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Sistemas de control
Sistemas
Se puede pensar en un sistema como una caja negra que tiene una entrada y una salida. Se considera una
caja negra debido a que en realidad no es importante qué tiene dentro, sino la relación entre la salida y la
entrada. Este sistema es de control si la salida se controla de modo que pueda adoptar un valor o cambio en
particular de alguna manera definida; por ejemplo, para controlar la temperatura en una habitación a un
valor específico, se diseña un sistema de control de calefacción central.
El término sistema se emplea para describir un conjunto de componentes que interactúan, alrededor de los
cuales se dibuja una frontera imaginaria de modo que sólo es de interés la interacción entre la entrada o
entradas y su salida o salidas, sin necesidad de estudiar en detalle las interacciones entre los componentes
que lo forman.
Ejemplo: la figura a ilustra el sistema de la estación de generación de energía con una entrada de
combustible y su salida de electricidad, la figura b ilustra un motor eléctrico con su entrada de potencia
eléctrica y su salida movimiento mecánico.
Un sistema de control es aquél en el que la salida del sistema se controla para tener un valor específico o
cambiarlo, según lo determina la entrada del sistema. Un sistema de control de temperatura, como un
sistema de calefacción central, puede tener en su entrada un termostato o panel de control en el que se fija
la temperatura requerida y su salida es la temperatura real producida. Esta temperatura se ajusta mediante
el sistema de control, de modo que se obtenga el valor por la entrada al sistema.
Función de transferencia de un sistema
Es el cociente entre la variable de salida y la variable de entrada
𝑜
𝑖
Sistema
θi θo
Modelos
Un modelo es un medio para transferir alguna relación de su versión real a otra versión.
Al dibujar una caja con líneas y flechas para las entradas y salidas se dibuja un modelo para el sistema. Las
relaciones que se transfieren del sistema real al dibujo son las relaciones entrada-salida. De ningún modo
se sugiere que el dibujo formado por una caja con líneas con flechas se vea como el sistema en la realidad.
Sistemas de control en lazo abierto y cerrado
Sistema en lazo abierto: la salida no se ve modificada por el cambio en las condiciones de operación
externas. Ejemplo: un calefactor eléctrico puede tener un selector que permite elegir una disipación en el
elemento calefactor de 1 kW a 2 kW. de este modo, la entrada al sistema está determinada por la posición
del selector ya sea en 1 kW o 2 kW. La temperatura producida en la habitación acondicionada por el
calefactor está determinada únicamente por el hecho de que se haya elegido la disipación de 1 kW en el
selector y no 2 kW. Si se presentan cambios en las condiciones de operación, alguien que abre una ventana,
la temperatura cambiará debido a que no hay modo de que el calor de salida se ajuste para compensar dicha
condición.
No existe información que se alimente de regreso (realimentación) al elemento calefactor para ajustarlo y
mantener una temperatura constante. Los sistemas de control que operan mediante mecanismos de
temporización preestablecidos son sistemas en lazo abierto.
Sistema en lazo cerrado: se tiene una señal de realimentación hacia la entrada desde la salida, la cual
se utiliza para modificar la entrada de modo que la salida se mantenga constante a pesar de los cambios en
las condiciones de operación.
El sistema de calefacción con el calefactor eléctrico se puede transformar en un sistema en lazo cerrado si
alguien con un termómetro monitorea la temperatura en la habitación y enciende o apaga los elementos
calefactores de 1 kW o 2 kW para mantener la temperatura de la habitación constante.
En esta situación existe la realimentación de una señal a la entrada referente a la temperatura, con lo que la
entrada al sistema se ajusta según si su salida es la temperatura requerida.
Elementos básicos de un sistema en lazo abierto
Un sistema en lazo abierto consiste en algunos subsistemas básicos. Estos elementos pueden ser distintos,
equipos separados, pero todas las funciones que cumple cada subsistema se deben preservar. La entrada
global al sistema es una señal, que, basada en experiencias anteriores, es probable que conduzca a la salida
requerida. Los subsistemas son:
1 – Elemento de control. Este elemento determina qué acción se va a tomar dada una entrada al sistema de
control.
2 – Elemento de corrección. Este elemento responde a la entrada que viene del elemento de control e inicia
la acción para producir el cambio en la variable controlada al valor requerido.
3 – Proceso. El proceso o planta es el sistema en el que se va a controlar la variable.
Los primeros dos subsistemas a menudo se unen para formar un elemento denominado controlador.
Una característica necesaria es el lazo de realimentación. Este es el medio a través del cual una señal
relacionada con la variable real obtenida se realimenta para compararse con la señal de referencia. Es
realimentación negativa cuando la señal realimentada se resta del valor de referencia;
Señal de error = valor de referencia – señal de realimentación = – f
La realimentación positiva se presenta cuando la señal realimentada se suma al valor de referencia;
Señal de error = valor de referencia + señal de realimentación = + f
Cuando en el elemento de comparación hay realimentación negativa, el valor de referencia se marca como
una señal positiva y la señal de realimentación f como negativa de modo que la salida del elemento de
comparación es la diferencia entre las señales, si hubiera realimentación positiva en el elemento de suma,
entonces ambas señales deben marcarse como positivas, y entonces a la salida hay una suma.
Ejemplo de un sistema en lazo cerrado:
Sistema de control del ejemplo anterior, donde se controló la temperatura de una habitación mediante una
persona que encendía y apagaba el elemento calefactor acuerdo a si la temperatura de la habitación dada
por un termómetro tenía o no el valor requerido. Los elementos de este sistema de control son:
Variable controlada - temperatura de la habitación
Valor de referencia - temperatura requerida en la habitación
Elemento de comparación - persona que compara el valor medido y la temperatura
requerida
Señal de error - diferencia entre la temperatura requerida y la medida
Elemento de control - la persona
Elemento de corrección - mano que opera el encendido del elemento calefactor
Proceso - la habitación
Dispositivo de medición - termómetro
Realimentación - negativa
Otro ejemplo: un sistema de control utilizado para mantener constante el nivel de agua en un tanque. El
valor de referencia es la posición inicial en el brazo (del flotador), de modo que cierra el suministro de agua
en el nivel requerido. Cuando el agua sale del tanque, el flotador baja con el nivel de agua. Esto hace que
el brazo del flotador se mueva y permita que el agua entre al tanque, hasta que el flotador sube a una altura
tal que haya movido el brazo del flotador y cerrado el suministro de agua. Los elementos del sistema son:
Variable controlada - nivel de agua en el tanque
Valor de referencia - posición inicial en el brazo del flotador
Elemento de comparación - brazo del flotador
Señal de error - diferencia entre la posición real del brazo y su posición inicial
Elemento de control - brazo pivoteado
Elemento de corrección - aleta de apertura o cierre del suministro de agua
Proceso - agua del tanque
Dispositivo de medición - el flotador y el brazo que lo sostiene
Realimentación - negativa
Estrategias de control
Para los sistemas en lazo abierto, podríamos utilizar un sistema de tipo on-off o un sistema temporizado
o timer.
on-off. Para un sistema en lazo abierto seria la luz de una habitación; tenemos dos posiciones, encendido
o apagado, y el control lo tiene que realizar el operario.
Timer. En el caso de una tostadora donde el sistema va a permanecer encendido por un cierto tiempo que
uno lo puede setear pero el sistema nunca va a tener la posibilidad de verificar que se esté cumpliendo el
objetivo; por algunos minutos se encuentra encendida la resistencia calefactora pero el sistema no tiene
posibilidad de verificar el estado del pan.
El sistema de lazo cerrado podría ser del tipo on-off también, como en el caso de una caldera que tiene una
bomba de alimentación; la bomba va a actuar hasta un cierto nivel de agua y cuando llega a ese nivel se
apagará. Tiene dos posibilidades: encendido o apagado con la diferencia de que el encendido o el apagado
no lo elige la persona, sino que lo elige directamente el sistema.
Proporcional. El sistema reacciona proporcionalmente a la señal de error que está recibiendo; si el error
es creciente, la corrección que va a devolver también va a ser creciente y va a tener una constante de
proporcionalidad igual a la diferencia.
Proporcional refinado. Además de trabajar en forma proporcional al error también lo va a hacer en
función de la derivada del error, o sea, la velocidad de cambio del error con respecto al tiempo, y de la
Secuencia de pasos que tienen lugar en los bloques que forman el elemento de control
1 Esperar un pulso de reloj.
2 Hacer una conversión de analógico a digita de la señal de entrada en ese tiempo.
3 Calcular la señal de control de acuerdo con la estrategia de control en el programa.
4 Llevar a cabo la conversión de digital a analógico de la señal de control.
5 Actualizar el estado de la unidad de corrección.
6 Esperar un pulso de reloj y entonces repetir todo el ciclo.
Como la entrada se muestrea sólo en ciertos tiempos, un sistema de este tipo se llama sistema de datos
muestreados.
Para un sistema en lazo cerrado en tiempo continuo, la señal de error analógica del elemento de
comparación se convierte en una señal de error digital mediante un convertidor analógico a digital A/D ,
modificada por el elemento de control digital de acuerdo con la estrategia de control programada y después
se convierte a una señal analógica para el elemento de corrección mediante un convertidor digital a
analógico D/A. La secuencia de pasos en el elemento de control es la misma que para el sistema en lazo
abierto.
En general lo que tiene el controlador internamente es un reloj y tiene la posibilidad, o se puede setear,
para hacer el muestreo que se desea hacer de esa señal tanto en la entrada como en la salida. La idea
es que si nuestro sistema evoluciona muy lentamente en el tiempo nosotros podríamos hacer un muestreo
a muy baja frecuencia. Si el sistema evoluciona muy rápidamente lo que hacemos es aumentar la frecuencia
de manera tal de poder evaluar cuál es la variación temporal.
Se puede usar una sola computadora para controlar varias variables. El reloj dice si controla i 1
y o 1
oi 2
yo 2
oi 3
yo 3
Modelos matemáticos para sistemas
Un modelo matemático de un sistema es una réplica de las relaciones entre entrada y salida o entre entradas
y salidas. Las relaciones reales entre la entrada y la salida de un sistema se sustituyen por expresiones
matemáticas.
Si tenemos un motor como sistema, la entrada al motor es un voltaje V y la salida es una velocidad angular
del eje. Para muchos sistemas existen relaciones lineales razonables entre la entrada y la salida; significa
que la salida es proporcional a la entrada y si la entrada se duplica, entonces la salida también se duplica,
es decir, si la entrada se multiplica por una constante multiplicativa entonces la salida se multiplica por la
misma constante. El modelo matemático es:
Donde G es la constante de proporcionalidad. Esta relación implica que, si el voltaje cambia, entonces
deberá haber un cambio inmediato correspondiente en la velocidad angular del eje, pero no es así, ya que
el motor toma un tiempo para que el eje cambie a la nueva velocidad. Así la relación existe, sólo entre el
voltaje y la velocidad cuando el sistema ha tenido suficiente tiempo para asentarse ante el cambio en la
entrada; se denomina condición de estado estable.
valor en estado estable de ω = G(valor en estado estable de 𝑉)
G =
valor en estado estable de ω
valor en estado estable de 𝑉
La constante G se denomina función de transferencia o ganancia del sistema.
Función de transferencia. Cociente entre la salida en estado estable y la estrada en estado estable para
un sistema o subsistema.
G =
salida en estado estable 𝛉𝐨
entrada en estado estable 𝛉𝐢
Ejemplos:
Circuito eléctrico. Una fuente con una cierta
diferencia de potencial conectada a una resistencia,
se va a establecer una corriente eléctrica. Queremos
calcular, por ejemplo, cuánto va a ser esa corriente
en función a una resistencia que conectemos y la
diferencia de potencial que le apliquemos al nodo.
Aplicamos la ley de Ohm.
Ley de Ohm:
Ecuación
Función de transferencia 𝐹 =
Pero si tenemos un sistema donde hay una
resistencia donde la señal de entrada es una
corriente y lo que mido es la diferencia de potencial
que se forma en la resistencia. Lo que tenemos
como entrada es i y la salida es la diferencia de
potencial. La función de transferencia es:
Modelos matemáticos para sistemas en lazo abierto
Si tenemos tres elementos en serie,
la función de transferencia global GT del sistema es la salida o dividida la entrada i.
𝑇
Ejemplo:
𝑇
𝐻
′ = 𝐻 1 ∙ 𝐻 2
𝑇
Error en estado estable
El error en estado estable E de un sistema es la diferencia entre la salida del sistema y su entrada cuando
las condiciones están en estado estable.
Si hacemos una gráfica del tiempo de cualquier variable, la variable deseada puede tener un valor,
nuestra variable dentro de la planta evoluciona en el tiempo, pude hacer alguna oscilación y después
queda con un valor constante en el tiempo.
Lo ideal sería que, si queremos por ejemplo 10°C, el sistema va a reaccionar al encender el sistema de
calefacción, puede que se pase de esta temperatura porque el sistema tiene cierta inercia. Después de un
tiempo el sistema disminuye la temperatura, o sea después del punto a ya se cortó el sistema de suministro
de calor, la temperatura comienza a descender, el sistema va a volver a encender el sistema de calefacción,
por una cuestión de inercia la temperatura sigue bajando hasta que comienza a aumentar en b , las
oscilaciones dependiendo del tipo de control pueden ser cada vez más pequeños hasta que el sistema llegue
a una condición donde se va a estabilizar. A partir de este momento donde el sistema se estabilizó podríamos
hablar de un estado transitorio y el estado estable. La señal a la salida dentro del transitorio está cambiando,
oscilando, pero luego de que ingresó al estado estable su valor ya no cambia, aparece una cierta diferencia
entre la señal de entrada y la señal a la salida de la planta que la vamos a denominar error en estado estable
EEE.
En el diagrama de bloques teníamos una e minúscula, todo lo que sea con minúscula va a ser una variable
función del tiempo. Cuando hablamos de algo que está en estado estable como no cambia respecto del
tiempo, sino que se mantiene constante, para identificarla la escribimos con mayúscula.
Error en estado estable a lazo abierto
𝑇
Para que E sea cero, G1G2G3 deben ser igual a 1. Aunque esto se puede lograr en la preparación o
calibración del sistema, es inevitable que se presenten errores en estado estable debido a que las funciones
de transferencia cambian como consecuencia de cambios en el medio ambiente.
Error en estado estable a lazo cerrado
𝑇
Para que E sea cero
𝐆
𝟏+𝐆𝐇
debe ser igual a 1 , o sea que G=1+GH. Igual que el sistema de control en lazo
abierto, las funciones de transferencia tienden a cambiar con las condiciones ambientales. Sin embargo, si
GH es mucho mayor que 1, la ecuación se aproxima a
(se desprecia el 1 del denomminador)
y así los cambios en las funciones de transferencias de los elementos de la trayectoria directa casi no tienen
efecto sobre el error. De esta manera, la sensibilidad del sistema en lazo cerrado para tales efectos es mucho
más pequeña que para un sistema en lazo abierto. Ésta es una de las grandes ventajas que tienen los sistemas
en lazo cerrado respecto a los sistemas en lazo abierto.
