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MODELAMIENTO DE LA TRANSFERENCIA
DE CALOR Y MASA EN UN TROZO DE CARNE
DE RES ROSTIZADA EN UN HORNO
Sebastián Ramírez Meza^1 , Santiago Esteban Rodríguez Díaz^2 , Leidy Katherine Serrato Triviño^3
a 2015744 - 2 (Curso de Transferencia de Masa), (Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá).
Carrera 45 Nº 26-85, Bogotá (11001), Colombia
b Departamento de Ingeniería Química y Ambiental - Facultad de Ingeniería,
Universidad Nacional de Colombia
RESUMEN
En el ámbito ingenieril la mecánica computacional, entre muchas otras cosas, hace posible simular los fenómenos de transporte. Para entender el proceso de cocción de la carne en un horno convencional se emplea la herramienta COMSOL Multiphysics 5.3a que permite acoplar el modelo matemático de elementos finitos y la difusión molecular por convección empleando la ley de Fick para analizar la transferencia simultánea de masa y calor en un medio turbulento utilizando un modelo geométrico simple que simula sus características físicas. Se presentan y analizan los perfiles de temperatura y de concentración del agua en la matriz sólida de la carne después de tiempos determinados de cocción. Finalmente, se concluyen puntos de importancia logrados empleando la técnica de la simulación para entender fenómenos combinados de transporte. Palabras clave: transferencia simultánea de calor y masa; difusión; convección; elementos finitos. Recibido: 28 de enero de 2019. Aceptado: xx de enero de 2019 Received: January 28 , 2019 Accepted: January xx, 2019 HEAT AND MASS TRANSFER MODELLING FOR A PIECE OF MEAT ROASTED IN AN OVEN ABSTRACT In the engineering field computational mechanics make it possible to simulate transport phenomena among many other things. To understand the process of cooking meat in a conventional oven COMSOL Multiphysics 5.3a is employed. This tool can couple the mathematical model of finite elements and convective molecular diffusion using Fick’s First Law to analyze simultaneous mass and heat transfer in a turbulent medium and utilizing a simple geometric model which also simulates the solid’s physical properties. The temperature and concentration profiles of water in and outside the meat are presented and analyzed for certain cooking times. Finally, several points are concluded highlighting the different aspects of utilizing simulation as a tool to understand combined transport phenomena. Keywords: simultaneous heat and mass transfer, diffusion, convection, finite elements.
1. INTRODUCCIÓN
En su intento por comprender el mundo, los humanos han creado una base teórica numérica para describir los fenómenos ligados a la vida cotidiana con el fin de controlarlos para su beneficio, acoplando los sistemas tecnológicos con los modelos matemáticos se producen soluciones analíticas o simulaciones que dan buenas aproximaciones al comportamiento real de las cosas. El manejo de estas herramientas es importante en la actualidad ya que la clasificación, estandarización y optimización de los productos y procesos es hoy imprescindible para obtener el máximo rendimiento en cualquier actividad industrial. La evolución ha traído consigo hábitos alimenticios en los cuales el consumo de carne y sus derivados va aumentando gracias a los cambios relacionados con la industrialización, la urbanización y el desarrollo económico y social, estos hábitos consisten, casi siempre, en preparar los alimentos por medio de tratamientos térmicos, no solo para inactivar microorganismos patógenos y parásitos sino también para mejorar su digestibilidad, textura y calidad alimenticia, ya que en el proceso se produce una desnaturalización que se evidencia en el cambio de las propiedades organolépticas y de calidad durante la cocción [1]; por lo tanto este proyecto es parte de un compendio general de conocimiento que apunta a desarrollar modelos acoplados de transferencia de calor y masa (entre temperatura y contenido húmedo) para analizar, predecir y mejorar los procesos de penetración de la temperatura en el producto y su rendimiento, la difusión de humedad en la carne producto de las condiciones térmicas y el seguimiento en los cambios en sus propiedades fisicoquímicas bajo las condiciones convencionales de cocción convectiva en la industria de las carnes, así como los modelos ayudan a mejorar el diseño y operación de los sistemas comerciales de cocción [2]. Los relatos teóricos más importantes sobre los mecanismos de transferencia de calor, materia y otros fenómenos inducidos por cambios en la temperatura y la presión que ocurren al rostizar/hornear trozos de material proteico (de aves, res, pescado, entre otros) de geometría definida se basan en los modelos de transferencia de calor y masa que han llevado un progreso marcado principalmente por el uso de soluciones analíticas que emplean ecuaciones directas para describir una propiedad específica en un tiempo dado y que según la complejidad del problema abarca varias restricciones en sus condiciones de frontera (Incropera & DeWitt, 1996). Actualmente dichos modelos continúan implementando métodos numéricos que permiten simular el comportamiento a través del tiempo considerando muchas variables necesarias para producir con precisión la representación del proceso. El método a utilizar en este documento es el método de los elementos finitos (MEF), el cual descompone discretamente una región de interés y sus integraciones complejas sobre el espacio y el tiempo en un número finito de elementos que pueden ser tratados secuencialmente [3]. Cada elemento está conectado a otros puntos llamados nodos y la colección de estos elementos es llamada malla de los elementos finitos. Este método es la solución a las ecuaciones diferenciales parciales de transferencia de calor y masa acoplada y a las cuales se les da solución por medio de software como COMSOL Multiphysics® versión 5.3a, este provee un entendimiento cuantitativo de los fenómenos de transporte y predice los estados variables en el espacio y el tiempo (perfiles de temperatura y concentración de agua). En la literatura se encuentra una amplia cantidad de información que expone los estudios de transporte de energía, materia y movimiento en rollos de carne que es producto de un interés extendido en la industria de las comidas rápidas (Dincer, 1996; Ikediala, Correia, Fenton, & Ben-Abdallah, 1996; Ou & Mittal, 2006; Pan, Singh, & Rumsey, 2000). También del interés generado por la energía en el transporte del agua evaporada desde la superficie al medio (Bengtsson, Jakobsson, & Dagerskog, 1976; Chang, Carpenter, & Toledo, 1998; Singh, Akins, & Erickson, 1984; Skjöldebrand & Hallström, 1980). Otros que modelan la transferencia de masa en el fenómeno de difusión de agua durante el rostizamiento (Chen, Marks, & Murphy, 1999; Huang & Mittal, 1995; Ngadi, Watts, & Correia, 1997). Documentos más recientes tienen en cuenta los efectos en la capacidad de mantener la humedad, el transporte de agua a través de los poros y el encogimiento que sufre el cuerpo y describen los mecanismos para la exudación de la carne durante la cocción o el rostizamiento (Godsalve et al.,1977; Tornberg, 2005; Wählb & Skjöldebrand, 2001; Feyissa, Garnaey & Adler-Nissen 2015 ) [4].
Figura 1. Geometría y cocción convectiva de la muestra. Figura 2. Diagrama de simulación de transferencia de calor y masa en carne magra. Sin Modificar. Tomado de Feyissa 2011.
2.2 Mecanismos de transporte, ecuaciones gobernantes La primera parte consiste en representar los mecanismos más importantes que ocurren durante la cocción (rostizamiento) por aire convectivo hacía la carne. Estos se ilustran en la figura 3.
- Transferencia de calor: El flujo de calor convectivo transportado desde el aire caliente a la superficie del producto está dado por la ecuación (1):
Donde q es el flujo de calor convectivo (W/m^2 ), hT es el coeficiente de transferencia de calor (W/ (m^2 ºC)), Ta es la temperatura del aire dentro del horno (ºC) y Ts es la temperatura sobre la superficie de la carne (ºC). Figura 3. Mecanismos de transporte durante el rostizamiento en un horno convectivo, no modificado. (Feyissa, 2012). Asumiendo que las propiedades y la generación de calor son constantes, basándose en las ecuaciones de conservación de la energía, se obtiene: 𝜌𝑚𝐶𝑇𝑚
Considerando solo la transferencia de calor por conducción, limitándose al cuerpo, puede ser escrita en coordenadas cilíndricas como:
Donde Q es el caudal (m^3 /s), K es la permeabilidad del sólido (m^2 ), A es el área (m^2 ), 𝛻𝑃 es el vector gradiente de presión (Pa m-^1 ), μ𝑚 es la viscosidad dinámica del fluido (Pa s), 𝑢𝑚 es la velocidad del fluido (m/s). La presión es proporcional al exceso de agua en la carne, este aumento de presión puede ser expresado, bajo la teoría de Flory–Rehner y Van der Sman (2007), en término del contenido de humedad (C), la capacidad de mantener el agua en equilibrio como función de la temperatura (Ceq(T)) y el módulo de elasticidad (E) (N/m^2 ), como sigue (Aberham Hailu Feyissa, 2011): 𝑢𝑚 = − μ𝐾𝐸 𝑚
La expresión empírica que obtuvieron Bengtsson, et al. ( 1976 ) y Van der Sman ( 2007 ) para la capacidad de mantener el agua indica que ésta decrece con el aumento de la temperatura, esta es: 𝐶𝑒𝑞𝑢(𝑇) = 𝑎 1 − 𝑎 2 ( 1 +𝑎 3 exp(−𝑎 4 (𝑇−𝑇𝜎)))
Donde 𝑇𝜎 = 52 º𝐶 es el centro de una curva logística (capacidad de mantener el agua Vs. Temperatura) 𝑎 1 = 0. 745 , 𝑎 2 = 0. 345 , 𝑎 3 = 30 , 𝑎 4 = 0. 25 (van der Sman, 2007).
- Condiciones de frontera Estableciendo las condiciones de frontera que se pueden observar en la figura 3 donde interviene la convección, sobre la cual el flujo de calor que ingresa a la carne es igual a la diferencia entre la transferencia de calor convectiva y el calor de evaporación (Chen et al., 1999), para las condiciones de contorno abierto (12) para las condiciones de frontera con contorno cerrado (13). 𝐾𝑇 𝛿𝑇 𝛿𝑛 = ℎ𝑇 (𝑇𝑎 − 𝑇)^ + 𝐷𝑚𝜌𝑚𝝀 𝛿𝑚 𝛿𝑛
−𝑛(𝐾𝑚𝛻𝑇 + 𝑢𝑤𝐶𝑝𝑤𝜌𝑤𝑇)⃒ (^) 𝑟= 0 = 0 ; 𝑡 > 0 (13) Durante el rostizamiento con horno, en muchos casos se puede observar una salida de agua líquida, al igual que en la transferencia de calor, existen dos condiciones de frontera, (14) para los contornos abiertos y (15) para contornos cerrados (véase más adelante). Se expresan cómo (Feyissa, 2011): 𝑛 ∗ (−𝐷𝛻𝐶 + 𝑢𝑤𝐶) = 𝑞𝑒𝑣𝑝 𝐻𝑎𝑣𝑝𝜌 (𝐶^ −^ 𝐶𝑒𝑞𝑢(𝑇))^ (13) 𝑛(−𝐷𝛻𝐶 + 𝑢𝑤𝐶))⃒ (^) 𝑟= 0 = 0 ; 𝑡 > 0 (14)
- Valores iniciales 𝑇(𝑟, 𝑧)^ ⃒ 𝑡= 0 = 𝑇 0 (16) 𝐶(𝑟, 𝑧)⃒^ 𝑡= 0 = 𝐶 0 (17)
- Propiedades termo-físicas usadas durante los cálculos Estas propiedades y sus valores pueden ser obtenidos en la literatura por medición y/o estimación, se reportan los datos basados en el estudio de Chen, (1999). La densidad de la carne se expresa como:
𝜌𝑚 = 1 ∑ 𝑦𝑖 𝜌𝑖
Donde 𝑦𝑖 es cualquier componente que este en la muestra, proteína, grasa, agua, etc. El modelo asume que la capacidad calorífica especifica (J/ (kg K)) incrementa con la temperatura de acuerdo a la expresión: 𝐶𝑡𝑚 = 3017. 2 + 2. 05 𝛥𝑇 + 0. 24 𝛥𝑇^2 + 0. 002 𝛥𝑇^3 (19) Donde 𝛥𝑇 = ( 𝑇 − 0º𝐶). La conductividad térmica, 𝐾𝑇 (W/ (m K)), incrementa con la concentración de la humedad acorde con: 𝐾𝑇 = ( 0. 194 + 0. 436 (𝐶 𝑀𝐻 2 𝑂 𝜌 ))^ (20) Donde C es la concentración (mol/m^3 ), 𝑀𝐻 2 𝑂 es la masa molar de agua (kg/mol) y 𝜌 la densidad (kg/m^3 ). El coeficiente de difusión húmeda (m^2 /s) y el coeficiente de transferencia de masa (m/s), está dado por: 𝐷 = 𝐾𝑚 𝜌𝐶𝑚^ (21)^ 𝐾𝑚^ =^ ℎ𝑚 𝜌𝐶𝑚^ (22) Donde 𝐶𝑚 es capacidad especifica húmeda (kg agua/kg carne), 𝐾𝑚 se refiere a la conductividad de humedad (kg/ (m s)) y ℎ𝑚 es el coeficiente de transferencia de masa especifico (kg/ (m^2 s)). Se asume que la temperatura inicial de la carne es de 22 ºC y que esta ingresa a un horno precalentado a varias temperaturas usuales en la industria de la cocina profesional, que la concentración inicial de agua en la carne es de 1222 kg/m^3 y que bajo esta base la humedad promedio es expresada en masa por volumen de carne (Chen et al. 1999). La densidad del aire y la viscosidad del agua fue calculada a partir de ecuaciones de regresión (Powell, 1997) desarrollado en tablas de vapor. El coeficiente de transferencia de calor se predice usando el número de Nusselt, como sigue: 𝑁𝑢 = ℎ𝑇 𝑑 𝐾𝑇^ (23) Donde: 𝑁𝑢 = 0. 0266 𝑅𝑒^0.^805 𝑃𝑟 1 (^3) (24) Con el número de Reynolds como: 𝑅𝑒 = 𝜌𝑢𝑤𝑑 μ (25) El número de Prandlt equivale a 0.71 para aire atmosférico; el diámetro del cilindro es el mismo para el número de Nusselt y el Reynolds (Obuz et al. 2002). El coeficiente de transferencia de masa fue estimado usando el modelo de Bimbenet et al. ( 1971 ), usando las relaciones entre calor y masa durante el secado.
aproximada que, con el juicio ingenieril que se le supone al calculista, puede ser más que suficiente para la resolución de un problema práctico (Datta, 2009). La función de forma es la solución aproximada dentro del espacio del elemento finito, la cual depende de la forma geométrica del elemento y el número de nodos [8], estos van desde 1D a 3D y pueden ser agrupadas en diferentes tipos de funciones de interpolación polinómica (véase la figura 5). Figura 5. (a) Elementos finitos según el orden de su función de forma. (b) Malla de elementos finitos en 2D de la región a analizar. Tomada de Du-Wen Sun (2008). La solución con el MEF para el problema que se desarrolla en este documento, un problema de transferencia transitoria de calor y masa fue dada por Crank–Nicholson en central difference method (Reddy, 1984; Mallikarjun & Mittal,1994), allí la solución para la temperatura y la humedad en todos los nodos está basada en operaciones matriciales, como: Estas ecuaciones son codificadas por COMSOL Multiphysics® Versión 5.3.
3. RESULTADOS Y ANÁLISIS
En la tabla 1 se presentan los valores iniciales de las variables simuladas. Se muestran también las propiedades físicas de la carne y los parámetros específicos.
En el proceso de rostizamiento, la distribución de temperatura y el cómo esta afecta la distribución de humedad son factores de gran importancia ya que determinan la calidad del producto. El resultado más interesante de esta simulación es que proporciona el tiempo requerido para calentar la rebanada de carne en un espacio a 22 ºC hasta alcanzar al menos 70 ºC a lo largo del sólido, razón por la cual se tomó la sección en el medio del cilindro (un cuarto de la sección transversal de la geometría), en la esquina inferior izquierda, ya que en este punto es donde se tarda más tiempo en alcanzar la temperatura deseada, también permite predecir la distribución de temperatura y humedad dentro del alimento rostizado al llegar a una temperatura en el centro de 70ºC, bajo diferentes condiciones en la temperatura del aire. Tabla 1. Características físicas iniciales usadas en el modelo computacional. El modelo fue usado para predecir el tiempo de cocción en el centro de la carne, en el cual se alcanza una temperatura no menor a 70ºC, bajo tres diferentes condiciones en la temperatura del aire convectivo (135ºC, 177ºC, 219 ºC). La gráfica 1 muestra como la temperatura incrementa con el tiempo. Se puede observar que se requiere 770 segundos para alcanzar 70 ºC en la temperatura del centro axial con un horno a 135 ºC, este tiempo se reduce a más de la mitad si la temperatura del aire en el horno se aumenta a 219ºC, lo cual concuerda con los datos obtenidos por Chen et al. (1999) donde requieren 850 ºC para la misma condición. Gráfica 1. Incremento de la temperatura en la mitad del cilindro a diferentes temperaturas locales.
Gráficas 2, 3 y 4. Predicción de la distribución de temperatura después de que en el centro se alcanza una temperatura mayor a 70 ºC a diferentes condiciones.
Gráficas 2, 3 y 4. Predicción de los perfiles de presión después de que en el centro se alcanza una temperatura mayor a 70 ºC a diferentes condiciones. De acuerdo con la simulación realizada, la muestra presenta una mayor temperatura en las caras expuestas a la convección. La distribución de humedad indica una mayor concentración de agua líquida en el centro, lo cual concuerda con la distribución de presiones. De esta manera se predice el descenso global de la humedad durante el proceso de rostizamiento y, con respecto a los perfiles de temperatura, se presentan zonas bien definidas hasta que alcanza la etapa de vaporización en la que se reconoce un comportamiento constante. Dicho comportamiento se ajusta a lo que ocurre experimentalmente durante este proceso como lo muestran trabajos previos (Boldor y col. 2005; Cui y col. 2005; Arballo y col. 2010) (Arballo et al., 2014).
4. CONCLUSION
Se desarrolló un modelo para la predicción simultánea de los mecanismos de transferencia de calor y masa basado en el método de los elementos finitos con el fin de describir la cocción convectiva por efecto de aire caliente sobre un sólido alimenticio de geometría cilíndrica. S usó COMSOL Multiphysics para describir la distribución de la temperatura y la humedad como funciones espaciotemporales. Los resultados obtenidos concuerdan bastante bien con las investigaciones realizadas por Chen et al. (1999), en el cual basamos el diseño y el cual hace un estudio exhaustivo comparando los resultados con pruebas experimentales que usan termocuplas para medir las propiedades directamente.
