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PAU: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. Resolver el siguiente sistema:
x y z 1 x y z 1 x y z 1
¿Es posible transformarlo en compatible indeterminado cambiando solamente un signo?. ¿Cómo?
Solución:
Resolviendo por el método de Gauss:
2 1 3 1
F F F F
x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 2z 0 z 0 1 1 1 1 0 2 0 0 2y 0 y 0 1 1 1 1 0 0 2 0 x y z 1 x 1
Solución (1, 0 , 0)
Si en la tercera ecuación se cambia el signo del coeficiente de z, esta ecuación quedaría como la primera. Por tanto, sería un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, compatible indeterminado.
2. Discute el siguiente sistema y resuélvelo, si es posible en el caso a 4:
2
x y a x a z 2a 1 x y a (a 1) z 2a
Solución:
Sean la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A':
2 2
1 1 0 1 1 0 a A 1 0 a A' 1 0 a 2a 1 1 1 a(a 1) 1 1 a(a 1) 2a
^
^ ^ ^
Se estudia el rango de la matriz de los coeficientes A :
2
a 0 A 1 0 a a(a 1) A 0 a 1 1 1 a(a 1)
Si a 0 y a 1 r(A) r(A') 3 Sistema compatatible determinado
2 2 2
2
a 1 0 2a 1 0 a 2a 1 a(a 1) (^) a(a a 1) a a 1 x (^1 1 ) a(a 1) a 1 1 0 a 1 1 a(a 1)
2
2
1 a 0 1 2a 1 a y 1 2a^ a(a^ 1)^ a^1 (^1 1 0) a(a 1) a 1 1 0 a 1 1 a(a 1)
^ ^
2
1 1 a 1 0 2a 1 z 1 1 2a^ a^1 (^1 1 0) a(a 1) a 1 1 0 a 1 1 a(a 1)
a^2 a 1 1 1 Solución: x y z a 1 a 1 a 1
^ ^
Si a 0 r(A) r(A') 2 3 sistema compatible indeterminado
1 1 0 1 1 0 0 A 1 0 0 r(A) 2 A' 1 0 0 1 r(A') 2 1 1 0 1 1 0 0
^
^ ^ ^
^
3 1 2 1 3 1
F F F F F 2F
x y z 2 2 1 4 1 0 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 2 1 2 1 0 1 1 2 2 1 4 0 2 1 2
F 3 F 2
x y z 1 0 1 1 2y z 2 0 2 1 2 x z 1 0 0 0 0
^ ^
^
z 2 z 2 a) Si y 0 Solución: (3, 0, 2) x z 1 x 3
^ ^
^ ^
y 2y z 2 b) z 2 2 Solución: (3 2 , , 2 2 ) x z 1 x 3 2
^
^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^
^ ^
c) Son tres planos que se cortan en una recta.
Discute el sistema según los valores del parámetro a. Interprétalo geométricamente:
5.
ax y z 4 0 x y z 1 0 x ay z 1 0
Solución:
ax y z 4 0 x y z 1 x y z 1 0 ax y z 4 x ay z 1 0 x ay z 1
^
^
C 3 C 1 F 2 F 3
x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 4 1 1 a 4 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 1 a 4
^ ^
2 1 3 1
F F F F
z y x 1 1 1 1 0 a 1 0 2 0 0 a 1 5
^
Si a 1 y a 1 Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto.
Si a 1 , resulta: 0 2 0 2 sistema incompatible 0 0 0 5 Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.
^
Si a 1 , se tiene: 0 0 0 2 sistema incompatible 0 0 2 5 El plano segundo y tercero son paralelos y el primero los corta.
^
6. Se considera el sistema de ecuaciones lineales:
x 2y 3z 1 x ay 3z 2 2x (2 a) y 6z 3
a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible. b) Discute si existe algún valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determinado. c) Resuelve el sistema para a 0
Solución:
2 1 3 2 3 1
F F F F F 2F
x y z 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 a 3 2 0 a 2 0 1 0 a 2 0 1 2 2 a 6 3 0 a 2 0 1 0 0 0 0
a) Para a 0 el sistema es incompatible
b) No existe ningún valor de a para que el sistema sea compatible determinado
1 2 3 1 z 2y 1 c) Si c 0 se tiene: 0 2 0 1 y 1 / 2 x 2y 3z 1 0 0 0 0 x 2 3
^
^ ^ ^
^ ^
Solución: 2 3 , 1 , 2
8. Resuelve el sistema de ecuaciones:
3x 2y 4z 8 2x 3y 3z 4 x 3y 5z 6 4 x 4 y 6z 18
Solución:
Se trata de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, por lo que sobra una ecuación. Al aplicar el método de Gauss se busca una fila de todos ceros.
1 3 4 4
F F 1/2F F
x y z x y z 3 2 4 8 1 3 5 6 2 3 3 4 2 3 3 4 1 3 5 6 3 2 4 8 4 4 6 18 2 2 3 9
2 1 3 1 3 2 4 1 4 2
F 2F F 3F 9F 7F F 2F 9F 8F
^ ^ ^
F 4 F 3
122z 122 0 9 7 16 9 y 7z 16 z 1 y 1 x 2 0 0 122 122 x 3y 122z 122 0 0 0 0
^
^ ^ ^
Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema e interprétalo geométricamente:
9.
x 3y z 1 x 5y 3z 3 x y z 1 3x 7y 5z 5
Solución:
Se trata de un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas, por lo que sobra una ecuación. En consecuencia, al aplicar el método de Gauss se busca una fila de todos ceros.
2 1 3 1 4 1
F F F F F 3F
x y z x y z 1 3 1 1 1 3 1 1 1 5 3 3 0 8 4 4 1 1 1 1 0 4 2 2 3 7 5 5 0 16 8 8
2 2 3 3 3 2 4 4 4 2
F 1/4 F F 1/2 F F F F 1/8 F F^ F
^ ^ ^
y 2y z 1 z 1 2 x 3y z 1 x 1 3y z
^
^
^ ^
^ ^ ^
Infinitas Soluciones: ( , , 1 2 ). Se trata de cuatro planos con una recta en común.
Resuelve cada uno de los sistemas para los valores de m que los haga compatible:
10.
x 2y 3 a) 2x y 1 4 x 3y m
^ ^
x y 2z 2 2x y 3z 1 b) 3x z 3 x 2y 5z m
^ ^ ^
Solución:
En ambos casos sobra una ecuación, por lo que al aplicar el método de Gauss se busca una fila de todos ceros.
2 1 3 2 3 1
2 4
F F F F F F
a) x y 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 0 5 5 0 5 5 4 3 m 0 5 m 12 0 0 m 7
Si m 7 Sistema incompatible
5y 5 Si m 7 Sistema compatible determinado x 2y 3
^ ^
^
Solución: x 1 y 1
F 3 F 4
x y z t a 0 1 1 0 a 1 1 0 0 a 1 0 0 0 1
^ ^
1 t 1 1 az t 0 0 ay z t 1 1 ax z t 1
La matriz ampliada escalonada representa un sistema triangular y, por tanto, se trata de un sistema compatible determinado para a 0
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Para a 0 se tiene: 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
^ ^ ^
^
Sistema incompatible t 1 az t 0 Para a 0 el sistema es compatible determinado ay z t 1 ax z t 1
^
^ ^
2 2 sustituyendo, queda: t 1 z 1 y 1 x^1 2a a a a
^
Discute y resuelve según los valores del parámetro (es decir, real) el sistema de ecuaciones:
12.
x y 2t 3 3x y z t 1 5x 3y 2z 4 t 2x y z t 2
Solución:
Se procede a reducir a forma escalonada la matriz ampliada
2 1 3 1 4 1
3 5 2
F F F F F F
x y z t 1 1 0 2 3 1 1 0 2 3 3 1 1 1 1 0 4 1 7 8 5 3 2 4 0 8 2 14 15 2 1 1 1 2 0 1 1 3 4
3 2 4 3 4 2
F 2 F F F 4F F
^ ^ ^
^ ^
Si 1 Sistema incompatible
x y z t Compatible indeterminado 1 1 0 2 3 3z 5t 8 Si 1 0 4 1 7 8 4 y z 7t 8 0 0 3 5 8 x y 2t 3 0 0 0 0 0
^
^ ^ ^
t z 8 5 y 4 4 x^5 3 3 3 3 3 3
Solución: (x , y , z , t) 5 2 , 4 4 , 8 5 , 3 3 3 3 3 3
^
Dados los sistemas lineales siguientes, determina a y b para que se trate de sistemas equivalentes:
13.
2x y (3 2a)z 0 2x (1 b)z 0 a) b) x y (3 a)z 0 (b 1)x y b(b 1)z 0
^
Solución:
Dos sistemas son equivalentes Tienen la misma forma canónica Se llevan los sistemas a forma canónica mediante operaciones elementales:
2x y (3 2a)z 0 y 3z 0 a) x y (3 a)z 0 x az 0
F 2 F 1 F 2 2 F 1
x y z 2 1 3 2a 0 1 1 3 a 0 1 1 3 a 0 2 1 3 2a 0
F 2 2 F 1 1 1 3 a 0 F 2 1/3F 2 1 1 3 a 0 F 2 F 1 0 3 9 0 0 1 3 0
(^) (^) (^) (^)
Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que, cuando uno pierda, entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno posea en ese momento. Cada uno perdió un
15.
a partida, y al final cada uno tenía 24 €. ¿Cuánto tenía cada jugador al comenzar?
Solución:
La situación expuesta es la siguiente:
1º Pierde 1ª Partida 2ª Partida 3ª Partida inicio cantidad x
x y z 2(x y z) 4(x y z) inicio cantidad y 2y
2y (x y z) 2z x 3y z
2( x^ ^ 3y^ z) inicio cantidad z 2z^ 4z
4z 2(x y z) ( x 3y z) x y 7z
4 x 4 y 4z 24 x y z 6 con lo cual, 2x 6 y 2z 24 x 3y z 12 x y 7z 24 x y 7z 24
^
^
2 1 2 2 3 1 3 3
1/ 1/
F F F F F F F F
x y z 1 1 1 6 1 1 1 6 1 3 1 12 0 2 2 18 1 1 7 24 0 2 6 30
2 2 3 2
3 3
1/
1/
F F F F
F F
x y z 1 1 1 6 1 1 1 6 0 1 1 9 0 1 1 9 0 1 3 15 0 0 2 24
^ ^ ^
2z 24 y z 9 z 12 y 21 x 39 x y z 6
El jugador que perdió primero tenía 39 euros, el que perdió en segundo lugar tenía 21 euros y el que perdió en tercer lugar tenía 12 euros.
Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de 2000 €. Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 €, averigua cuántos billetes hay de ca
16.
da tipo.
Solución: Sea x "número billetes de 10 €", y "número billetes de 20 €" z "número billetes de 50 €". Se tiene:
x y z 95 x y z 95 3y z 95 10x 20 y 50z 2000 x 2y 5z 200 4 y 5z 200 x 2y x 2y
^ ^
^ ^
y 25 z 20 x 50
Hay 50 billetes de 10 €, 25 billetes de 20 € y 20 billetes de 50 €
17. Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:
mx y z 4 x y z m 1 a) x y z m b) 2x y mz m x y mz 2 x my z 1
^ ^ ^ ^ ^ ^
Solución: m 1 1 m 1 1 4 a) Matriz coeficientes: A 1 1 1 Matriz Ampliada: A' 1 1 1 m 1 1 m 1 1 m 2
^
^ ^
^
2
m 1 1 m 1 A 1 1 1 m 1 0 m 1 1 1 m
^
sistema Si m 1 y m 1 r(A) r(A') nº incógnitas 3 compatible determinado
contradicción Si m 1 A' 1 1 1 1 sistema incompatible 1 1 1 2
^
Si m 1 A' 1 1 1 1 contradicción sistema incompatible 1 1 1 2
^
1 1 1 1 1 1 m 1 b) Matriz coeficientes: A 2 1 m Matriz Ampliada: A' 2 1 m m 1 m 1 1 m 1 1
^ ^
^ ^
^
Siendo 0 r(A) 2 y 1 1 0 0 r(A') 3 1 1 2 3 2
r(A) 2 r(A') 3 sistema incompatible
x my z 4 b) x 3y z 5 mx y z 4
^ ^ ^
1 m 1 1 m 1 4 Matriz coeficientes: A 1 3 1 Matriz ampliada: A' 1 3 1 5 m 1 1 m 1 1 4
^
^ ^
^
2
1 m 1 A 1 3 1 m 4m 3 0 m 1 y m 3 m 1 1
sistema Si m 1 y m 3 r(A) r(A') nº incógnitas 3 compatible determinado
3 1
(^1 1 ) F F 1 3
Si m 1 A' 1 3 1 5 1 3 1 5 r(A') 2 1 1 1 4 0 0 0 0
^ ^ ^
r(A) r(A') 2 3 nº incógnitas sistema compatible indeterminado
F 2 F 1
sistema Si m 3 A' 1 3 1 5 0 0 0 1 imposible 1 1 1 4 1 1 1 4 incompatible
^ ^ ^
19. Discutir y resolver, según los valores de a, el sitema de ecuaciones:
ax y z 1 x ay z 1 x y az 1
^ ^ ^
Solución: a 1 1 a 1 1 1 a) Matriz coeficientes: A 1 a 1 Matriz ampliada: A' 1 a 1 1 1 1 a 1 1 a 1
^
^ ^
^
3 2
a 1 1 A 1 a 1 a 3a 2 (a 1) (a 2) 0 a 1 (doble) y a 2 1 1 a
Si a 1 y a 2 r(A) r(A') nº incógnitas 3 sistema compatible determinado
2 2 2 2
1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 a 1 1 1 a (^) (a 1) 1 1 1 a (a 1) 1 x (^) a 1 1 y a 1 1 (a 1) (a 2) a 2 (a 1) (a 2) a 2 1 a 1 1 a 1 1 1 a 1 1 a
^
2 2
a 1 1 1 a 1
z 1 1 1 (a^ 1)^1 Solución: (x,y,z) 1 , 1 ,^1 a (^1 1) (a 1) (a 2) a 2 a 2 a 2 a 2 1 a 1 1 1 a
^ ^
^
Los tres planos se cortan en un punto de coordenadas 1 , 1 ,^1 a 2 a 2 a 2
1 1 1 1 (^) sistema compatible Si a 1 A' 1 1 1 1 r(A) r(A') 1 3 nº incógnitas 1 1 1 1 indeterminado
^
z x y z 1 y x 1
^
La solución 1 , , es la forma paramétrica de la ecuación del plano
2 1 1 2 1 1 1 Si a 2 A 1 2 1 A' 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1
^ ^ ^ ^ ^ ^
0 r(A) 2 1 2 1 0 r(A') 3 1 2 1 1 1
r(A) 2 r(A') 3 sistema incompatible
Los planos se cortan dos a dos pero no los tres a la vez
1 2 3 2 4 2
C C C C C C
A' 2 2
k 1 3 6 k 1 3 3 k 1 1 4 4 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0
2 k 1 4 4 12k 12 0 k 1 1 2 0
Si k 1 r(A) 3 r(A') 4 sistema incompatible (no tiene solución)
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 4 Si k 1 A 1 1 3 A' 1 1 3 6 1 0 2 1 0 2 0
^ ^ ^ (^) ^ ^ ^ ^ (^) (^) (^)
sistema compatible Como 2 1 1 0 r(A) r(A') 3 nº incógnitas determinado 1 0 2
x y z 2 x y z 2 2x y z 4 2x y z 4 (x, y, z) (2, 1, 1) x y 3z 6 x 2z 0 x 2z 0
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^ ^ ^
^ ^
^
^
21. Discutir y resolver, según los distintos valores del parámetro k, los sistemas:
x y z 2 2x y z k x 2y 3z 8 x y z 2 a) b) k x y z 1 3x 2y z 4 x y z 2 x y 2z 3
^ ^ ^ ^ ^
Solución: 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 8 a) Matriz coeficientes: A Matriz ampliada: A' k 1 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
^
^
^ ^
^
^
^ ^
1 2 3 2 4 2
C C C C C 2C
A' k 1 0 3 k 1 1 1 k 1 1 0 3 2 2 0 1 1 1 2 2 1 2 0
8k 16 0 k 2
Si k 2 r(A) 3 r(A') 4 sistema incompatible (no tiene solución)
1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 8 Si k 2 : A , A' 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
^
^
^ ^
^
^
1 2 3 0 r(A) r(A') 3 nº incógnitas sistema compatible determinado 2 1 1
1ª 3ª
x y z 2 x y z 2 x 1 x 2y 3z 8 x 2y 3z 8 y z 1 k x y z 1 2x y z 1 2y 3z x y z 2
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^
Solución: (x, y, z) (1, 2, 1)
2x y z k x y z 2 b) 3x 2y z 4 x y 2z
^ ^ ^
Aplicando el método de Gauss, como sobra una ecuación se busca una fila de ceros:
2 1 3 1 3 2 3 1
F 2F F F F 3 F F F
y z x 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 3 4 0 1 5 8 0 1 5 8 1 2 1 3 0 3 2 5 0 0 13 19 1 1 2 k 0 0 3 k 2 0 0 3 k 2
K 31 13F 4 3 F 3 13
y z x 1 1 1 2 13x 19 x 19 / 13 0 1 5 8 z 5x 8 z 9 / 13 0 0 13 19 y z x 2 y 2 / 13 0 0 0 13k 31
^
^ ^
^
^ ^ ^ ^
