Análisis de Sistemas LTI en el Dominio del Tiempo: Convolución y Respuesta al Impulso, Ejercicios de Señales y Sistemas

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

SEÑALES Y SISTEMAS

Tutor:

PAOLA ANDREA MATEUS ABAUNZA

Grupo:

Estudiante:

BOGOTÁ

INTRODUCCIÓN

Los sistemas LTI son omnipresentes en el mundo físico y digital. Su estudio es esencial para

comprender cómo procesan las señales y cómo interactúan con el entorno. La convolución, como

operación matemática fundamental, nos permite caracterizar completamente la respuesta de un

sistema LTI a cualquier entrada, conociendo únicamente su respuesta al impulso. En este trabajo,

presentaremos los conceptos teóricos de convolución y respuesta al impulso, y mostraremos su

aplicación a través de ejemplos prácticos.

DEFINICIÓN DE CONCEPTOS:

CONSTANTE INDIVIDUAL:

EJERCICIO 1 RESPUESTA AL IMPULSO DE LOS SISTEMAS LTI

Constante a: 4

ÿ(𝑡) + 8 ∗ 4 ẏ(𝑡) − 4 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)

ÿ(𝑡) + 32 ẏ(𝑡) − 4 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)

Solución paso a paso de la parte teórica:

a) Obtener la ecuación característica del sistema

1 , 2

2

b) Hallar las raíces

1 , 2

2

1 , 2

1 , 2

1 , 2

1 , 2

1

2

c) Encontrar la respuesta natural (ver tabla 4.1 del libro guía, Ambardar)

(𝑡)

1

𝑦 1

𝑡

2

𝑦 2

𝑡

(𝑡)

1

− 32. 12 𝑡

2

1. 124 𝑡

d) Derivar la respuesta natural

( 0 )

( 0 )

1

− 32. 12 𝑡

2

1. 124 𝑡

( 0 )

− 32. 12 𝑡

1. 124 𝑡

( 0 )

1

2

e) Encontrar los valores de las constantes

1

2

1

2

1

2

f) Obtener la respuesta al impulso.

(𝑡)

− 32. 12 𝑡

1. 124 𝑡

EJERCICIO 2 CONVOLUCIÓN CONTINUA (ANALÍTICA)

Constante a: 4

Solución paso a paso de la parte teórica:

(𝑡)

− 3 𝑡

(𝑡)

𝑎𝑡

(𝑡)

− 3 𝑡

(𝑡)

4 𝑡

( 𝜆

)

− 3 𝜆

( 𝑡−𝜆

)

4 (𝑡−𝜆)

(𝑡)

− 3 𝜆

4 𝑡− 4 𝜆

∞

−∞

(𝑡)

4 𝑡

− 4 𝜆

− 3 𝜆

4 𝑡

− 4 𝜆

𝑡− 4

0

(𝑡)

4 𝑡

− 4 𝜆

− 7 𝜆

0

𝑡− 4

0

(𝑡)

4 𝑡

− 4 𝜆

− 7 𝜆

0

𝑡− 4

0

4 𝑡

∙ [(−𝑒

− 4 ∙(𝑡 − 4 )

− 7 ∙(𝑡 − 4 )

− 4 ∙ 0

− 7 ∙ 0

)]

4 𝑡

∙ [(−𝑒

− 4 𝑡

16

− 7 𝑡

28

)]

4 𝑡

∙ [(−𝑒

− 4 𝑡

16

− 7 𝑡

28

)]

4 𝑡

∙ [−𝑒

− 4 𝑡

16

− 7 𝑡

28

]

(𝑡)

16

− 3 𝑡

28

4 𝑡

1 𝛿[𝑛]

EJERCICIO 3 CONVOLUCIÓN DISCRETA (TABULAR Y GRÁFICA)

Constante a: 4

%% Grafica Y[n]

ConDis = Conv(Xn,Hn); ncon = [-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8];

subplot(3,1,3); stem(ncon,ConDis,"g"); grid

title ("Convulcion H[n]*X[n] - Sayira Soler")

xlabel("n"); ylabel("Amplitud"); xlim([-4,10]); ylim([-10,30])

CONCLUSIONES

• El análisis de sistemas LTI en el dominio del tiempo ofrece una visión directa e

intuitiva de su comportamiento temporal. Al estudiar la respuesta de estos

sistemas a diferentes entradas, podemos obtener información valiosa sobre su

dinámica, estabilidad y características de filtrado.

• La determinación de la respuesta en el dominio del tiempo es esencial para la

construcción de modelos matemáticos que representen de forma fiel el

comportamiento de sistemas reales.

• Al comprender a fondo la respuesta de un sistema LTI en el dominio del tiempo, es

posible diseñar sistemas más eficientes y robustos. Se pueden identificar las

limitaciones del sistema, optimizar su desempeño y seleccionar los componentes

adecuados para lograr los objetivos de diseño.

BIBLIOGRAFÍA

• Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Convolución. (pp.

130 - 155). Cengage Learning, (2nd ed).

https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300057/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=a65906f

• Ambardar, A. (2002). Procesamiento de señales analógicas y digitales: Convolución

Discreta. (pp. 169 - 183). Cengage Learning, 2nd ed.

https://link.gale.com/apps/doc/CX4060300070/GVRL?u=unad&sid=GVRL&xid=f736ec2e

• Tello Portillo, J. P. (2017). Introducción a las señales y sistemas. (pp. 81-87). Universidad del

Norte. https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/70025?page=

• Valderrama, F. F. (2016). Ovi_Unidad_2_Señales y Sistemas.

[Objeto_virtual_de_Informacion_OVI]. Repositorio Institucional UNAD.

https://repository.unad.edu.co/handle/10596/