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PREGUNTA 1 Enunciado Nos piden calcular el volumen del sólido limitado por: + La superficie superior: 2 = cos (57) + El plano inferior: z = 0 + Enel plano y, la región delimitada por: . 2-0 . y=0 + a+y=1 Q, 1. Identifiquemos la región de integración La proyección sobre el plano zy está limitada por: + Elejex:z € [0,1] + Para cada z, y va de O hasta 1 — 2: (por la recta 2 4 y = 1) £ 2. Planteamos la integral doble y f/ cos (5) dyda Donde R es la región triangular en el plano xy. v=f Pcs) dyda 2-0 y-0 El volumen V es: El 3. Integramos paso a paso Primera integral (respecto a y): 122 ne ne / o cos (E) dy = cos (E) Ax) Ahora integramos respecto a 2: v=/ cos (7) A 2)de 2-0 £ 4. Resolver esta integral Usamos integración por partes: Sea: u =12=>du= dz du = cos (5%) da >w = ¿sin (57) Entonces: fame taz) [ie loa) hz) Evaluamos entre x= 0 y x= 1: + Parar =l: (1—1sin(8) — Ácos($) =0-0=0 + Paraz=0: (1 — 0) sin(0) — É cos(0) = 0— H Entonces: Respuesta final: Este es el volumen del sólido delimitado por la superficie dada y la región triangular en el plano zy. PREGUNTA N? 2 (5 puntos) PLANTEE Y CALCULE por integrales dobles o triples el cálculo del volumen del siguiente sólido limitado por dos semi esferas por encima del plano XY y en los cuadrantes ll, 111 y IV. Para ello, primero grafique e identifique la región de integración en el plano XY. + Primera integral: [ 7/4 — r? dr Usamos el cambio: 2 1 u=4r > du = —2r dr > —¿du= rdr Cuandor = 1 =>u=3 Cuandor=2=>u=0 AA) - 5(8v3) =43 + Segunda integral: [7y/1 — 7? dr Usamos el mismo cambio: A 1 u=1-1=du= —2r dr — 74 =rdr Cuandor=1=>u=0 Cuandor =2=>=u=1-4=-3 (Pero aquí el dominio r = 2 no es válido para /1 — 17, porque da raíz de número negativo) 0 CORRECCIÓN: El dominio de y/1 — 1? va solo hasta r = 1, entonces la segunda integral solo tiene valor entre 0 y 1. Pero en nuestro caso estamos integrando desde r = 1 hasta 2, así que: 2 1 ryYl1-ridr=0 1 Porque la función no está definida en ese rango. 4. Resultado final Entonces: v= [7 vii y5-0) "am = 143 EZ Respuesta final: V =1v43 Este es el volumen del sólido limitado entre dos semiesferas en los cuadrantes Il, 11 y IV. Región de integración en el plano XY 2.0 E Región de integración -2.0 -15 -10 -05 00 05 10 15 2.0 x PREGUNTA N? 3 (5 puntos) v—3u x= 8 Considerando la transformación T: v+u Y24 Dibujar la región Ryy si la región Rxy está dada por la figura que se muestra a continuación. %% Problema: Se da una transformación de coordenadas: Y una región Ry representada como un paralelogramo con vértices conocidos en el plano ay. Nos piden hallar la región correspondiente R,., es decir invertir la transformación y encontrar los vértices en el plano uv. £ Paso 1: Escribir la transformación en forma mat AAA x= Au Llamemos a esto: La, Paso 5: Coordenadas de los vértices de R,,,, Vértice R.,, Coordenadas (1, y) Imagen (u, v) A 11) 6.1) B (1/2, 2) 6.5) c (5/4, 1/2) (3,0 D (1/2, 1/2) (-0.5, 2.5) Región Ruy transformada desde Ray 5| e Región Ra. B El área sombreada representa la nueva región en el plano uv, con los vértices: - A=(3,1) + B= (3,5) - C=(3,1) + D=(-0.5,2.5) PREGUNTA N? 4 (5 puntos) Para calcular el área del terreno mostrado, se ha asumido que su forma es aproximadamente triangular y que al graficarlo en un plano cartesiano, en donde las unidades de cada eje están dadas en metros, su perímetro se encuentra limitado por las rectas: x-2y=0 , 3x+5y=0 , 5x+y=22 Aplicando integrales dobles calcule el área aproximada del terreno. [El Rectas dadas (perímetro del terreno) 1. 2— 2y =0 - (Recta 1) z =y=5 2. 31 +5y = 0 — (Recta 2) 3 Sy=-5¿7 3. 51 + y = 22 — (Recta 3) =y=-52+2 Estas tres líneas en conjunto forman un triángulo. Ml Paso 1: Encontrar los puntos de intersección + Intersección de rectas 1 y 2: z—-2y=0 (1) 3a+5y=0 (2) De (1): z = 2y Sustituimos en (2): 3(2y) + 5y =0= 6y+5y=0=>y=0=>xw=0 —= Punto A = (0, 0) + Intersección de rectas 1 y 3: 2-%y=0 (1) 50+y=2 (3) De (1): = 2y Sustituimos en (3): 5(2y) + y = 22 > 10y+y=22>1ly=2>y=2>zx=4 = Punto B = (4, 2) + Intersección de rectas 2 y 3: 3r+5y=0 (2) 50+y=22 (3) Despejamos y de (3): y = 22 — 5x Sustituimos en (2): 32 + 5(22— 52) =0> 32 + 110 - 251 =0> -21=-110>1=5>y=22-25=-3 = Punto € = (5, -3)
