Trabajo Práctico de Matemática II: Sucesiones y Series Infinitas de Números Reales, Apuntes de Matemáticas Aplicadas

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Trabajo Práctico

de

MATEMÁTICA II

Ciclo Lectivo

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

DE

NÚMEROS REALES

Ciclo Lectivo 2.0 24

Dadas las siguientes sucesiones infinitas de números reales (en adelante sucesiones):

a) f : A  N  R d)



















1

2 2

5

n n

n

n  f ( n ) 9  2 n

b)    1 

2

bn  n  e) ln ( n  3 )

c) f : A  N  R f) ( 2 ) 5 

2 n  

 ^ 





 

 



2 1 3

3 ( )

1

n si n

n si n n  f n

Se pide:

i) Determinar su dominio.

ii) Desarrollar los siete primeros términos de cada una de ellas. Representar gráficamente

en R¹ las sucesiones de los ítems a) y b).

iii) Representar gráficamente en R² todas las sucesiones dadas.

a) Dadas las sucesiones de términos generales: 2

3 6

n

n an

  ,

2

5

3 bn  n , 2

4



 n

cn y

ln^3 

2



  n

n dn^ ,^ definir^ las nuevas sucesiones^ y^ determinar^ el término indicado en cada caso:

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS DE NÚMEROS REALES

Trabajo Práctico

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ciclo Lectivo 2.0 24

a) Dadas las siguientes sucesiones, representadas gráficamente, estudiar si son

convergentes o divergentes. En caso de ser convergente, determinar a qué valor converge.

i)^ a n 

ii) b n 

Ejercicio 3

Ciclo Lectivo 2.0 24

iii) c n 

iv) d n 

Ciclo Lectivo 2.0 24

ii) Es aritmética con a 3  7 y 5

3 d 

iii) Es geométrica con 4

7 a 1  y

r  

iv) Es geométrica con 5

4

a 5  y r  2

b) Completar la siguiente tabla correspondiente a Sucesiones Aritméticas:

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 …^ a 10 … an d S 10

Suc.

Suc.

 1

Suc.3  17  11

Suc.

3

1  3

80

c) Completar la siguiente tabla correspondiente a Sucesiones Geométricas:

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 …^ a 9 … an r S 9

Suc.

4

9

3

2

Suc.2 24

Suc.

2

1  2

27

Suc.

2187

2

2187

2

Ciclo Lectivo 2.0 24

d) Determinar el lugar que ocupa el término dado en la sucesión indicada en cada caso:

i) 5

59 para la Sucesión del punto 5a ii)

ii) 25 para la Suc. 3 del punto 5b)

iii) 243

56  para la Sucesión del punto 5a iii)

iv) 32

3 para la Suc. 2 del punto 5c)

v) 729

2

para la Suc. 4 del punto 5c), considerando r  0

Determinar a qué tipo particular de sucesiones corresponde cada una de las siguientes.

Luego, hallar los términos indicados en cada caso:

a)

1 , an y a 8

b)











 ,... 4

67 , 2

33 , 4

65 , 16 , 4

63 an y a 9

c)  768 ,  192 , 48 , 12 , 3 , ... an y a 12

d)

an y a 22

Estudiar la convergencia de las sucesiones geométricas indicadas en los ejercicios de los

puntos 5a), 5 c) y 6.

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ciclo Lectivo 2.0 24

a) Dadas las siguientes sucesiones geométricas:



 





 

  

  

  

 1

3

2

4

7

n

an 

 





 

  

  

 

 1

3

2

4

9

n

cn   









  

 1 3 6

(^1) n en

  









  

 1 2 5

1 n bn



 





 

  

  

  

 1

2

1 192

n

d n 

 





 

  

  

 

 1

3

1 6

n

fn

i) Determinar la serie asociada

ii) Estudiar la convergencia de las series. En caso de ser convergente, determinar la suma

de la serie.

b) Dadas las siguientes sucesiones aritméticas:











     2

1 1 4

3 an n   









    5

3 1 5

29 bn n

i) Determinar la serie asociada

ii) Estudiar la convergencia de las series. En caso de ser convergente, determinar la suma

de la serie.

a) Dadas las siguientes series geométricas, estudiar su convergencia. En caso de ser

convergente, encontrar la suma de la serie.

i) 









 1 1 5

3

k

k

k

ak iii) 





 



 1

1

1 5

2

k

k

k

k

ck

ii) 







 



 1

2

3

1 3

4

k

k

k

k

bk iv) 









  1 1 7

6 3

k

k

k

k

dk

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ciclo Lectivo 2.0 24

b) Teniendo en cuenta lo realizado en el apartado anterior, estudiar la convergencia de las

siguientes series. En caso de ser convergente, encontrar la suma de la serie.

i) 



 1

2 k

ck ii)





 1

( ) k

ck dk iii)





 1

( ) k

ak ck iv)





 1

( ) k

bk dk

Dados los siguientes ejercicios integradores, resolverlos:

a) Dada la siguiente sucesión:















  1

6

n

n an

i) Determinar su dominio y desarrollar los siete primeros términos.

ii) Estudiar, aplicando el método analítico, si es convergente o divergente. En caso de ser

convergente, determinar a qué valor converge.

iii) Definir la sucesión ^ a^ n  b n , siendo











   n

n bn

3

b) Dadas las siguientes sucesiones:











      ,... 2187

64 ,..., 243

16 , 81

8 , 27

4 , 9

2 , 3

1 , 2

1 a n











      ,... 8

141 ,..., 8

33 , 8

21 , 8

9 , 8

3 , 8

15 , 8

27 b n

i) Determinar a qué tipo particular de sucesiones corresponden.

ii) Determinar el término general y el valor del décimo primer término de cada una.

iii) Determinar el lugar que ocupa en la sucesión, el último término dado en cada caso.

iv) Calcular la suma de los 8 primeros términos de cada una de las sucesiones.

Ejercicio 13