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Ejemplo Simulado 2; Un cuerpo desliza sobre un plano inclinado móvil
En este ejercicio, se estudia el movimiento de un cuerpo que desliza a lo largo de un plano inclinado
que a su vez, se mueve sin fricción sobre una superficie horizontal. El plano inclinado es una cuña de
masa M, que forma un ángulo θ con la horizontal. El cuerpo es un bloque de masa m que se desliza sin
rozamiento sobre el plano inclinado. Queremos determinar la distancia que avanza la cuña cuando el
bloque llega a la base de la cuña y el tiempo que le toma para ello
Solución Virtual
Ángulo θ = 30 °; m/M = 0.5; t = 0.55 s; a m = 6.53 m/s 2 ; V m = 3.61 m/s; Xm =1 m
a M = 1.89 m/s 2 ; V M =1.04 m/s; X M = 0.29 m
Solución Analítica
Consideramos que la cuña está representada por una particula de masa M ubicada en las coorde-
nadas del centro de masa (x2, y2, 0) y que las coordenadas cartesianas del bloque que desliza son
(x1, y1, 0), como se muestran en la figura. Entonces la energía cinética de este sistema es
T = 1
m x^12 + y^12 + 1
M x^22 + y^22 ( 1 )
GRADOS DE LIBERTAD. Es claro que hay 2 partículas, N = 2 y las siguientes ligaduras:
1. z 1 = 0; z 2 = 0; El movimiento está confinado al plano
3. y 2 = Cte;
2. θ = Cte : la masa m está obligada a moverse sobre la cuña
N = 2; k = 4; n = 3 N - k = 2 (^2 )
Usaremos como coordenadas generalizadas independientes s y ξ;
EC = { s, ξ} ( 3 )
x1 + ξ = s Cos[θ]; y1 = (LL - s) Sin[θ];
x2 + ξ = c1; y2 = c
In[1]:= x1 [ t _] : = s [ t ] Cos [θ] - ξ[ t ] ; y1 [ t _] : = ( LL - s [ t ]) Sin [θ] ; x2 [ t _] : = c1 - ξ[ t ] ; y2 [ t _] : = c2;
La energia cinética
In[2]:= T =^1 2
m x1 ' [ t ]^2 + y1 ' [ t ]^2 +^1 2
M x2 ' [ t ]^2 + y2 ' [ t ]^2 // Simplify
Out[2]=^1 2 m s ′^ [t] 2 - 2 m Cos[θ] s ′^ [t] ξ ′^ [t] + (m + M) ξ ′^ [t] 2
La energía potencial gravitacional
In[3]:= V^ =^ m g y1 [ t ] Out[3]= g m^ (LL^ -^ s[t])^ Sin[θ]
El Lagrangiano del sistema
In[4]:= L^ =^ T^ -^ V^ //^ Simplify
Out[4]=
- 2 g m (LL - s[t]) Sin[θ] + m s ′^ [t] 2 - 2 m Cos[θ] s ′^ [t] ξ ′^ [t] + (m + M) ξ ′^ [t] 2
L = T - V =
m s ′^ [t] 2 - 2 m Cos[θ] s ′^ [t] ξ ′^ [t] + (m + M) ξ ′^ [t] 2 - g m (LL - s[t]) Sin[θ] ( 5 )
Ecuaciones de Lagrange
ⅆt
∂L
∂s^ ^
∂L
∂s
= 0; P ξ =
∂L
=^ 0;^ (^6 )
In[5]:= ecuS^ =^ D [ D [ L, s ' [ t ]] , t ] -^ D [ L, s [ t ]]^ ⩵^^0 //^ Simplify Out[5]= m (g Sin[θ] + Cos[θ] ξ ′′^ [t]) ⩵ m s ′′^ [t]
In[6]:= ecu ξ = D [ L, ξ ' [ t ]] ⩵ 0 // Simplify Out[6]= m Cos[θ] s ′^ [t] ⩵ (m + M) ξ ′^ [t]
En la ecuS simplificamos la m. En la ecuξ introducimos la constante r = m/ M y simplico M
Grafica de la cuña
x2[t_] := c1 - ξ[t]; y2[t_] := c2;
x2[t_] := c1 - ξ[t]; y2[t_] := c2; (^8 )
In[22]:= cuña [ t _ , r _ , θ_] : = Graphics [{ Cyan, EdgeForm [ Thin ] , Triangle [{{ξ[ t, r , θ] , Sin [θ]} , {ξ[ t, r , θ] , 0 } , {ξ[ t, r , θ] - Cos [θ] , 0 }}]}] ; In[23]:= Show [{ cuña [ 0, 0.5, 30 °] , cuña [ 0.5, 0.5, 30 °]}]
Out[23]=
Las coordenadas cartesianas de la posición de la masa que desliza
x1[t_] := s[t] Cos[θ] - ξ[t]; y1[t_] := (LL - s[t]) Sin[θ]; ( 9 )
In[24]:= x1 [ t _ , r _ , θ_] : = s [ t, r , θ] Cos [θ] - ξ[ t, r , θ] ; y1 [ t _ , r _ , θ_] : = 1 - s [ t, r , θ] Sin [θ] ; t1 [ r _ , θ_] : =^2 +^ r^ -^ r Cos [^2 θ] g 1 + r Sin [θ]
In[25]:= t1 0.5, Pi 6 // N Out[25]= 0.
Estas son las coordenadas para la masa, cuando aún está sobre la cuña, esto es, para 0 ≤ t ≤ ≤ t 1
In[26]:= trayectoria [ r _ , θ_] : = ParametricPlot {- x1 [ t, r, θ] , y1 [ t, r, θ]} , - Cos 5 *** π ** 180. , 0 , 0, Sin 50 *** π ** 180. , Cos 50 *** π ** 180. , 0 , { t, 0, t1 [ r, θ] } , PlotStyle → {{ Dashed, Thin }} , PlotRange → All In[27]:= trayectoria 0.5, Pi^ ^^6
Out[27]=
In[28]:= masa [ t _ , r _ , θ_] : = Graphics [{ Gray, Disk [{- x1 [ t, r , θ] , y1 [ t, r , θ]} , 0.02 ]}] ; In[29]:= sistema [ t _ , r _ ,^ θ_]^ : =^ Show [{ trayectoria [ r,^ θ] , cuña [ t, r ,^ θ] , masa [ t, r ,^ θ]}] ; In[30]:= sistema 0.4, 0.5, Pi 6
Out[30]=
In[28]:= In[31]:= Manipulate [ sistema [ t, r , θ] , { t, 0, t1 [ r, θ]} , { r, 0.1, 1, 0.1 } , {θ , 5 ° , 50 ° , 5 °}]
Out[31]=
t r θ
ShowParametricPlot{- x1[t, 0.1, 5 °], y1[t, 0.1, 5 °]}, - Cos 5 π
0, Sin 50 π
, Cos 50 π
, 0, {t, 0, t1[0.1, 5 °]},
PlotStyle → {{Dashed, Thin}}, PlotRange → All, ,
Esta animación debe ser mejorada agregando la solución para t ≥ t 1 , esto es, para cuando la masa se
mueve libremente hacia la izquierda, y la cuña lo hace hacia la derecha, ambas con movimiento
rectilíneo uniforme. Así mismo debe incluirse una ventana en esta animación que muestre las veloci-
dades, las aceleraciones y las posiciones de la masa y la cuña, como aparece en CIFI
Función Energía
Dado el Lagrangiano L(q, q^ ^ , t) de un sistema de n grados de libertad, la función energía (energía
generalizada ) se define como
L = 1
m r^2 + r 2 ω 2 ( 17 )
Determine la función energia h, se conserva ?, es la energía mecánica del sistema?
