¡Descarga Taller de Preparación para el Parcial II: Cálculo III (ANEC) - Aplicaciones Económicas de y más Apuntes en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Departamento de Matem´aticas y Estad´ıstica Taller de preparaci´on para el Parcial II C´alculo III (ANEC)
APLICACIONES ECON ´OMICAS DE LA INTEGRACI ´ON
Este taller tiene el prop´osito de ofrecer al estudiante un buen material de estudio que abarca parte de la tem´atica del segundo corte de la asignatura, ver Parcelaci´on y Programaci´on Semanal del curso. La mayor´ıa de los ejercicios son tomados de los textos [1] y [2]. Para ejercicios similares a los que aqu´ı est´an planteados puede revisar los parciales aplicados en semestres anteriores, ver p´agina web de la materia:
https://www.uninorte.edu.co/web/departamento-de-matematicas-y-estadistica/calculo-3-anec
- La curva de Lorenz se utiliza para estudiar las distribuciones de ingresos. Si x es el porcentaje acumulado de receptores de ingresos, ordenados de m´as pobres a m´as ricos, y y es el porcentaje acumulado de ingresos, entonces la igualdad de la distribuci´on de ingresos est´a dada por la recta y = x en la figura de abajo, donde x y y se expresan como decimales. Por ejemplo, 10 % de la gente recibe 10 % de los ingresos totales, 20 % de la gente recibe 20 % de los ingresos, etc´etera. Suponga que la distribuci´on real est´a dada por la curva de Lorenz definida por y = 1415 x^2 + 151 x.
Observe, por ejemplo, que 30 % de la gente s´olo recibe 10.4 % de los ingresos totales. El grado de desviaci´on de la igualdad se mide por el coeficiente de desigualdad para una curva de Lorenz. Este coeficiente se define como el ´area entre la curva y la diagonal, dividida entre el ´area bajo la diagonal. Por ejemplo, cuando todos los ingresos son iguales, el coeficiente de desigualdad es cero. Encuentre el coeficiente de desigualdad para la curva de Lorenz que se acaba de definir.
- Encuentre el coeficiente de desigualdad, como en el problema anterior, para la curva de Lorenz definida por y = 1112 x^2 + 121 x.
- En los siguientes problemas determine el ´ındice de Gini de la curva de Lorenz.
a) L(x) = x^2 b) L(x) = x^3
c) L(x) = 0, 7 x^2 + 0, 3 x d ) L(x) = 0, 55 x^2 + 0, 45 x
e) L(x) = e
x− 1 e− 1 f ) L(x) = 23 x^3 ,^7 + 13 x
- En cierto Estado se determina que la distribuci´on del ingreso para abogados est´a dada por la curva de Lorenz L 1 (x) = 45 x^2 + 15 x en tanto que para cirujanos est´a dada por L 2 (x) = 58 x^4 + 38 x. Calcule el ´ındice de Gini para cada curva de Lorenz. ¿Cu´al profesi´on tiene la distribuci´on del ingreso m´as equitativa?
- En los siguientes problemas, la primera ecuaci´on es una ecuaci´on de demanda y la segunda es una ecuaci´on de oferta de un producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y de los productores bajo equilibrio del mercado.
a) p = 22 − 0 , 8 q; p = 6 + 1, 2 q b) p = 2200 − q^2 ; p = 400 + q^2 c) p = (^) q^50 +5 ; p = 10 q + 4, 5
d ) p = 400 − q^2 ; p = 20q + 100 e) q = 100(10 − 2 p); q = 50(2p − 1) f ) q =
100 − p; q = p 2 − 10
g) q = 400 − p^2 ; p = 60 q + 5 h) (p + 10)(q + 20) = 1000; q − 4 p + 10 = 0 i) p = 60 − √^50 q q^2 + ; p = 10 ln(q + 20) − 26
j ) p = 0, 01 q^2 − 1 , 1 q + 30; p = 0, 01 q^2 + 8 k ) p =
245 − 2 q; p = 5 + q l ) p = (^) q^16 +2 − 3; p = 13 (q + 1)
- La ecuaci´on de demanda de un producto es
q = 10
p 100 − p.
Calcule el excedente de los consumidores bajo equilibrio del mercado, que ocurre a un precio de $84.
- La funci´on de oferta para un producto est´a dada por la siguiente tabla, donde p es el precio por unidad (en d´olares) en el cual se suministran q unidades al mercado:
q 0 10 20 30 40 50 p 25 49 59 71 80 94
Use la regla del trapecio para estimar el excedente de los productores si el precio de venta es de $80.
- Suponga que cuando cierta m´aquina industrial tiene t a˜nos, genera ingreso a una tasa R′(t) = 6 025− 8 t^2 d´olares por a˜no y que los costos de operaci´on y servicio correspondientes a la m´aquina se acumulan a una tasa C′(t) = 4 681 + 13t^2 d´olares por a˜no.
a) ¿Cu´al es la vida ´util de esta m´aquina? b) Calcule el ingreso neto generado por la m´aquina durante su vida ´util.
- Se estima que dentro de t semanas, las contribuciones en respuesta a una campa˜na de recaudaci´on de fondos se recibir´an a una tasa de R′(t) = 5 000e−^0 ,^2 t^ d´olares por semana, en tanto se espera que los gastos de campa˜na se acumulen a una tasa de $676 por semana.
- Encuentre el valor presente, al d´olar m´as cercano, de una anualidad continua con una tasa de inter´es anual de r durante T a˜nos, si el pago en el tiempo t es a la tasa anual de f (t) d´olares, dado que
a) r = 0, 04 T = 9 f (t) = 1000 b) r = 0, 06 T = 10 f (t) = 500t
- Encuentre el monto acumulado, al d´olar m´as cercano, de una anualidad continua a una tasa anual de r durante T a˜nos si el pago en el tiempo t es a una tasa anual de f (t) d´olares, dado que
a) r = 0, 06 T = 10 f (t) = 400 b) r = 0, 04 T = 5 f (t) = 40t
- Durante los pr´oximos 5 a˜nos, las utilidades de un negocio en el tiempo t se estiman igual a 50 000t d´olares por a˜no. El negocio se va a vender a un precio igual al valor presente de esas futuras utilidades. A la decena de d´olares m´as cercana, ¿a qu´e precio, debe venderse el negocio, si el inter´es se compone continuamente a una tasa anual del 7 %?
- Encuentre el valor promedio de la funci´on en el intervalo dado.
a) f (x) = x^2 ; [− 1 , 3] b) f (x) = 3x − 1; [1, 2] c) f (x) = 2 − 3 x^2 ; [− 1 , 2] d ) f (x) = x^2 + x + 1; [1, 3]
e) f (t) = 2t^5 ; [− 3 , 3] f ) f (t) = t
t^2 + 9; [0, 4] g) f (x) = 6
x; [1, 9] h) f (x) = 5/x^2 ; [1, 3]
i) f (x) = e^2 x^ + e−x; [0, ln 2] j ) f (x) = (^) x (^2) +2x+1x+6 ; [− 1 , 1] k ) f (x) = e−x(4 − e^2 x); [− 1 , 1] l ) f (x) = e
x−e−x ex+e−x^ ;^ [0,^ ln 3]
- La utilidad (en d´olares) de un negocio est´a dada por
U = 369q − 2 , 1 q^2 − 400
donde q es el n´umero de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de q = 0 a q = 100.
- Suponga que el costo de producir q unidades de cierto art´ıculo est´a dado por
C = 4 000 + 10q + 0, 1 q^2
Encuentre el costo promedio en el intervalo de q = 100 a q = 500.
- Una inversi´on de $3 000 gana inter´es a una tasa anual de 5 % compuesto continuamente. Despu´es de t a˜nos, su valor S est´a dado por S = 3 000e^0 ,^05 t. Encuentre el valor promedio de una inversi´on a dos a˜nos.
- Encuentre el valor promedio de
f (x) =
x^2 − 4 x + 5 en el intervalo [0, 1] mediante una t´ecnica de integraci´on aproximada. Redondee su respuesta a dos decimales.
- Unos registros indican que t meses despu´es del inicio del a˜no, el precio de la carne molida en los supermercados locales fue de P (t) = 0, 09 t^2 − 0 , 2 t + 1,6 d´olares por libra. ¿Cu´al fue el precio promedio de la carne molida durante los 3 primeros meses del a˜no?
- Tom invierte $5 000 en una cuenta que paga 6 % capitalizado continuamente. ¿Cu´al es el valor promedio de su inversi´on durante los pr´oximos 10 a˜nos?
- Suponga que dentro de t a˜nos, un plan de inversi´on generar´a utilidades a una tasa P 1 ′(t) = 100+t^2 cientos de d´olares por a˜no, en tanto que una segunda inversi´on generar´a utilidades a una tasa de P 2 ′(t) = 220+2t cientos de d´olares por a˜no.
a) ¿Durante cu´antos a˜nos la tasa de rentabilidad de la segunda inversi´on excede a la de la primera? b) Calcule el exceso neto de utilidad, suponiendo que invierte en el segundo plan durante el periodo determinado en el inciso a).
- Responda las preguntas del problema anterior para dos inversiones con tasas de rentabilidad respectivas.
a) P 1 ′(t) = 130 + t^2 cientos de d´olares por a˜no y P 2 ′(t) = 306 + 5t cientos de d´olares por a˜no. b) P 1 ′(t) = 60e^0 ,^12 t^ miles de d´olares por a˜no y P 2 ′(t) = 160e^0 ,^08 t^ miles de d´olares por a˜no. c) P 1 ′(t) = 90e^0 ,^1 t^ miles de d´olares por a˜no y P 2 ′(t) = 140e^0 ,^07 t^ miles de d´olares por a˜no.
- Despu´es de t horas en el trabajo, un trabajador de una f´abrica produce Q′ 1 (t) = 60 − 2(t − 1)^2 unidades por hora, en tanto que un segundo trabajador produce Q′ 2 (t) = 50 − 5 t unidades por hora.
a) Si ambos llegan al trabajo a las 8:00 a.m., ¿cu´antas unidades m´as habr´a producido el primer trabajador que el segundo al mediod´ıa? b) Interprete la respuesta del inciso a) como el ´area entre dos curvas.
- En cierta f´abrica, el costo marginal es 3(q − 4)^2 d´olares por unidad cuando el nivel de producci´on es q unidades.
