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Ejercicios propuestos.
- Halle utilizando la definici´on de integral definida
a)
Z^4
1
(2x 3)dx
b)
Z^3
1
e x^ dx
- Exprese como una integral definida
a) l´ım n!
X^ n
i=
8 i 2 n 3
. Sugerencia: considere la funci´on f para la cual f (x) = x 2.
b) l´ım n!
X^ n
i=
n + i
. Sugerencia: considere la funci´on f para la cual f (x) =
x
en [1, 2]
c) l´ım n!
X^ n
i=
n (i + n) 2
. Sugerencia: considere la funci´on f para la cual f (x) =
x 2
en [1, 2]
- La integraci´on num´erica es una herramienta esencial que se usa en la ciencia y la ingenier´ıa para obtener valores aproximados de integrales definidas que no pueden calcularse anal´ıticamente. Por ejemplo, en el campo de la termodin´amica estad´ıstica, el modelo de Debye para calcular la capacidad cal´orica de un s´olido considera la siguiente funci´on
'(x) =
Z^ x
0
t 3 e t^ 1
dt
Puesto que no hay una expresi´on anal´ıtica para '(x), debemos usar alg´un m´etodo de integraci´on num´erica para calcular sus valores. Por ejemplo, el valor de '(5) es el ´area bajo la curva de la funci´on f (t) = t 3 /(e t^ 1) para 0 t 5). La aproximaci´on num´erica a '(5) es
Z^5
0
t 3 e t^ 1
dt ⇡ 4 , 8998922
Cualquier otro valor de '(x) debe ser hallado mediante una integraci´on num´erica. Utilizando los m´etodos compuestos del Trapecio y de Simpson, aproxime el valor de '(7) utilizando un total de n = 10 nodos.
- Sea [a, b] un intervalo cualquiera. Pruebe que la regla de Simpson proporciona resultados exactos para las funciones f (x) = x 2 y f (x) = x 3 ; es decir,
a)
Z^ b
a
x 2 dx =
b 3 3
a 3 3
b)
Z^ b
a
x 3 dx =
b 4 4
a 4 4
- Area de una superficie de revoluci´´ on. El ´area de la superficie del s´olido de revoluci´on que se obtiene al girar alrededor del eje OX la regi´on limitada por la curva y = f (x), siendo a x b, viene dada por
´area = 2⇡
Z^ b
a
f (x)
p 1 + (f 0 (x)) 2 dx.
a) Aproxime el ´area de la superficie de revoluci´on correspondiente usando la regla compuesta del trapecio con n = 10.
- f (x) = sin(x) para 0 x ⇡/ 4 b) Aproxime el ´area de la superficie de revoluci´on correspondiente usando la regla compuesta de Simpson, con n = 10,
- f (x) = sin(x) para 0 x ⇡/ 4
- El siguiente ejemplo muestra como puede usarse la regla de Simpson para aproximar la soluci´on de una ecuaci´on integral. La ecuaci´on es:
v(x) = x 2 + 0, 1
Z^1
0
(x 2 + t)v(t)dt
y empezamos usando la regla de Simpson con x = 0,5: Sean t 0 = 0, t 1 = 0,5 y t 2 = 1; entonces
Z^1
0
(x 2 + t)v(t)dt ⇡
[(x (^2) i + 0)v 0 + 4(x (^2) i + 0,5)v 1 + (x (^2) i + 1)v 2 ].
Ahora, dado un punto x (^) i 2 [0, 1], tomamos
v(x (^) i ) = x (^2) i + 0, 1
[(x (^2) i + 0)v 0 + 4(x (^2) i + 0,5)v 1 + (x (^2) i + 1)v 2 ]
Al sustituir x 0 = 0, x 1 = 0,5, y x 2 = 1 en la relaci´on (1) obtenemos el sistema de ecuaciones:
v 0 = 0 +
[(0)v 0 + 2v 1 + v 2 ]
v 1 =
[0, 25 v 0 + 3v 1 + 1, 25 v 2 ] (2)
v 2 = 1 +
[v 0 + 6v 1 + 2v 2 ]
Sustituyendo la soluci´on del sistema (2) en la relaci´on (1) y simplificando, obtenemos la aproximaci´on
v(x) ⇡ 1 , 037305 x 2 + 0, 027297. (3)
a) A modo de comprobaci´on, sustituya la soluci´on en el miembro derecho de la ecuaci´on integral, integre, simplifique y compruebe el resultado con la aproximaci´on dada en (3). b) Use la regla compuesta de Simpson con x = 0,5 para aproximar la soluci´on de la ecuaci´on integral
v(x) = x 2 + 0, 1
Z^1
0
(x 2 + t)v(t)dt;
luego, proceda como en el apartado (a) para comprobar su soluci´on.
- Aproxime con Trapecio o Simpson el valor de la siguiente integral:
Z^3
0
sin(2x) 1 + x 2
- La funci´on de densidad para la distribuci´on de probabilidad normal es
f (t) =
p 2 ⇡
e t^
(^2) / 2
