde luego que se puede recubrir un tablero de ajedrez con fichas de dominó, suponiendo que cada ficha ocupa dos cua- draditos del tablero. Pero ¿es posible recubrir el tablero de aje- drez si se suprimen las dos casillas de esquinas opuestas? (grá- fico 12) ¿Qué casillas se pueden quitar para que sea posible recubrir todo el tablero? La coloración de las casillas del table- ro da una solución inmediata (Frabetti, 1995).
De las cuestiones anteriores puede enunciarse un “juego”. Dos jugadores disponen de fichas de dominó, se trata de rellenar un tablero de ajedrez de manera que el último que ponga una ficha gana, juegan alternativamente y no está permitido salir fuera del contorno del tablero ni poner una ficha encima de otra ya existente (Alayo, 1991). ¿Cuál es la estrategia ganadora?
Problemas sobre el movimiento de las piezas
Los siguientes problemas se basan en el movimiento de las piezas sobre un tablero de ajedrez.
Valor de las piezas de ajedrez Se pueden resolver las siguientes cuestiones para relacionar la movilidad propia de cada una de las piezas del ajedrez con el valor relativo que se le atribuye en una partida.
a) Calcular el número máximo de casillas que domina cada pieza de ajedrez. Es decir, en un tablero vacío elegir una casi- lla para situar la pieza y ver a cuántas casillas se puede mover como máximo (gráfico 13).
b) Relacionar el resultado obtenido en el apartado anterior con el valor que en el juego del ajedrez se le asigna a cada pieza (ver tabla).
c) Con dos alfiles y dos caballos. ¿Cuál es el número máximo de casillas que se pueden dominar? ¿Y cuántas con una torre y dos alfiles?
El salto del caballo ¿Cuántos saltos de caballo distintos se pueden imaginar sobre el tablero de ajedrez?
La estrategia a seguir es contar sistemática y ordenadamente, teniendo en cuenta la simetría. Se realiza el recuento de los
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Gráfico 11
Gráfico 12
Gráfico 13
Piezas Peón Caballo Alfil Torre Dama Rey
Nº puntos
No se le atribuye ningún valor
1 3 3 5 10
saltos de caballo desde los vértices del tablero, casillas latera- les al lado del vértice, otras casillas laterales, casillas centrales, etc., llegándose a contabilizar 336 saltos distintos (gráfico 14). También se puede considerar un tablero de 2x3 casillas en el que hay 4 saltos de caballo, y como existen 84 tableros de estas dimensiones en el de 8x8 se llega a la solución.
Los dos reyes En un tablero de ajedrez se colocan los dos reyes, uno blanco y uno negro.
¿De cuántos modos diferentes pueden disponerse los reyes? (Frabetti, 1995).
¿Y si consideramos sólo las posiciones legales en ajedrez, es decir, aquellas en las que un rey no pueda capturar al otro? (gráfico 15).
Localización de las casillas del tablero de ajedrez Se propone a los alumnos que piensen un sistema para iden- tificar cada casilla del tablero (Fernández, 1991).
Una de las respuestas más comunes será numerar las colum- nas y las filas del 1 al 8, de forma que cada casilla se denomi- na por su columna - fila. Con este código se pueden trabajar las coordenadas cartesianas. Por ejemplo, se elige una pieza determinada, se sitúa en una casilla cualquiera (x, y) y se iden- tifican por sus coordenadas las casillas a las que se puede mover la pieza.
Otra forma sería numerar las filas del 1 al 8 y las columnas con letras en orden alfabético de “a” a “h” (gráfico 16), lo que lleva al sistema oficial de anotación de las jugadas en las competiciones de ajedrez, llamado sistema algebraico, que consiste en escribir la inicial de la pieza seguida de la columna y la fila a la que se mueve. Por ejemplo Dg4 significa que la Dama se sitúa en la casilla g4.
Poligraf ías Se denominan poligraf ías a los recorridos de una pieza por todo el tablero de ajedrez sin pasar dos veces por la misma casilla (Frabetti, 1995). La poligraf ía es cerrada si desde la casilla final con un movimiento más se alcanza la casilla ini- cial. Es simétrica si el dibujo del recorrido es simétrico res- pecto del eje vertical del tablero. Y es con o sin cruces según que en la trayectoria se produzcan cruces dentro de una casilla.
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Gráfico 16
Gráfico 14
Gráfico 15
Desde luego que se puede
recubrir un tablero de ajedrez
con fichas de dominó,
suponiendo que cada ficha
ocupa dos cuadraditos del
tablero. Pero ¿es posible
recubrir el tablero de ajedrez si
se suprimen las dos casillas de
esquinas opuestas?
Frabetti
También se pueden considerar poligraf ías de caballo sobre tableros irregulares (Bolt, 1998).
Al galope Comenzando en la casilla marcada, y siguiendo a salto de caba- llo, descubrirá una cita y el nombre de su autor (gráfico 22).
Además el recorrido del caballo es una poligraf ía sin cruces simétrica de longitud máxima en un tablero 7x7.
Otros problemas
El ajedrez es una fuente inagotable de problemas de conteni- do matemático. Se exponen a continuación algunos más donde el ajedrez sirve de excusa para plantear problemas de todo tipo.
Campeonato del mundo En el campeonato del mundo de ajedrez han participado 101
grandes maestros. El torneo se ha disputado por el sistema de eliminatorias a una sola partida.
¿Cuántas partidas se jugaron en total antes de coronar al campeón definitivo?
Peón envenenado Es un juego para 2 jugadores. Disponemos 15 peones en fila india. El juego consiste en tomar en cada turno 1, o 2, o 3 peo- nes. Pierde el que tome el último peón. ¿Cuál es la estrategia ganadora?
Un torneo de ajedrez Siete chicos participan en un torneo de ajedrez por el sistema de liga a una vuelta, es decir, cada uno de ellos tiene que jugar una partida con todos los demás. ¿Cuántas partidas se jugarán en total? ¿Y en el caso de que el torneo se dispute a doble vuel- ta, jugando con cada contrincante una partida con piezas blancas y otra con negras?
Sumapiezas Sabiendo que se trata de sumas horizontales y verticales, ave- riguar qué dígito del 0 al 5 le corresponde a cada pieza del aje- drez (gráfico 23).
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Gráfico 22
Gráfico 23
El taller de matemáticas no se
concibe como una clase más de
Matemáticas, ni de ampliación
ni de recuperación de
conocimientos; se trata más
bien de trabajar los conceptos
ya adquiridos dándoles una
dimensión práctica y prestando
especial atención a los
contenidos de carácter
procedimental y actitudinal.
Gráfico 21
Cuadrado mágico Extraer de la caja 16 piezas de ajedrez: 4 alfiles, 4 caballos, 4 torres y 4 peones (dos de cada color). Situarlas en un tablero de 4x4 casillas de manera que:
a) En cada fila y en cada columna se encuentren las cua- tro piezas distintas.
b) Ampliar la misma condición a las dos diagonales prin- cipales (de 4 casillas).
c) Añadir a las condiciones anteriores la de que cada pieza ocupe casilla de su color.
Una solución se refleja en el gráfico 24.
Problemas de probabilidad Tomando como base el juego del ajedrez también se pueden plantear problemas dentro del campo de la probabilidad.
a) Tenemos todas las piezas del juego en su caja de madera, introducimos la mano sin mirar al interior y extraemos la pri- mera pieza que nos tropezamos. Qué probabilidad hay de que la pieza extraída sea: i) De color negro. ii) Un caballo. iii) El rey blanco. iv) Cualquiera pero que no sea una torre.
b) En las condiciones de la cuestión anterior, sacamos dos pie- zas al mismo tiempo. Qué probabilidad hay de que sean: i) Del mismo color. ii) De distinto color. iii) Un alfil y una dama. iv) Cualesquiera que no sean peones.
c) Responder a las preguntas de la cuestión anterior, pero suponiendo que después de extraída la primera pieza, ésta se devuelve a la caja antes de extraer la segunda.
d) Lanzamos un dardo sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué pro- babilidad tenemos de alcanzar una casilla negra? ¿Y una blan- ca? e) El mismo dardo se lanza ahora dos veces sobre el tablero. ¿Qué probabilidad hay de introducirlo en dos casillas del mismo color? ¿Y de una misma columna?
f ) Se tira una moneda sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué pro- babilidad hay de que caiga justamente dentro de una casilla sin cortar sus bordes? Se toma como diámetro de la moneda la cuarta parte de la longitud de una de las 64 casillas. Representar gráficamente la función que nos da la probabili- dad pedida dependiendo del diámetro de la moneda y supo- niendo fijo el lado de la casilla.
g) Dos jugadores de ajedrez, A y B, juegan un torneo que se termina al ganar uno de ellos dos partidas. A tiene una proba- bilidad de ganar de 2/10, y B de 3/10, siendo la probabilidad de tablas 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que gane A el torneo?
Geometría del tablero de ajedrez Veamos para terminar un problema de ajedrez que se basa en la particular geometría del tablero.
En la posición del gráfico 25, perteneciente a un estudio de Richard Réti (Pachman, 1982), parece que las piezas blancas
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Gráfico 24
En un tablero de ajedrez se
colocan los dos reyes, uno
blanco y uno negro.
¿De cuántos modos diferentes
pueden disponerse los reyes?
¿Y si consideramos sólo las
posiciones legales en ajedrez, es
decir, aquellas en las que un
rey no pueda capturar al otro?
Frabetti
Gráfico 25 Juegan blancas y tablas
