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FRANK P. INCROPERA – FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR – CUARTA
EDICION – CAPITULO 3 – CONDUCCION UNIDIMENSIONAL DE ESTADO ESTABLE
PROBLEMA 3.
Considere la pared plana de la figura 3.1, que separa los fluidos caliente y frio a temperaturas 𝑇∞, 1 y 𝑇∞, 2 , respectivamente. Con el uso de balances de energía como condiciones de frontera en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿 (véase la ecuación 2.27), obtenga la distribución de temperatura dentro de la pared y el flujo de calor en términos de 𝑇∞, 1 , 𝑇∞, 2 , ℎ 1 , ℎ 2 , 𝑘 y 𝐿.
SOLUCION 3.
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable. b) Propiedades constantes.
Análisis:
De la ecuación (2.17)
𝑑 𝑑𝑥 �𝑘
𝑑𝑥�^ = 0
Se obtiene:
𝑇(𝑥) = 𝐶 1 (𝑥) + 𝐶 2
Para obtener 𝐶 1 y 𝐶 2 , aplicamos las condiciones de frontera: (Ecu. 2.27)
∗ −𝑘
𝑥=
→ −𝑘. 𝐶 1 = ℎ 1. 𝑇∞ 1 − ℎ 1 𝐶 2 … ….. (1)^ → 𝐶 2 = 𝑇∞ 1 + 𝑘 1 ℎ 1.^ 𝐶^1 … … ….. (2)
∗ −𝑘
𝜕𝑥 � 𝑥=𝐿^ =^ ℎ^2 �𝑇𝑥=𝐿^ − 𝑇∞^2 �
De (1) y (3):
ℎ 1. 𝑇∞ 1 − ℎ 1 𝐶 2 = ℎ 2 �𝐶 1. 𝐿 + 𝐶 2 − 𝑇∞ 2 �
Reemplazando (2):
ℎ 1. 𝑇∞ 1 + ℎ 2 𝑇∞ 2 = ℎ 2. 𝐶 1. 𝐿 + �𝑇∞ +
ℎ 1.^ 𝐶^1 �^
ℎ 2. 𝐿 + 𝑘 1 �1 + ℎℎ^2
1
∴ 𝑇(𝑥) = ℎ 2 �𝑇∞ 2 − 𝑇∞ 1 � ℎ 2. 𝐿 + 𝑘 1 �1 + ℎℎ^21 �
. � 𝑘 1 ℎ 1 +^ 𝑥�^ +^ 𝑇∞^1 =^
𝑇∞ 2 − 𝑇∞ 1 1 ℎ 1 +
1 ℎ 2 +
1 𝑘 1
. � 𝑥 𝑘 1 +
1 ℎ 1 �^ +^ 𝑇∞^1
𝑞𝑥 =
1/ℎ 1 𝐴 =^
𝐿/𝑘. 𝐴 =^
ℎ 1 = 30 𝑊 ⁄m^2. 𝐾
𝐿 = 0.004 m
𝑇∞ 0 = −10℃
ℎ 0 = 65 𝑊 ⁄m^2. 𝐾
Suposiciones:
a) Condición de estado estable. b) Propiedades constantes.
Análisis:
(a) Según el problema anterior, se tiene:
ℎ 0. 𝐿 + 𝑘 �1 + ℎℎ^0
1
ℎ 1 �^ +^ 𝑇∞^1 … …. (1)
Reemplazando:
𝑇(𝑥) =
65 × 0.004 + 1.4 �1 +^6530 �
30 +^ 𝑥�^ + 40
Para 𝑥 = 0:
→ 𝑇(𝑥=0) = 7.68℃ = 𝑇 1
Para 𝑥 = 0.004m
→ 𝑇(𝑥=0.004m) = 4.9℃ = 𝑇 0
(b) Usamos la ecuación (1)
𝑇(𝑥) = 1.3321�𝑇∞ 0 − 40 �. �
𝑥 = 0 → 𝑇 1 (𝑇∞0 ) = 0.646307 �𝑇∞ 0 − 40 � + 40
𝑇(𝑥) = 15.4639�𝑇∞ 0 − 40 �. �
30 +^ 𝑥�^ +^40
PROBLEMA 3.
La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de calentamiento delga- do de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente este elemento, se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna.
(a) Para una ventana de vidrio de 4 mm, determine la potencia eléctrica que se requiere por unidad de área de la ventana para mantener una temperatura en la superficie interna de 15 ℃ cuando la temperatura del aire interior y el coeficiente de convección son 𝑇∞,𝑖 = 25℃ y ℎ (^) 𝑖 = 10 𝑊 ⁄m 2. 𝐾, mientras la temperatura del aire exterior (ambiente) y el coefi- ciente de convección son 𝑇∞, 0 = −10℃ y ℎ 0 = 65 𝑊 ⁄m^2. 𝐾. (b) En la práctica, 𝑇∞, 0 y ℎ 0 varían de acuerdo con las condiciones climáticas y la velocidad del automóvil. Para valores de ℎ 0 = 2, 20, 65 y 100 𝑊 ⁄m^2. 𝐾, determine y elabore una gráfica del requerimiento de potencia eléctrica como función de 𝑇∞, 0 para − 30 ≤ 𝑇∞, 0 ≤ 0℃. De sus resultados, ¿qué concluye acerca de la necesidad de operar el calentador con valores bajos de ℎ 0? ¿Cómo resulta afectada esta conclusión por el valor de 𝑇∞, 0? Si ℎ ∝ 𝑉 𝑛, don- de 𝑉 es la velocidad del vehiculo y 𝑛 es un exponente positivo, ¿Cómo afecta la velocidad del auto a la necesidad de la operación del calentador?
SOLUCION 3.
→ 𝑞pot″^ =
ℎ 0 −1^ + 2.857 × 10−^
→ 𝑞pot″^ = 1.988� 15 − 𝑇∞, 0 � − 100
→ 𝑞pot″^ = 18.919� 15 − 𝑇∞, 0 � − 100
→ 𝑞pot″^ = 54.819� 15 − 𝑇∞, 0 � − 100
- Para ℎ 0 = 100 𝑊 ⁄m^2. 𝐾 → 𝑞pot″^ = 77.778� 15 − 𝑇∞, 0 � − 100
PROBLEMA 3.
En un proceso de fabricación se unirá una película transparente a un sustrato como se muestra en el diagrama. Para curar la unión a una temperatura 𝑇 0 , se utiliza una fuente radiante que propor- ciona un flujo de calor 𝑞 0 ″(𝑊 ⁄m^2 ), la totalidad del cual es absorbido en la superficie unida. La par- te posterior del sustrato se mantiene a 𝑇 1 mientras la superficie libre de la película se expone al aire a 𝑇∞ y a un coeficiente de transferencia de calor por convección ℎ.
(a) Muestre el circuito térmico que represente la situación de transferencia de calor de estado estable. Asegúrese de etiquetar todos los elementos, nodos y flujos de calor. Déjelo en forma simbólica. (b) Suponga las siguientes condiciones: 𝑇∞ = 20℃, ℎ = 50 𝑊 ⁄m^2. 𝐾y 𝑇 1 = 30℃. Calcule el flujo de calor 𝑞 0 ″^ que se requiere para mantener la superficie unida a 𝑇 0 = 60℃. (c) Calcule y trace el flujo de calor que se requiere como función del espesor de la película pa- ra 0 ≤ 𝐿𝑓 ≤ 1 mm. (d) Si la película no es transparente y la totalidad del flujo de calor radiante se absorbe en su superficie superior, determine el flujo de calor que se requiere para lograr la unión. Elabore una gráfica de sus resultados como función de 𝐿𝑓 para 0 ≤ 𝐿𝑓 ≤ 1 mm.
SOLUCION 3.
Esquema:
Suposiciones:
a) Estado estable. b) Propiedades constantes.
Análisis:
(a)
(b) Se sabe: 𝑇∞ = 20℃ , ℎ = 50 𝑊 ⁄m^2. 𝐾 , 𝑇 1 = 30℃ , 𝑇 0 = 60℃
→ En general:
𝑇𝑠 = 1500.
Del balance:
𝑞 0 ″^ = 𝑞 1 ″^ + 𝑞 2 ″
𝑞 0 ″^ = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) + 1500
𝑞 0 ″^ = 50��60000. 𝐿𝑓 + 60� − 20℃� + 1500
→ 𝑞 0 ″^ = 3 × 10^6. 𝐿𝑓 + 3500 ; 𝐿𝑓 en (m)^ 𝑦 𝑞 0 ″^ en � (^) m𝑊 2 �
PROBLEMA 3.
Se consideran cobre y acero inoxidable (AISI 304) como material para las paredes de tobera de un cohete enfriada por líquido. El exterior enfriado de la pared se mantiene a 150℃, mientras que los gases de combustión dentro de la tobera están a 2750℃. El coeficiente de transferencia de calor del lado del gas es ℎ (^) 𝑖 = 2 × 10^4 𝑊 ⁄m^2. 𝐾y el radio de la tobera es mucho mayor que el espesor de la pared. Limitaciones técnicas indican que la temperatura del cobre y la del acero no exceden 540 ℃ y 980℃, respectivamente. ¿Cuál es el espesor máximo de la pared que se podría emplear para cada uno de los dos materiales? Si la tobera se construye con el espesor máximo de pared, ¿cuál material se preferiría?
SOLUCION 3.
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable. b) No hay generación de energía.
Análisis:
Para el uso del cobre: 𝑘 (^) cobre = 401 𝑊 ⁄m^. 𝐾
Para el uso del SS (AISI 304) 𝑘 (^) AISI 304 = 14.9 𝑊 ⁄m^. 𝐾
𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″^ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″
𝑇𝑖 (^) 𝑚𝑖𝑛 = 540℃ → 2 × 10^4 m𝑊 2 .𝐾 × (2750 − 540)K =
2 × 10^4. (2750 − 540) =
𝐿 (^) 𝑚𝑎𝑥 = 0.003538 m
- Para el acero inoxidable (SS) AISI 304:
𝑇𝑖 (^) 𝑚𝑖𝑛 = 980℃ → 2 × 10^4 (2750 − 980) =
𝐿 (^) 𝑚𝑎𝑥 = 0.000349 m
Si se construye con el espesor máximo se usará el cobre.
PROBLEMA 3.
Una técnica para medir coeficientes de transferencia de calor implica adherir una superficie de una hoja metálica delgada a un material aislante y exponer la otra superficie a las condiciones de corriente del fluido de interés.
Suposiciones:
a) Condición de estado estable. b) No hay generación de energía.
Análisis:
(a) Para 𝑇𝑠 = 27℃
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″^ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″
(^2000) m𝑊 2 =
0.01/0.04 → ℎ^ = 996^
𝑊 m 2 .𝐾
- Si todo el 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″
→ 2000 = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) = (27 − 25)
→ ℎ = 1000 𝑊 ⁄m^2
Por tanto el error sería:
|996 − 1000| 996 × 100% = 0.4% de error (b) Para 𝑇𝑠 = 125℃ ; Por balance energía:
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″^ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″^ + 𝑞𝑟𝑎𝑑″
(^2000) m𝑊 2 =
𝐿/𝑘 +^ ℎ
(𝑇𝑠 − 𝑇∞) + 𝜀. 𝜎. �𝑇𝑠^4 − 𝑇𝑎𝑖𝑟^4 �
2000 =
(125 − 25) 0.01/0.04 +^ ℎ (125 − 25) + 0.15 × 5.67 × 10−8(398^4 − 2984 )
→ ℎ = 14.5 (^) m𝑊 2 .𝐾
- Si todo el: 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″
2000 𝑊 ⁄m^2 = ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇∞) = ℎ(125 − 25)
→ ℎ = 20 𝑊 ⁄m^2. 𝐾
Por tanto el error será:
20 − 14.
= 37.9% ó 0.
(c) Para 𝑇𝑠 = 27℃
- La energía perdida por radiación es casi insignificante comparada a la pérdida por conducción y convección. Por el balance energético:
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ = 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣″^ + 𝑞𝑐𝑜𝑛𝑑″
𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ =
→ 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ = 2ℎ + 8
Gráfico: función lineal.
- Para el caso 𝑃𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡″^ = 1000 𝑊 ⁄m 2 → ℎ = 496 𝑊 ⁄m 2. 𝐾 ∧ si se considera solo convec- ción: ℎ = 500 𝑊 ⁄m 2. 𝐾 el error será: 0.8%
→ A medida que aumenta el valor de ℎ 0 el error disminuye.
PROBLEMA 3.
Lo helado de la brisa, que se experimenta en un día frio y con viento, se relaciona con el incremen- to de la transferencia de calor de la piel humana expuesta a la atmósfera circundante. Considere una capa de tejido adiposo de 3 mm de espesor y cuya superficie interior se mantiene a una tem- peratura de 36℃. En un día calmado el coeficiente de transferencia de calor por convección a la superficie externa es 25 𝑊 ⁄^ m^2. 𝐾, pero con vientos de 30 km/h alcanza 65 𝑊 ⁄m^2. 𝐾. En ambos casos, la temperatura del aire del ambiente es −15℃.
𝑞calmado″ 𝑞viento″^ = 0. (b) Para el cálculo de 𝑇𝑠:
- Día calmado (ℎ = 25 𝑊 ⁄m^2. 𝐾):
𝑞𝑥/𝐴 = ℎ[𝑇𝑠 − 𝑇∞]^ → 𝑇𝑠 =
ℎ +^ 𝑇∞
25 −^ 15 = 22.09℃
- Día con viento (ℎ = 65 𝑊 ⁄m^2. 𝐾)
𝑇𝑠 =
(c) Para el día con viento:
𝑞𝑥/𝐴 = 1678.48 𝑊 ⁄m 2 a 𝑇∞ = −15℃
Para el día calmado:
𝑞𝑥/𝐴 =
= 1678.48 𝑊 ⁄m^2
PROBLEMA 3.
Considere el transistor montado en superficie que se ilustra en el problema 1.51. Construya el cir- cuito térmico, escriba una expresión para una temperatura de caja 𝑇𝑐 y evalúe 𝑇𝑐 para dos situa- ciones, una en la que el hueco está lleno de aire estancado y otra en la que está lleno de una pasta conductora.
SOLUCION 3.
Análisis:
Por el balance energético en la caja del transistor; se realiza el análisis mediante uso de un circuito térmico:
Dónde:
𝑡 = distancia del hueco
𝑘 (^) 𝑎 = 25 𝑊 ⁄m. 𝐾 (Para el alambre)
𝑘 (^) ℎ = 0.0263 𝑊 ⁄m. 𝐾 (Aire en el hueco)
𝑘 (^) 𝑝 = 0.12 𝑊 ⁄m^. 𝐾 (Pasta en el hueco)
ℎ = 50 𝑊 ⁄m^2. 𝐾
Del circuito:
𝑞 0 + 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝑞 3 + 𝑞 4 + 𝑞 5
→ 𝑞 0 =
1 ⁄ℎ^. 𝐴 1 +^
𝐿 𝑘⁄^ 𝑎. 𝐴 2 +^
𝐿 𝑘⁄^ 𝑎. 𝐴 2 +^
𝐿 𝑘⁄^ 𝑎. 𝐴 2 +^
𝑡 𝑘⁄^ ℎ. 𝐴 3 … …. (1)
ℎ. 𝐴 1. 𝑇∞ + [𝑘ℎ. 𝐴 3 ⁄𝑡^ + 3(𝑘𝑎. 𝐴 2 ⁄𝐿^ )]𝑇𝑏 + 𝑞 0
ℎ. 𝐴 1 + 𝑘ℎ.𝑡^ 𝐴 3 + 3. 𝑘𝑎𝐿.^ 𝐴^2
Dónde:
𝐴 1 = 𝐴 3 = 32 × 10−6^ m^2
𝐴 2 = 25 × 10−8^ m^2
𝐿 = 4 × 10−3^ m
¿Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie inferior?
SOLUCION 3.
Esquema:
Suposición:
a) Estado estable. b) No hay generación de energía interna.
Análisis:
Para la superficie de control en el punto medio: (𝑇 = 85℃), se tiene el siguiente balance:
𝐸̇𝐼𝑁 = 𝐸̇𝑂𝑈𝑇
𝑞 1 ″^ = 𝑞 2 ″
→
𝑘.^ �
−
−
ℎ = 30 (^) m𝑊 2 .𝐾
PROBLEMA 3.
Una ventana térmica de vidrio consiste en dos piezas de vidrio de 7 mm de espesor que encierran un espacio de aire de 7 mm de espesor. La ventana separa el aire del cuarto a 20℃ del aire am- biente del exterior a −10℃. El coeficiente de convección asociado con la superficie interna (lado del cuarto) es 10 𝑊 ⁄m 2. 𝐾.
(a) Si el coeficiente de convección asociado con el aire exterior (ambiente) es ℎ 0 = 80 𝑊 ⁄m^2. 𝐾, ¿cuál es la pérdida de calor a través de una ventana que tiene 0.8 m de largo por 0.5 m de ancho? No tome en cuenta la radiación, y suponga que el aire encerrado en- tre las hojas de vidrio está estancado. (b) Calcule y trace el efecto de ℎ 0 sobre la pérdida de calor para 10 ≤ ℎ 0 ≤ 100 𝑊 ⁄m^2. 𝐾. Repita este cálculo para una construcción de tres vidrios en la que se agrega un tercer vi- drio y un segundo espacio de aire de espesor equivalente.
SOLUCION 3.
Esquema:
Suposiciones:
a) Estado estable. b) No hay generación de energía interna.
Análisis:
De las tablas A.3:
𝑘v = 1.4 𝑊 ⁄m^. 𝐾 (300K)
𝑘𝑎 = 0.0243 (273K)
(a) Pérdida de calor:
