¡Descarga taller calculo vectorial y más Ejercicios en PDF de Cálculo Avanzado solo en Docsity!
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
Facultad de Ciencias Farmacéuticas y Alimentarias
Ingeniería de Alimentos
Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas.
- Escriba F (si es falso) o V (si es verdadero) en el espacio vacío, según sea el caso.
Justifique su respuesta (se puede ayudar con el uso de contraejemplos o gráficas).
a. ________ Si
f x y , g x h y ,donde g
y h
son, ambas, dos veces
diferenciable, entonces
2 2
2 2
f f
g x h y g x h y
x y
b. ________El valor máximo de la derivada direccional es |∇𝑓|
c. _______ Si
u
D f x y
existe, entonces
, ,
u u
D f x y D f x y
d. _______ Si 𝑓 es diferenciable y su gradiente en el punto (𝑎, 𝑏) es nulo, entonces
la gráfica de 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) tiene un plano tangente horizontal.
e. ________ Si 𝑓 es diferenciable en
0
o
x y entonces 𝑓 es continua en
0
,
o
x y
f. ________Si
𝜕𝑧
𝜕𝑥
⁄ = 0 entonces 𝑧 = 𝑐
g. ________ Si ∇𝑓 = 𝟎 , entonces 𝑓 es igual a una constante.
h. ________ Si 𝑓 tiene un mínimo local en (𝑎, 𝑏) y 𝑓 es derivable en (𝑎, 𝑏) entonces
∇𝑓
( 𝑎, 𝑏
) = 𝟎
i. _______Si 𝑓
𝑥
(𝑥, 𝑦) = 0 y 𝑓
𝑦
(𝑥, 𝑦) = 0 en (𝑎, 𝑏) entonces 𝑓(𝑎, 𝑏) es un extremo
relativo.
j. ____La función 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
1 −cos(𝑥
2
+𝑦
2
)
𝑥
2
+𝑦
2
es continua en ( 0 , 0 )
k. _______Un plano tangente a una superficie es el análogo tridimensional de una
recta tangente a una curva.
l. _______La ecuación del plano tangente al hemisferio 𝑧 = √ 1 − 𝑥
2
2
es 𝑧 = 1
m. _______ El lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
𝑥𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
no existe.
n. _________El valor máximo de la función 𝑓
(𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑦)
2
𝑥
2
+𝑦
2
es 𝑎
2
2
2
- Determine el dominio y sombre la región correspondiente en el plano cartesiano:
a. 𝑓
2
b. 𝑓
𝑥𝑦
√ 1 −𝑥
2
−𝑦
2
c. 𝑓
𝑥𝑦
√𝑥
2
+𝑦
2
− 1
d. 𝑓
2
2
e. 𝑓
f. 𝑓
𝑙𝑛
( 2 −𝑥
)
1 −𝑥
2
−𝑦
2
g. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
√𝑦−𝑥
2
1 −𝑥
2
h. 𝑔
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
i. 𝑓
2
2
- Evalúe el límite si existe o muestre que no existe.
a. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑠𝑒𝑛 (𝑥
2
+𝑦
2
)
𝑥
2
+𝑦
2
b. lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
𝑥
4
− 4 𝑦
4
𝑥
2
2
c. lim
( 𝑥,𝑦
) →
( 0 , 0
)
𝑥𝑦
4
𝑥
4
+𝑦
4
d. lim
(𝑥,𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥
3
2
𝑦− 2 𝑥𝑦
2
−𝑦
3
𝑥
3
−𝑦
3
- Determine una ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado.
a) 𝑧 = (𝑥 + 2 )
2
2
b) 𝑧 = 2 𝑥
2
2
c) 𝑧 = 𝑒
𝑥−𝑦
d) 𝑧 = √
e) 𝑧 = 25 − 𝑥
2
2
f) 𝑧 = 𝑥 𝑦
2
g) 𝑧 = 𝑥𝑒
𝑥𝑦
- Use la ecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝐹
𝑥
𝐹
𝑦
para cada una de las siguientes ecuaciones.
a. 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑥
2
2
b. cos(𝑥𝑦) = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑦
c. 𝑡𝑎𝑛
− 1
2
2
d. 𝑒
𝑦
- Use la regla de la cadena para hallar
𝑑𝑧
𝑑𝑡
⁄
3
2
3
2
𝜋𝑡
−𝜋𝑡
− 1
𝑡
−𝑡
- Determine la derivada direccional de 𝑓 en el punto dada en la dirección indicada por el
ángulo 𝜃
a. 𝑓
3
2
b. 𝑓
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √
- Dadas las funciones:
Determine el gradiente de 𝑓.
Evalúe el gradiente en el punto 𝑃.
Determine la razón de cambio de 𝑓 en 𝑃 en la dirección del vector 𝐮.
a. 𝑓
3
5
4
5
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥
2
ln𝑦 , 𝑃( 3 , 1 ), 𝐮 = −
5
13
12
13
- Halle la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector 𝐯.
a. 𝑓
𝑥
sen𝑦 , ( 0 ,
b. 𝑔
− 1
c. 𝑔
d. 𝑔
2
−𝑣
- Determine la razón de cambio de 𝑓 en el punto dado y la dirección en la que ocurre.
a. 𝑓
b. 𝑓
c. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
- Ejemplo 6 , página 952. Si 𝒇
𝑦
determine la razón de cambio de 𝒇 en el punto
en el dirección de 𝑃 a 𝑄 (
1
2
¿En qué dirección tiene 𝒇 la máxima razón de cambio? ¿Cuál es la máxima razón de
cambio?
18. Ejemplo 7 , página 953. Suponga que la temperatura 𝑻 en el punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el espacio
está dada por 𝑻(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
80
1 +𝑥
2
2
2
donde 𝑻 se mide en grados Celsius
y 𝑥, 𝑦, 𝑧 en metros. ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura en el punto
? ¿Cuál es la razón de incremento máxima?
- Muestre que la ecuación al plano tangente al paraboloide elíptico
2
2
2
2
en el punto (𝑥
0
, 𝑦
𝑜
, 𝑧
0
) se puede escribir de la forma:
2 𝑥
0
𝑥
𝑎
2
2 𝑦
𝑜
𝑦
𝑏
2
𝑧
0
+𝑧
𝑐
- Muestre que la segunda ecuación es la de un plano tangente a la gráfica de la primera
ecuación:
a.
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
𝑧
2
𝑐
2
𝑥𝑥
0
𝑎
2
𝑦𝑦
0
𝑏
2
𝑧𝑧
0
𝑐
2
b.
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
𝑧
2
𝑐
2
𝑥𝑥
0
𝑎
2
𝑦𝑦
0
𝑏
2
𝑧𝑧
0
𝑐
2
Para 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 use la ecuación del plano tangente en un punto (𝑥
𝑜
𝑜
𝑜
) es:
- a. Determine el volumen máximo de una caja rectangular cerrada con lados paralelos a
los planos de coordenadas que puede ser inscrita en el elipsoide:
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
𝑧
2
𝑐
2
= 1 , 𝑎 > 0 , 𝑏 > 0 , 𝑐 > 0. Dibuje la gráfica.
b. Muestre que la ecuación al plano tangente a este elipsoide en el punto (𝑥
0
, 𝑦
𝑜
, 𝑧
0
) se
puede escribir de la forma:
𝑥
0
𝑥
𝑎
2
𝑦
𝑜
𝑦
𝑏
2
𝑧
0
𝑧
𝑐
2
- Encuentre los extremos relativos de:
a. 𝑓
3
3
b. 𝑓
3
3
- Encuentre el área máxima de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 4.
- Hallar tres números cuya suma sea
𝑎
2
y su producto sea máximo.
