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ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD DOS
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Presentado a:
Robeiro Beltrán Tovar.
Tutor(a)
Entregado por:
Laura Daniela Velásquez
Código: 1110562522
Julieth Alexandra Ahumada Valencia
Código: 1121867087
Paola Andrea Suarez
Código: 1018477230
Marly Liceth Rivera Ladino
Código: 1121919204
Freddy Andrés Mantilla Camargo
Código: xxxxx
Grupo: 282
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
30 de Marzo
BOGOTÁ D.C.
INTRODUCCIÓN
Por medio del siguiente trabajo colaborativo se desarrollan las ecuaciones diferenciales de orden superior
propuestas, utilizando diferentes métodos, ED homogéneas, ED no homogéneas y Cauchy – Euler.
Además de acuerdo con las habilidades afianzadas en los ejercicios desarrollados de manera individual, se
ha pretendido comprender las aplicaciones de los métodos planteados en situaciones de la vida profesional
y cotidiana.; así como identificar los posibles faltantes en la solución de la situación problema trazada en
el punto 5.
PASO 2
ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL
Tabla de elección de ejercicios:
Nombre del estudiante Rol a
desarrollar
Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1.
Marlly Liceth Rivera Ladino Revisor El estudiante desarrolla el ejercicio a en
todos los 3Tipo de ejercicios.
Julieth Alexandra Ahumada
Valencia.
Alertas El estudiante desarrolla el ejercicio b en
todos los 3Tipo de ejercicios
Paola Suarez El estudiante desarrolla el ejercicio c en
todos los 3Tipo de ejercicios
Laura Velásquez Compilador El estudiante desarrolla el ejercicio d en
todos los 3Tipo de ejercicios
Fredy Mantilla El estudiante desarrolla el ejercicio e en
todos los 3Tipo de ejercicios
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
TIPO DE EJERCICIOS 1 – ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS.
Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada
estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón
o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Marlly Liceth Rivera Ladino
a. 𝑦
´´
´
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓNMATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
𝑦𝑡
2
𝑦𝑡
Al ser una ecuación homogénea se utiliza la
formula general 𝑒
𝑦𝑡
2
𝑦𝑡
2
𝑦𝑡
𝑦𝑡
𝑦𝑡
2
2
Sustituimos la ecuación original como factor
común.
2
2
Resolvemos la ecuación cuadrática
𝟐
Formula
′
𝑢
𝛾𝑡
Procedemos sacar la constante y simplificar.
𝛾𝑡
𝛾𝑡
2
𝛾𝑡
Se saca la constante y aplicamos regla de cadena.
3
𝛾𝑡
2
𝛾𝑡
𝛾𝑡
𝛾𝑡
𝛾𝑡
3
𝛾𝑡
2
𝛾𝑡
𝛾𝑡
𝛾𝑡
3
2
Simplificar y factorizamos ℯ
𝛾𝑡
𝛾𝑡
3
2
3
2
Resolvemos ya que ℯ
𝛾𝑡
3
2
2
Factorizamos termino común.
𝟏
𝟎
𝟐
−𝒕
𝟑
𝟓𝒕
Usamos principio de multiplicación por 0.
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: PAOLA SUAREZ
´´
´
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓNMATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
𝛾𝑡
𝛾𝑡
2
𝛾𝑡
2
𝛾𝑡
𝛾𝑡
𝛾𝑡
𝛾𝑡
2
Es una ecuación diferencial homogénea, por lo
tanto se asume la solución general 𝑒
𝛾𝑡
Se sustituyen en la ecuación original
Factor común
2
2
2
1
2
Se resuelve la ecuación cuadrática
Se obtienen dos raíces reales diferentes por lo tanto
la solución general es
1
2
1
2
− 12 +√ 84
6
− 12 −√ 84
6
Solución general
1
5 ∗ 0
2
5 ∗ 0
1
1
5
2
5
5
2
5
2
5
5
2
5
5
2
Usamos las condiciones iniciales dadas
Para encontrar el valor de las constantes
EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO
HOMOGÉNEAS
Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de
Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe
indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Marlly Liceth Rivera Ladino
𝑎. y
´´
− 10 y
´
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
𝒅
𝒅𝒙
(y
´´
− 𝟏𝟎y´ + 25 ) =
𝒅
𝒅𝒙
Diferenciamos ambos lados de la ecuación
[y
´´
] +
[− 10 y
´
] +
[
]
[y
´´
] +
[− 10 y
´
] +
[ 25 𝑦]
Diferenciamos el lado izquierdo , regla de suma
y
´´
− 10 y
´
- 25y = 30x + 3 respeto a x
[− 10 y
´
] +
[
]
Ya que y´´ es constante respecto a x, la derivada de
y´´ respecto a x es y´´
[ 25 𝑦]
Ya que −𝟏𝟎y´ es constante respecto a x, la
derivada de −𝟏𝟎y´ respecto a x es −𝟏𝟎y
[
]
evaluamos
[
]
[
]
[𝑦]
Reescribimos
[
]
Combinamos términos , sumar 0 + 0
[
]
30x + 3 respecto a x es
[
]
[
]
Diferenciamos el lado derecho de la ecuación ,
regla de suma
[ 30 𝑥]
Evaluamos
[
]
[
]
Dado que 30 es constante respecto a 30 x , la
derivada de x es respecto a 30x es x.
[
]
Diferenciamos usando regla de potencia
[
]
Multiplicamos 30 por 1
Ya que 3 es constante respecto a x, la derivada de
3 respectos a x es 3.
25 𝑦´ = 30 Reformamos la ecuación haciendo el lado
izquierdo igual al lado derecho.
Dividimos x 25
Anulamos factores comunes
Factorizamos 5 a partir de 30 , factor común
1
2
1
2
2
1
1
2
Donde el Wronskiano 𝑊(𝑦
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
𝑝
1
1
2
2
𝑝
Soluciones homogéneas.
Resolviendo y
´´
y = 𝑦
ℎ
𝑝
y = 𝑐
1
cos(𝑥) + 𝑐
2
sin(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥)) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑥
Solución general y = 𝑦
ℎ
𝑝
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: PAOLA SUAREZ
´´
´
𝑥
cos 2 𝑥
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
´´
´
𝑥
cos 2 𝑥
En este caso tenemos una ecuación diferencial
ordinaria, de segundo orden, no homogénea con
coeficientes constantes, que tiene la forma
′
Cuya solución general tiene la forma
ℎ
𝑝
Donde y h
es la solución general y y p
es la solución
particular.
´´
´
2
2
2
1
2
ℎ
1
𝑥
2
𝑥
Solución general, para esto se iguala la EDO a
cero.
Se soluciona entonces como una ecuación
diferencial homogénea.
Se calculan las raíces
El resultado es dos raíces complejas
Por lo tanto la solución general tiene la forma
1
𝛼𝑡
1
𝛼𝑡
Al sustituir los valores de alfa y beta, se obtiene
𝑝
𝑥
𝑥
Se obtiene la primera derivada de yp, aplicando la
Solución particular
Aplicamos el método de coeficientes
{ 𝐴 𝑒ˣ 𝑐𝑜𝑠
[ 2 𝑥
]
[ 2 𝑥
]
[ 2 𝑥
]
[ 2 𝑥
]
− 2 𝐴𝑥 𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥] − 2 𝐴 𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥]
− 2 𝐴𝑥 𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥]– 4 𝐴𝑥 𝑒ˣ 𝑐𝑜𝑠 [ 2 𝑥] + 𝐵 𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥]
2 𝐵 𝑒ˣ 𝑐𝑜𝑠 [ 2 𝑥] + 𝐵 𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥]
𝐵𝑥 𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥] + 2 𝐵𝑥 𝑒ˣ 𝑐𝑜𝑠 [ 2 𝑥]
2 𝐵 𝑒ˣ 𝑐𝑜𝑠 [ 2 𝑥]
2 𝐵𝑥 𝑒ˣ 𝑐𝑜𝑠 [ 2 𝑥] – 4 𝐵𝑥 𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥]
}
− 2 [𝐴 𝑒ˣ 𝑐𝑜𝑠 [ 2 𝑥]
[ 2 𝑥
]
[ 2 𝑥
] ] = 𝑒
𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Se simplifican los términos con factor común
𝑒ˣ cos[ 2 𝑥]{𝐴 + 𝐴 + 𝐴𝑥– 4 𝐴𝑥 + 2 𝐵 + 2 𝐵𝑥 + 2 𝐵 + 2 𝐵𝑥 − 2 𝐴 − 2 𝐴𝑥
− 4 𝐵𝑥 + 5 𝐴𝑥
} = 𝑒
𝑥
cos 2 𝑥
𝑒ˣ cos
[ 2 𝑥
]{ 4 𝐵
} = 𝑒
𝑥
cos 2 𝑥
𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛
[ 2 𝑥
]{ − 2 𝐴 − 2 𝐴𝑥 − 2 𝐴 − 2 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐵 + 𝐵𝑥 − 4 𝐵𝑥 + 4 𝐴𝑥 − 2 𝐵
− 2 𝐵𝑥 + 5 𝐵𝑥} = 0
𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥]{− 4 𝐴} = 0
Se obtiene
4 𝐵 = 1 ; 𝐵 = 1 / 4
4 𝐴 = 0 ; 𝐴 = 0
Se sustituyen en la formula general y se obtiene
𝑝
𝑥
𝑥
1
4
𝑝
𝑥
𝑒ˣ 𝑠𝑒𝑛 [ 2 𝑥]
Luego por aritmética, se suman y restan los términos
comunes
1
𝑥
2
𝑥
𝑥
Solución del ejercicio
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Laura Daniela Velásquez
´´
´
2
´
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
´´
´
2
1 , 2
2
1 , 2
1
2
𝑐
1
1
2
𝑥
2
− 2 𝑥
Se tiene la ecuación homogénea.
Aplicando la ecuación de segundo grado.
Soluciones ecuación homogénea.
Solución ecuación homogénea.
2
𝑝
2
𝑝
𝑝
Ecuación en función de x, g(x).
Soluciones particulares
Derivando la solución particular.
Segunda derivada.
2
2
0
1
2
Sustitución de las soluciones particulares en
ecuación diferencial.
Igualando en x^0.
En x^1.
Y en x^2.
Se obtienen el valor de las constantes de la
solución particular.
𝑐
𝑝
1
1
2
𝑥
2
− 2 𝑥
2
Solución final.
Solución general.
′
1
1
2
𝑥
2
− 2 𝑥
Derivando solución general
´
1
2
′
1
2
Aplicando condiciones iniciales.
Determinando las constantes mediante un sistema
de ecuación de 2x2.
𝑥
𝑥
+ 3A − 12 𝐵𝑒
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
+ 3A − 𝐴𝑥 = 𝑥 − 4 𝑒
𝑥
Simplificando,
Hallando las variables A y B,
𝑝
𝑥
Simplificando,
𝑝
𝑥
La solución particular es,
1
𝑥
2
𝑥
3
2
𝑥
𝑥
La solución completa es,
EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER.
De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada
estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón
o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Marlly Liceth Rivera Ladino
a. x
2
y
´´
´
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
𝟐
y
´´
´
Diferenciamos ambos lados de la ecuación
[
𝟐
]
[5xy
´
] +
[
]
Diferenciamos lado izquierdo, regla de suma , la
derivada de x
2
y
´´
´
[𝒙
𝟐
𝒚´´]
Evaluamos
[
]
[
]
[
]
Dado que erros es constante respecto a 𝒙
𝟐
𝒚´´ , la
derivada de y respecto a 𝒙
𝟐
𝒚´´ es y.
[ 5 𝑥𝑦´] +
[ 4 𝑦]
Ya que error es constante respecto a y, la derivada
de error respecto a y es error.
[ 5 𝑥𝑦´] +
[ 4 𝑦]
Multiplicamos error por 0
[
]
Evaluamos
[
]
[
]
Dado que error es constante respecto a 5 𝑥𝑦´, la
derivada de y respecto a 5 𝑥𝑦´ es y.
[
]
Ya que error es constante respecto a y, la derivada
de error respecto a y es error.
[ 4 𝑦]
Multiplicamos error
[𝑦]
Evaluamos
𝒅
𝒅𝒚
[
]
dado que 4 es constante
respecto a 4y, la derivada de y respecto a 4y es y.
0 + 0 + 4. 1 Regla de potencia
0 + 0 + 4 Multiplicamos
0 + 4 = 4 Combinamos
0 Ya que 0 es constante respecto a y, la derivada de
0 respecto a y es 0.
Reformamos la ecuación haciendo el lado
izquierdo igual al lado derecho.
Reescribimos la ecuación
