Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Documento que presenta el sistema de coordenadas polares, las ecuaciones en coordenadas polares, y la representación gráfica de rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limas, rosas y lemniscates.
Tipo: Monografías, Ensayos
1 / 28
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Objetivos: Se pretende que el estudiante:
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r^ que parte
desde el origen y que tiene ángulo de giro^ θ^ , tendríamos otra forma de definir un punto.
Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera,
mencionar el valor de r^ y el valor de^ θ^. Esto se lo va a hacer indicando
el par ordenado (^ r ,^ θ), en este caso se dice que son las coordenadas
polares del punto.
Se deducen las siguientes transformaciones:
De rectangulares a polares: ⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
θ=
= +
x
y
r x y
arctg
2 2
De polares a rectangulares: ⎩
= θ
= θ sen
cos y r
x r
Una utilidad de lo anterior la observamos ahora.
Ejemplo Encuentre las coordenadas polares del punto P ( 1 , 1 )
SOLUCIÓN:
Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:
Ejercicios propuestos 4.
c. ) 3 ( 4 ,− 2 π d. ( − 1 ,π)
e. ) 2 ( − 2 ,^3 π
b. ) 3 ( − 1 ,π f. ) 3 ( 2 ,^2 π
c. ) 6 ( 4 ,− 7 π g. ) 3 ( − 2 ,−^5 π
d. ) 2 ,^3 2 ( 3 π^ h. ) 4 ( − 4 ,^5 π
Eje Polar Polo
Eje (^2)
π
15 D
30 D
45 D
60 D 105 D^75 D 120 D
135 D
150 D
165 D
180 D
195 D
210 D
225 D
240 D 255 D^270 D 285 D
300 D
315 D
330 D
345 D
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la
forma r^ =^ f (θ). Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia,
podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos.
Ejercicio Propuesto 4.
1 − θ
r = d. r^2 =sen( 2 θ)
e. (^) r^2 =θ f. 2 4 cos()
3 − θ r =
d. b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 h. p y x 4
6 r
θ
= sen
6 r
r = 6 cosθ
r = 3 + 3 cosθ
r = 6 + 3 cosθ
r = 3 + 6 cosθ
= 3 6 cos
r^9
4.3.1.2 Rectas tales que NO contienen al polo y se encuentran a una distancia "d" del polo.
Observemos la siguiente representación gráfica:
Del triangulo tenemos: ( ) r
d cosθ−φ =
Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería:
( θ−φ)
cos
d r
Ejemplo
Graficar cos( 6 )
4 r = θ− π
SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del ángulo de la perpendicular a la recta es 6 π^. ES decir:
Ahora veamos casos especiales:
cos
d r. Una recta
vertical.
Al despejar resulta r cos θ= d es decir x = d.
( ) (^) θ
θ + θ
θ−
= (^) π π π cos 2 cos cos 2 sen sen 2 sen
d d d r
Una recta horizontal.
Ejemplo Graficar r = 2
SOLUCIÓN:
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2.
4.3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro el punto ( a ,φ)
Observemos el gráfico:
De allí obtenemos el triángulo:
Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:
( ) = ( θ−φ)
= + − θ−φ 2 cos
2 cos 2
2 2 2
r ar
a r a ar
Resultando, finalmente:
r = 2 a cos (θ −φ)
Ejemplo
Graficar r = 4 cos(θ − 3 π)
SOLUCIÓN:
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto (^2 , 3 π^ ). Por tanto su gráfico es:
Casos especiales, serían:
Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos:
( ) ( ) 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 cos
x a y a
x ax a y a
x y ax
r ax
r
x r a
r a
= θ
Una circunferencia con centro el punto ( 0 ,− a ) y radio r = a
Observe la figura.
Se define a la parábola ( e = 1 ), a la elipse ( 0 < e < 1 ) y a la hipérbola ( e > 1 ) como el conjunto de puntos del plano tales que:
d ( P , F ) = ed ( P , l )
Entonces:
( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) [ ( )]
θ−φ =
θ−φ =
= − θ−φ
= − θ−φ
1 cos
1 cos
cos
cos
cos
e
ed r
r e ed
r er ed
r ed er
r ed r
dP F ed Pl
Casos especiales son:
1 e cos
ed r
1 e cos
ed r
π φ = tenemos
1 e sen
ed r
π φ = tenemos − θ
1 e sen
ed r
Ejemplo 1
Graficar
SOLUCIÓN:
En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " x = 6 " (a la derecha y paralela al eje 2
π (^) ). Parábola cóncava a la izquierda.
Ejemplo 4
Graficar − θ = 1 sen r^6
SOLUCIÓN:
Es una parábola con foco el polo y recta directriz y =− 6 (paralela y abajo del eje polar). Cóncava hacia arriba.
Ejemplo 5
Graficar
= 1 cos
6 2
r 1
SOLUCIÓN:
En este caso " e =^12 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.
NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también:
Ejemplo 6
Graficar − θ
= 1 cos
6 2
r 1
SOLUCIÓN:
Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar.
Ejemplo 7
Graficar
= 1 sen
6 2
r 1
SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje π 2 hacia abajo.
Ejemplo 10
Graficar − θ = 1 2 cos r^6
SOLUCIÓN:
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar.
Ejemplo 11
Graficar
SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π^ hacia arriba.
Ejemplo 12
Graficar − θ = 1 2 sen r^6 SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π^ hacia abajo.
Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ± b cosθ o de la forma r = a ± b senθ
Consideremos tres casos:
Ejemplo 1 Graficar r = 6 + 6 cosθ
Esta gráfica presenta simetría al eje polar , es decir: (^) f ( θ) = f (−θ)
