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Espacio Vectorial de los Números
Reales Positivos
ÁLGEBRA LINEAL
1. Determinar si el conjunto de los números reales
positivos forma un espacio vectorial con las operaciones xy
y x/y.
Para que el conjunto de los números reales positivos, denotado como R⁺, forme un espacio vectorial con las operaciones xy y x/y, debe cumplir con los siguientes axiomas:
Clausura para la Adición : Si x, y ∈ R⁺, entonces xy/y ∈ R⁺. Esto se cumple, ya que el producto de dos números reales positivos es siempre un número real positivo.
Conmutatividad en la Adición : Si x, y ∈ R⁺, entonces xy/y = y/x. Esto se cumple, ya que la propiedad conmutativa del producto de los reales se mantiene.
Asociatividad en la Adición : Si x, y, z ∈ R⁺, entonces (xy)z = x(yz). Esto se cumple, ya que la propiedad asociativa del producto de los reales se mantiene.
Existencia del Neutro Aditivo : Existe un elemento e ∈ R⁺ tal que para todo x ∈ R⁺, se tiene xe = x. Esto se cumple, ya que el elemento neutro aditivo es 1, ya que x/1 = x.
Existencia del Inverso Aditivo : Para todo x ∈ R⁺, existe un elemento c ∈ R⁺ tal que x/c = 1. Esto se cumple, ya que el inverso aditivo de x es 1/x.
Clausura para el Producto : Si x, y ∈ R⁺, entonces xy ∈ R⁺. Esto se cumple, ya que el producto de dos números reales positivos es siempre un número real positivo.
Asociatividad en el Producto : Si x, y, z ∈ R⁺, entonces (xy)z = x(yz). Esto se cumple, ya que la propiedad asociativa del producto de los reales se mantiene.
Primera Propiedad Distributiva : Si x, y, z ∈ R⁺, entonces x(y + z) = xy + xz. Esto se cumple, ya que la propiedad distributiva del producto respecto a la suma de los reales se mantiene.
Segunda Propiedad Distributiva : Si x, y ∈ R⁺, entonces (x + y)/z = x/ z + y/z. Esto se cumple, ya que la propiedad distributiva de la división respecto a la suma de los reales se mantiene.
Existencia del Neutro en el Producto : Existe un elemento λ ∈ R⁺ tal que para todo x ∈ R⁺, se tiene xλ = x. Esto se cumple, ya que el elemento neutro multiplicativo es 1, ya que x*1 = x.
Por lo tanto, el conjunto de los números reales positivos, R⁺, con las operaciones xy y x/y, sí forma un espacio vectorial.
2. Determinar si los vectores u = (2, 1, 1), v = (1, 2, 1) y w
= (1, 1, 2) son linealmente independientes.
Para que un conjunto de vectores sea linealmente independiente, se debe cumplir que la única combinación lineal de estos vectores que da como resultado el vector cero es la combinación trivial, es decir, con todos los coeficientes iguales a cero.
Consideremos la siguiente combinación lineal: α(2u + v + w) + β(u + 2v + w) + γ(v + u + 2w) = 0
Desarrollando esta ecuación, obtenemos: (2α + β + γ)u + (α + 2β + γ)v + (α
Para que esta igualdad se cumpla, los coeficientes de u, v y w deben ser iguales a cero: 2α + β + γ = 0 α + 2β + γ = 0 α + β + 2γ = 0
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos: α = 0, β = 0, γ = 0
Por lo tanto, la única solución del sistema es la solución trivial, lo que implica que los vectores u, v y w son linealmente independientes.
3. Hallar una base ortonormal para R³, a partir de los
vectores (1, 1, 1), (-1, 0, 1) y (1, 0, -1).
Consideremos los vectores u = (1, 1, 1), v = (-1, 0, 1) y w = (1, 0, -1), y el producto interior dado por = x^T A y, donde A es la matriz identidad de tamaño 3x3.
Procedemos a encontrar una base ortonormal V = {x, y, z} a partir de los vectores u, v y w, utilizando el proceso de Gram-Schmidt:
Calcular el vector x: x = u / ||u|| = (1/√3, 1/√3, 1/√3)
Calcular el vector y: y = v - (v · x)x = (-1/√6, 0, 1/√6)
Calcular el vector z: z = w - (w · x)x - (w · y)y = (1/√2, 0, -1/√2)
Por lo tanto, la base ortonormal V = {(1/√3, 1/√3, 1/√3), (-1/√6, 0, 1/√6), (1/ √2, 0, -1/√2)}.
