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8.4 Sustituciones trigonométricas
■ Usar sustituciones trigonométricas para resolver una integral.
■ Usar las integrales para formular y resolver las aplicaciones de la vida real.
Sustituciones trigonométricas
Conociendo cómo evaluar las integrales que contienen potencias de funciones trigonométricas, usar
sustituciones trigonométricas para evaluar integrales que contienen radicales
a
2
−u
2
a
2
+u
2
y
u
2
−a
2
El objetivo de las sustituciones trigonométricas es eliminar al radical en el integrando. Hacer esto con
las identidades pitagóricas.
cos
2
θ= 1 −sen
2
θ , sec
2
θ= 1 +tan
2
θ y tan
2
θ=sec
2
θ− 1
Por ejemplo, si
a> 0
, sea
u=a sen θ
, donde
−π / 2 ≤θ ≤ π / 2
. Entonces
a
2
−u
2
a
2
−a
2
sen
2
θ
√
a
2
( 1 −sen
2
a
2
cos
2
θ
¿ a cosθ
Notar que
cosθ ≥ 0
, porque
−π / 2 ≤θ ≤ π / 2
E X P L O R A C I Ó N
Integración de una función radical Hasta este punto del texto, no se ha evaluado la siguiente
integral
∫
− 1
1
1 −x
2
dx
Por argumentos geométricos se puede encontrar el valor exacto de esta integral. ¿Cuál es?
Utilizando la integración simbólica con la regla de Simpson o de los trapecios, no se tiene la
seguridad de la precisión de la aproximación. ¿Por qué? Intentar calcular el valor exacto mediante la
sustitución
x=sen θ y dx=cos θ dθ
¿Coincide la respuesta con el valor obtenido usando el razonamiento geométrico?
SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS
(a> 0 )
1. Para integrales que contienen
a
2
−u
2
, sea
u=a sen θ.
Entonces
a
2
−u
2
=a cos θ ,
donde
−π / 2 ≤θ ≤ π / 2.
2. Para integrales que contienen
a
2
+u
2
, sea
u=a tan θ.
Entonces
a
2
+u
2
=a sec θ ,
donde
−π / 2 ≤θ ≤ π / 2.
1. Para integrales que contienen
u
2
−a
2
, sea
u=a sec θ.
Entonces
u
2
−a
2
{
a tan θ , si u>a , donde 0 ≤ θ<π / 2
−a tanθ , siu<−a ,donde π / 2 ≤ θ≤ π.
NOTA Las restricciones sobre
θ
aseguran que la función que define la sustitución es inyectiva. De
hecho, éstos son los mismos intervalos sobre los que se definen el arcseno, arctangente y
arcsecante.
EJEMPLO 1 Sustitución trigonométrica:
u=a sen θ
Encontrar
∫
dx
x
2
9 −x
2
Notar que el triángulo en la figura 8.6 puede usarse para convertir los
θ
anteriores a x
como sigue.
cot θ=
cateto ady.
cateto op.
9 −x
2
x
TECNOLOGÍA Usar un sistema algebraico por computadora para encontrar cada integral definida
∫
dx
√ 9 −x
2
∫
dx
x √ 9 −x
2
∫
dx
x
2
√ 9 − x
2
∫
dx
x
3
√ 9 −x
2
Entonces usar la sustitución trigonométrica para reproducir los resultados obtenidos con el sistema
algebraico por computadora.
En un capítulo anterior se vio cómo pueden usarse las funciones hiperbólicas inversas para evaluar
las integrales
∫
du
u
2
± a
2
∫
du
a
2
−u
2
y
∫
du
u
a
2
± u
2
También se pueden evaluar estas integrales por cambios de variable trigonométricos. Esto se
muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 2 Sustitución trigonométrica:
u=a tan θ
Encontrar
∫
dx
4 x
2
tan θ= 2 x , sec θ=
4 x
2
Figura 8.
Solución Sea
u= 2 x , a= 1
y
2 x =tan θ
, como se muestra en la figura 8.7. Entonces,
dx=
sec
2
θ dθ y
4 x
2
La sustitución trigonométrica produce
∫
dx
√ 4 x
2
∫
sec
2
θdθ
secθ
Sustituir.
∫
sec θ dθ Simplificar.
ln|sec θ+ tan θ|+C Aplicar la regla de la secante.
ln
4 x
2
+C Deshacer el cambio.
Intentar verificar este resultado con un sistema algebraico por computadora. El resultado, ¿se da en
esta forma o en la forma de una función hiperbólica inversa?
Extender el uso de la sustitución trigonométrica para cubrir las integrales conteniendo expresiones
como
( a
2
−u
2
n / 2
escribiendo la expresión como
a
2
−u
2
n / 2
(
√a
2
−u
2
)
n
EJEMPLO 3 Sustitución trigonométrica: potencias racionales
Encontrar
dx
( x
2
3 / 2
tan θ=x , sen θ=
x
x
2
Figura 8.
sec θ=
x
√ 3
, tan θ=
x
2
√ 3
Figura 8.
Solución Debido a que
x
2
tiene la forma
u
2
−a
2
, considerar
u=x , a= √
3 y x= √
3 sec θ
como se muestra en la figura 8.9. Entonces
dx= √
3 sec θ tanθ dθ y
x
2
√
3 tan θ.
Para determinar los límites superiores e inferiores de la integración, usar la sustitución
x=√ 3 sec θ
como sigue
Límite inferior Límite superior
Cuando x=√ 3 , sec θ= 1 y θ= 0 Cuando x=2, sec θ=
√
y θ=
π
Así, se tiene
√
3
2
x
2
x
dx=
0
π
6
√ 3 tan θ
√ 3 sec θ tan θ
dθ
√
3 sec θ
∫
0
π
6
√
3 tan
2
θ dθ
√
0
π
6
(sec
2
θ− 1 ) dθ
√
3 [ tanθ−θ ]
π / 6
¿ √ 3
(
√
π
)
√
3 π
En el ejemplo 4, intentar volver a convertir a la variable x y evaluar la antiderivada en los límites
originales de integración. Obtener
√
3
2
√x
2
x
dx=
[
√
√ x
2
√
−arcsec
x
√
]
√
Al calcular integrales definidas por cambios de variables trigonométricos, verificar que los valores de
θ
están en los intervalos discutidos al principio de esta sección. Es decir, si se hubiera pedido
evaluar la integral definida en el ejemplo 4
− 2
−√ 3
x
2
x
dx
entonces usando
u=x
y
a= √
en el intervalo
[−2,−
√
3 ]
implicaría que
u<−a
. Así, al
determinar los límites superiores e inferiores de integración, se tendría que escoger
θ
tal que
π / 2 <θ ≤ π
. En este caso la integral sería resuelta como sigue.
− 2
− √
3
x
2
x
dx=
5 π / 6
π
−√ 3 tan θ
√ 3 sec θ tan θ
dθ
√
3 sec θ
5 π / 6
π
−√ 3 tan
2
θ dθ
√
5 π / 6
π
(sec
2
θ− 1 ) dθ
√
3 [ tan θ−θ]
π
5 π / 6
√
[
0 −π
√
5 π
]
√ 3 π
La longitud de arco de la curva para
a (
)
Figura 8.
Solución Referirse a la fórmula de longitud de arco en la sección 7.4.
s= ∫
0
1
√
1 +[ f ' ( x)]
2
dx Fórmula para su longitud de arco.
∫
0
1
√ 1 + x
2
dx f
'
( x )=x.
∫
0
π / 4
sec
3
θ dθ Sea a= 1 y x=tanθ.
[
sec θ tan θ+ln|sec θ+tan θ|
]
π / 4
Ejemplo 5, sección 8.2.
[ √
2 +ln(
√
]
EJEMPLO 6 Comparación de las fuerzas de dos fluidos
Un barril de petróleo sellado (que pesa 48 libras por pie3) está flotando en el agua de mar (que pesa
64 libras por pie
3
), como se muestra en las figuras 8.11 y 8.12. (El barril no está completamente lleno
de petróleo. Con el barril recargado de lado, la parte superior, 0.2 pies del barril, está vacía.)
Comparar las fuerzas del fluido del interior y del exterior contra un extremo del barril.
El barril no está completamente lleno de petróleo; la parte superior del barril está vacía 0.2 pies
Figura 8.
Solución En la figura 8.12, localizar el sistema de coordenadas con el origen al centro
del círculo dado por
x
2
2
. Para encontrar la fuerza del fluido contra un extremo
interior del barril, integrar entre - 1 y 0.8 (usando un peso de
w= 48
Figura 8.
F=w
∫
c
d
h ( y ) L( y ) dy Ecuación general (ver sección7.7).
F
interior
∫
− 1
(0.8− y )( 2 )
1 − y
2
dy
∫
− 1
1 − y
2
dy− 96 ∫
− 1
y
1 − y
2
dy
Para encontrar la fuerza exterior del fluido, integrar entre - 1 y 0.4 (usando un peso de
w= 64
F
exterior
∫
− 1
(0.4− y )( 2 )
1 − y
2
dy
∫
− 1
1 − y
2
dy− 128 ∫
− 1
y
1 − y
2
dy
Los detalles de integración se dejan para completarse en el ejercicio 84. Intuitivamente,
¿se diría que la fuerza del petróleo (interior) o la fuerza del agua de mar (exterior) es
mayor? Evaluando estas dos integrales, determinar que
F
interior
≈ 121.3libras y F
exterior
≈ 93.0 libras
8.4 Ejercicios
R/
∫
x
2
16 − x
2
dx
Solución:
R/
En los ejercicios 9 a 12, encontrar la integral indefinida usando la sustitución
x= 5 sec θ
∫
x
2
dx
Solución:
R/
∫
x
2
x
dx
Solución:
R/
∫
x
3
x
2
− 25 dx
Solución:
R/
∫
x
3
x
2
dx
Solución:
R/
En los ejercicios 13 a 16, encontrar la integral indefinida usando la sustitución
x=tanθ
x
1 + x
2
dx
Solución:
R/
∫
9 x
3
1 + x
2
dx
Solución:
R/
∫
( 1 + x
2
2
dx
Solución:
R/
∫
4 + x
2
dx
Solución:
R/
∫
25 − 4 x
2
dx
Solución:
R/
5 x
2
− 1 dx
Solución:
R/
En los ejercicios 21 a 42, encontrar la integral
∫
x
√ x
2
dx
Solución:
R/
∫
x
36 −x
2
dx
Solución:
R/
∫
√ 16 −x
2
dx
Solución:
R/
∫
49 −x
2
dx
Solución:
R/
16 − 4 x
2
dx
Solución:
R/
∫
t
( 4 −t
2
3 / 2
dt
Solución:
R/
∫
√ 1 −x
2
x
4
dx
Solución:
R/
∫
4 x
2
x
4
dx
Solución:
R/
∫
x
4 x
2
dx
Solución:
