¡Descarga Sumas de Riemann: Aproximación del Área bajo una Curva y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
Sumas de Riemann Es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemanBernhard Riemann. Es una operacion sobre una funcion continua y limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de la integración. La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo conteniendo al punto. Normalmente se nota como: La integral de Riemann es una forma simple de definir la integral de una función sobre un intervalo como el área bajo la curva de la función. Sea f una función con valores reales definida sobre el intervalo [a, b], tal que para todo x, f(x)≥0 (es decir, tal que f es positiva). Sea S = Sf={(x, y)0≤y≤f(x)} la región del plano delimitada por la curva correspondiente a la función f, el eje de las abscisas y las rectas verticales de ecuaciones x=a y x=b. Estamos interesados en medir el área del dominio S, si es que se puede medir. Para obtener una aproximación al área encerrada debajo de unacurva, se la puede dividir en rectángulos como indica la figura.
La idea fundamental es la de utilizar aproximaciones del área del dominio S. Determinando un área aproximada de la que estamos seguros de que son inferiores al área del dominio S, y buscaremos un área aproximada que sepamos que es mayor al área de S. Si estas aproximaciones pueden hacerse de forma que la diferencia entre ambas puede hacerse arbitrariamente pequeña, entonces podemos obtener el área del dominio S. Por lo tanto, el límite del área para infinitos rectángulos es el área comprendida debajo de la curva. La integral definida de una función f(x), se define de la siguiente forma: Donde a y b son valores de x llamados límites de integración : a: límite inferior de integración b: límite superior de integración La integral definida corresponde al área limitada por la curva f(x), los límites de integración a y b y el eje x: Por tanto, la solución de la integral definida es un valor numérico , que siempre debe ser positivo y expresado en unidades cuadradas, ya que realmente estamos calculando áreas.
En primer lugar calculamos la integral indefinida de la función, dejándola entre corchetes con los dos límites de integración de esta forma: Ahora hayamos el valor de la primitiva cuando x=3, sustituyendo la x por 3 y le restamos el valor de la primitiva cuando x=-2, sustituyendo la x por -2: Finalmente operamos y calculamos la solución: <="" ins="" data-adsbygoogle-status="done" data-ad- status="unfilled" style="box-sizing: inherit; text-decoration: none; width: 336px; height: 0px; background: transparent !important; display: inline-block;">
Ejercicio resuelto 1
Calcular el área limitada por la curva de la función f(x)=x²+1 y los puntos de abcisas x=0 y x= En este caso, nos piden calcular el área que se queda por de bajo de la función: Entre x=0 y x=2. (estos dos valores son los límites de integración).
Lo que nos están pidiendo es el área sombreada: Por tanto, este área lo calculamos por medio de la integral definida de la función entre 0 y 2. Para resolverla, en primer lugar calculamos la integral indefinida, dejándola entre corchetes con sus límites de integración: Y ahora aplicamos la regla de Barrow, realizando la diferencia del valor de la primitiva cuando x=2, sustituyendo la x por 2 y el valor de la primitiva cuando x=0, sustituyendo la x por 0: Y operamos, lo que nos da el siguiente resultado:
cambio neto contabiliza automáticamente las cantidades negativas sin tener que escribir más de una integral. Para ilustrarlo, aplicaremos el teorema del cambio neto a una función de velocidad en la que el resultado es el desplazamiento. Vimos un ejemplo sencillo de esto en La integral definida. Supongamos que un auto va hacia el norte (la dirección positiva) a 40 mph entre las 2 p. m. y las 4 p. m., luego se dirige al sur a 30 mph entre las 4 p. m. y las 5 p. m. Podemos graficar este movimiento como se muestra en la Figura 5.32. Figura 5.32 El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo para el movimiento dado de un automóvil. Al igual que antes, podemos utilizar integrales definidas para calcular el desplazamiento neto y la distancia total recorrida. El desplazamiento neto viene dado por
∫ 52 v(t)dt=∫ 4240 dt+∫ 54 −30dt= 80 − 30 = 50 .∫2 5v(t)dt=∫2 440dt+∫45−30dt=
80−30=50. Así, a las 5 p. m., el auto está a 50 millas al norte de su posición de partida. La distancia total recorrida viene dada por
∫ 52 |v(t)|dt=∫ 4240 dt+∫ 5430 dt= 80 + 30 = 110 .∫2 5|v(t)|dt=∫2 440dt+∫
dt=80+30=110. Por lo tanto, entre las 2 p. m. y las 5 p. m., el auto recorrió un total de 110 millas. En resumen, el desplazamiento neto puede incluir tanto valores positivos como negativos. En otras palabras, la función de velocidad toma en cuenta tanto la distancia hacia delante
como hacia atrás. Para encontrar el desplazamiento neto, integre la función de velocidad en el intervalo. En cambio, la distancia total recorrida es siempre positiva. Para encontrar la distancia total recorrida por un objeto, independientemente de la dirección, tenemos que integrar el valor absoluto de la función de velocidad.
