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Contenidos de fundamentos de matemáticas
Tipo: Ejercicios
1 / 18
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Fundamentos de Matemáticas
Unidad 2
Taller: análisis de caso (expresiones algebraicas y factorización)
Estudiantes
- Verónica Johana Buitrago ID: 0001013974 - Karen lorena Díaz yate ID: 100008449
Profesor
Nepzon Armando Gutiérrez Molina
Corporación Universitaria Minuto de Dios – UNIMINUTO
Programa: administración de empresas
Fundamentos de matemáticas
Ibagué - Tolima
Corporación Universitaria Minuto de Dios – UNIMINUTO
Fundamentos de Matemáticas
Unidad 2
Taller: análisis de caso (expresiones algebraicas y factorización)
"BioInnova Corp." es una empresa líder en el sector biotecnológico que se especializa
en el desarrollo y comercialización de soluciones innovadoras para la salud y la
agricultura. Enfrenta desafíos en la optimización de procesos, costos de producción y
gestión de inversiones para la expansión de nuevas líneas de productos. Este taller
aplicará operaciones con expresiones algebraicas, productos y cocientes notables
para resolver problemas financieros y operativos que son críticos para la toma de
decisiones estratégicas en la empresa.
Fase 1. Productos y cocientes notables
Ejercicio 1.
BioInnova Corp. está revisando la fórmula para calcular los costos de producción de
uno de sus productos estrella, un biofertilizante. La fórmula incluye costos de materias
primas, mano de obra y costos indirectos de fabricación.
Datos:
o Costos de materia prima (Cm): Cm=x
2
+5x+
o Costos de mano de obra (Cm.o.): Cm.o.=3x+
o Costos indirectos (Ci): Ci=x
2
−4 (Donde x es el número de unidades
producidas en miles)
Fórmula de Costo Total: Ct=Cm+Cm.o.+Ci
Tarea : Expresa el costo total (Ct) como una expresión algebraica simplificada
y determina los costos totales para x=10 (10,000 unidades).
Operación :
2
2
2
2
2
2
Respuesta: El costo total para producir 10.000 unidades es de 284.
2
2
4
3
3
3
3
3
2
Respuesta: El retorno total esperado de la inversión en investigación y
desarrollo para un nuevo medicamento, si x=(10) sería de 7.00 0
Ejercicio 4. Proyección de ingresos por ventas
"BioInnova Corp." planea lanzar un nuevo producto en el mercado de la agricultura.
Si el ingreso mensual por ventas de este producto puede modelarse mediante la
expresión (2 x −3)(3 x +5) dólares, donde x representa el número de unidades vendidas.
Tarea: calcula cuál sería el ingreso mensual si se venden 100 unidades del
producto
Operación :
Fase 2. Desigualdades y valor absoluto
BioInnova Corp., una empresa líder en el sector biotecnológico, continúa enfrentando
desafíos relacionados con la optimización de procesos y la gestión eficiente de los
costos de producción, especialmente en su expansión hacia nuevas áreas como la
salud personalizada y biotecnología avanzada para la agricultura. Dada la naturaleza
fluctuante de los mercados y la variabilidad en los costos de materias primas y mano
de obra, BioInnova Corp. necesita herramientas matemáticas más sofisticadas para
manejar estas incertidumbres y garantizar decisiones financieras sólidas. En esta fase
del taller, los participantes aplicarán técnicas de desigualdades y valor absoluto para
manejar variaciones y riesgos, asegurando una planificación más resiliente y
adaptable.
Ejercicio 5.
BioInnova Corp. desea establecer un límite superior en los costos de producción para
garantizar la rentabilidad de su biofertilizante, incluso bajo condiciones de mercado
adversas.
Datos:
o Costo total de producción para x unidades: Ct=x
2
+8x+
Tarea : Determina el número máximo de unidades que se pueden producir sin exceder
un costo total de $20,000. Resuelve la desigualdad x
2
+8x+4≤20,000.
2
2
2
Respuesta: El ingreso mensual si se vede 100 unidades del
producto seria $60.
15
15
Respuesta: El rango de unidades que Biolnova corp puede producir sin exceder el
rango de presupuestos dado es de 317 a 483 unidades
Ejercicio 7. Optimización de costos de producción
La empresa está evaluando dos proveedores para la adquisición de materias primas.
El Proveedor A ofrece un descuento del 20% en el precio por unidad si se compran
más de 100 unidades, mientras que el Proveedor B ofrece un descuento del 15% en
el precio por unidad si se compran más de 150 unidades.
Tarea : Si x representa el número de unidades a comprar, ¿cuál proveedor
ofrece un costo más bajo si se compran más de 200 unidades?
𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂 𝐴 = 𝑋 ∗ 𝑃 ∗ ( 1 − 0 , 20 )
𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂 𝐴 = 𝑋 ∗ 𝑃 ∗ 0.
𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂 𝐵 = 𝑋 ∗ 𝑃 ∗ ( 1 − 0 , 15 )
𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂 𝐵 = 𝑋 ∗ 𝑃 ∗ 0. 85
𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂 𝐴 = 200 ∗ 𝑃 ∗ 0 , 80
𝐶𝑂𝑆𝑇𝑂 𝐵 = 200 ∗ 𝑃 ∗ 0 , 80
Respuesta: El proveedor A ofrece un costo más bajo al comprar más de 200 unidades, ya
que el precio final por unidad es menor después de aplicar su descuesto del 20%
200 𝑃 0. 80 ≤ 200 𝑃 0. 85
Ejercicio 8.
La empresa enfrenta costos variables en el mantenimiento de equipos debido a
fluctuaciones en precios de servicios y partes.
Datos :
o Costo mensual de mantenimiento: M=∣ 2x−100∣ (donde x es el costo
por hora de mano de obra, que puede variar)
Tarea : Calcula los posibles valores de x para los cuales el costo mensual de
mantenimiento no exceda $1,000, resolviendo la desigualdad
∣ 2x−100∣ ≤1,000.
Operación :
Respuesta: El costo por hora de mano de obra debe estar entre $-450 y $550 para que
el costo mensual de mantenimiento se mantenga dentro del limite de $1.
Fase 3. Funciones
BioInnova Corp., en su esfuerzo continuo por liderar en innovación biotecnológica,
enfrenta la necesidad de modelar y predecir diversos fenómenos y resultados
operativos que dependen de variables complejas y dinámicas. En la agricultura de
precisión y la medicina personalizada, es crítico entender cómo diferentes variables
afectan los resultados de los procesos, desde el rendimiento de los cultivos hasta la
eficacia de los tratamientos médicos. Para ello, se hace esencial comprender y aplicar
distintos tipos de funciones matemáticas que modelen adecuadamente la relación
entre variables, permitiendo pronósticos más precisos y decisiones más informadas.
En esta fase del taller, explorarán cómo clasificar y utilizar funciones lineales,
cuadráticas, exponenciales y logarítmicas en contextos prácticos relacionados con la
operativa de BioInnova Corp. Cada ejercicio buscará aplicar estas funciones para
resolver problemas específicos, optimizando resultados y eficiencia operacional.
Ejercicio 10. Modelado de costos de producción (función lineal)
"BioInnova Corp." está evaluando el costo de producción de un nuevo producto en
función de la cantidad de unidades producidas. Si el costo de producción por unidad
es de $10 y hay un costo fijo adicional de $5000, la función que modela el costo total
de producción C ( x ) en función de la cantidad de unidades producidas x es:
C ( x )=10 x +
a. Si "BioInnova Corp." produce 200 unidades de su nuevo producto, ¿cuál sería
el costo total de producción?
b. ¿Cuántas unidades debe producir la empresa para que el costo total de
producción alcance los $10,000?
c. ¿Cuál es el costo fijo adicional por encima del cual la empresa no puede
producir ninguna unidad del producto sin perder dinero?
𝒂) 𝑐(𝑥) = 10 𝑥 + 5000
𝑐( 200 ) = 10 ( 200 ) + 5000
𝑐( 200 ) = 2000 + 5000
𝑐
( 200
) = 700
𝑐( 200 ) = 7000
𝒃) 10 𝑥 + 5000 = 10000
10 𝑥 = 10000 − 5000 z
10 𝑥 = 5000
𝑥 =
5000
10
𝑥 = 500 )
c) c( 0 ) = 10 ( 0 ) + 𝑓 ≥ 𝑜
Respuesta: costo total de producción sería de $7.000 A: El Respuesta B: Debe producir 500
unidades la empresa para que el costo total de producción alcance los $10.000 Respuesta C:
No puede producir ninguna unidad sin perder dinero, es cualquier cantidad mayor que $
Operación:
Ejercicio 11. Análisis de crecimiento de cultivos (función exponencial):
La empresa está investigando el crecimiento de una nueva especie de planta en un
entorno controlado. Después de 10 días, se observa que la altura de la planta ha
aumentado a 20 cm y sigue un modelo de crecimiento exponencial. Si h ( t ) representa
la altura de la planta en función del tiempo t en días, la función que modela el
crecimiento de la planta es: h ( t )= a ⋅ e
kt
donde a es la altura inicial y k es la tasa de
crecimiento.
a. Después de 20 días, la altura de la planta ha alcanzado los 40 cm. ¿Cuál es la
tasa de crecimiento de la planta?
b. Si la altura inicial de la planta es de 5 cm, ¿cuánto tiempo tomaría para que la
planta alcance una altura de 30 cm?
c. Si la planta alcanza una altura de 60 cm en 30 días, ¿cuál sería su altura inicial?
Tasa de crecimiento
Respuesta: la tasa de crecimiento de la planta es 𝑘 = 𝑖𝑛( 2 )/ 10
Tiempo para alcanzar 30cm
Respuesta: le tomaría 𝑡 = 10. (𝑛( 6 )/𝑖𝑛( 2 ) en alcanzar 30 cm
Altura inicial
𝑎) 10 = 𝑎. log
𝑡( 200 ) = 𝑎. log( 200 ) + 𝑏
𝑡( 200 ) = 𝑎. (log( 100 ) + log( 2 ) + 𝑏
𝑡( 200 ) = 𝑎. (log( 100 ) + 𝑎. log( 2 )) +
𝑡( 200 ) = 10 + 9. log( 2 )
A) 5 > 𝑎. log
b) 20 = 9. log
c) 10=9.log (200)-log (100))
propiedades logarítmicas
10 = 𝑎. log( 2 )
log( 2 )
Respuesta:
Ejercicio 13.
"BioInnova Corp." está considerando la adopción de un nuevo fertilizante
biotecnológico en el mercado. Después de realizar estudios de mercado y pruebas de
campo, la empresa ha recopilado los siguientes datos sobre la adopción del
fertilizante durante los primeros años en el mercado:
En el primer año, se adoptaron 500 unidades del fertilizante.
La tasa de adopción inicial fue del 30% durante el primer año.
La tasa de saturación estimada es del 90% del total de agricultores en la región.
Basándose en estos datos, la empresa necesita tomar decisiones estratégicas sobre
la producción, distribución y comercialización del nuevo fertilizante para maximizar su
impacto en el mercado y alcanzar la tasa de adopción esperada.
a. ¿Cuál es la tasa de adopción del nuevo fertilizante biotecnológico en el
segundo año, si se mantiene la misma tasa de adopción inicial?
b. ¿Cuántas unidades adicionales del fertilizante se adoptarán en el segundo año
si la tasa de adopción aumenta al 40%?
c. ¿En qué año se alcanzará la tasa de saturación del 90% si la tasa de adopción
inicial se mantiene constante?
d. ¿Cuántas unidades de fertilizante se adoptarán en total durante los primeros
tres años, considerando la tasa de adopción inicial del 30%?
es decir, en qué año la tasa de adopción comienza a desacelerarse
significativamente?
Suponemos que el crecimiento sigue una tasa constante de 30%,
podemos calcular la tasa de adopción en el segundo año. El modelo de
crecimiento exponencial para la adopción de innovaciones en un
mercado sigue la fórmula:
A(t)=A0⋅(1+r)t
Donde:
A(t) es la cantidad de unidades adoptadas en el año t.
A0 = 500 es la cantidad inicial de unidades adoptadas en el primer año.
r = 0,30 es la tasa de adopción anual inicial.
t = 1 para el segundo año, es decir que ha transcurrido un año
Para el segundo año remplazamos t por 1 t = 1
A(2) = 500⋅(1+0,30)1 = 500(1.30) = 650 unidades
b. La tasa de adopción en el segundo año será del 30%, lo que
equivale a 650 unidades.
c. ¿En qué año se alcanzará la tasa de saturación del 90% si la tasa
de adopción inicial se mantiene constante? Respuesta:
0.90*1667=1500 primer año =500 unidades. segundo año = se
adoptaron 350 unidades quedando 1167-350=817 agricultores tercer
año= el 30% de los 817 adoptan el fertilizante. 0.30*817=245 quedan
817 - 245 = 572 agricultores. Cuarto año= el 30 % de los 572 agricultores
adoptan el fertilizante 0.30*572=172 unidades adoptadas.
d. ¿Cuántas unidades adicionales del fertilizante se adoptarán en el
segundo año si la tasa de adopción aumenta al 40%?
Solución
Si la tasa de adopción aumenta al 40% en el segundo año, podemos
calcular el incremento en la adopción de la siguiente manera:
A(2)=500⋅(1+0.40) =500(1.40 ) =700 unidades
La diferencia con respecto al caso anterior (con una tasa del 30%) es:
700 – 650 = 50 unidades adicionales700 - 650 = 50 unidades
adicionales
Si la tasa de adopción aumenta al 40%, se adoptarán 50 unidades
adicionales en el segundo año.
Planteando una función exponencial que describe el crecimiento continuo a lo
largo del tiempo. La temperatura promedio anual, considerando un aumento
continuo del 0.1°C por año, se puede modelar con la siguiente ecuación:
T(t) = T0 * er*t
Donde:
T(t) es función de la temperatura promedio al final de t años,
T0 es la temperatura promedio actual, que es 20°C,
r es la tasa de crecimiento exponencial, que en este caso es 0.1°C por año,
t es • ¿Cuál sería el impacto esperado del cambio climático en el rendimiento
del cultivo basándose en la temperatura proyectada?
Solución
El rendimiento de los cultivos está directamente influenciado por la temperatura.
Cada especie tiene un rango óptimo de temperatura para su desarrollo, fuera del
cual su rendimiento puede verse afectado de manera negativa. Si la temperatura
aumenta significativamente por encima de este rango óptimo, los cultivos pueden
sufrir de:
Estrés térmico, que afecta la fotosíntesis y la capacidad de crecimiento.
Reducción de la polinización, lo que disminuye la producción de frutas o granos.
Aumento en las necesidades hídricas, que puede ser difícil de satisfacer en
regiones con recursos limitados.
Mayor incidencia de plagas y enfermedades, debido a las condiciones más
favorables para su proliferación en climas cálidos.
Por ejemplo, si la temperatura proyectada en 10 años sube a 54.36°C, esto
podría superar el umbral de tolerancia de muchos cultivos, reduciendo
drásticamente su rendimiento, afectando la viabilidad de los cultivos y obligando
a buscar alternativas como variedades más resistentes al calor.
adversos del cambio climático en la producción de cultivos?
Solución
Para mitigar los efectos del cambio climático, BioInnova Corp. podría
implementar las siguientes estrategias:
enfocarse en la investigación y desarrollo de variedades de cultivos
genéticamente modificados o seleccionados para resistir mejor el calor y requerir
menos agua, adaptándose así a las nuevas condiciones climáticas.
inteligente que optimicen el uso del agua en función de las necesidades del
cultivo y las condiciones climáticas, como el riego por goteo controlado por
sensores de humedad.
árboles en las tierras de cultivo puede mejorar la salud del suelo, mantener la
humedad y reducir el impacto del calor directo en los cultivos.
monitoreo climático y predicción de condiciones adversas para ajustar el
momento de la siembra y la cosecha, de manera que los cultivos no estén
expuestos a temperaturas extremas durante su fase crítica de desarrollo.
desarrollar biofertilizantes que optimicen el crecimiento de los cultivos bajo
condiciones climáticas extremas, fortaleciendo las plantas contra el estrés
ambiental.
al calor y sequía, lo que ayuda a los agricultores a reducir los riesgos de pérdida
total de cosechas.
capacitación para que los agricultores adopten prácticas agrícolas más
sostenibles y resilientes frente al cambio climático.
Ejercicio 15.
BioInnova Corp. está interesada en mejorar su comprensión de cómo el aumento de
la temperatura afecta el crecimiento de una bacteria específica que es crucial para la
producción de uno de sus biofertilizantes más importantes. Se sabe que el crecimiento
de esta bacteria es exponencial bajo condiciones controladas.
Datos:
o Bacterias iniciales (tiempo 0): 100 bacterias
