Señales y Sistemas: Fundamentos de Comunicación, Apuntes de Fundamentos de Electrónica

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UNIVERSIDAD CAECE

DEPARTAMENTO DE

SISTEMAS

FUNDAMENTOS DE

COMUNICACIONES

Apuntes de Cátedra:

Introducción a las

comunicaciones

Señales y sistemas

Introducción a las Comunicaciones Se define como comunicación al proceso donde la información es transferida desde un punto llamado fuente a otro punto distante llamado destinatario. Un sistema de comunicación es la totalidad de circuitos que proveen este enlace de información. Existen muchas clases de fuentes de información como son: la presión acústica producida por la voz o la música; variables funciones del tiempo como: la temperatura, intensidad de luz de una escena de televisión; mensajes: una secuencia de símbolos en un correo electrónico, una página hipertexto, el contenido de un archivo. Pero sea cual fuere el mensaje, el objeto de un sistema de comunicación es proporcionar una réplica aceptable en el destinatario. Como regla general, el mensaje producido por una fuente no es eléctrico y, por lo tanto, es necesario un transductor de entrada. Este transductor convierte el mensaje en una señal , una magnitud eléctrica variable, tal como un voltaje o una corriente. Similarmente, otro transductor en el destino convierte la señal de salida a la forma apropiada del mensaje. En nuestro caso, “fundamentos de comunicaciones”, nos dedicaremos a estudiar aquella parte del sistema donde el mensaje aparece como una señal eléctrica. En lo sucesivo, los términos señal y mensaje se usarán indistintamente, puesto que tanto la señal como el mensaje son una materialización física de la información. En la siguiente figura, se muestran los elementos funcionales de un sistema de comunicación, que omitiendo los transductores está compuesto por tres partes esenciales, el transmisor, el canal de transmisión y el receptor. Transmisor: pasa el mensaje al canal en forma de señal. Para lograr una transmisión eficiente y efectiva, se deben desarrollar varias operaciones de procesamiento de la señal. La más común e importante es la modulación , un proceso que se distingue por una adaptación de la señal transmitida a las propiedades del canal, por medio de una onda portadora. Canal de transmisión: es el medio de enlace eléctrico entre el transmisor y el receptor. Puede consistir en un cable de par trenzado, un cable coaxil, fibra óptica u onda de radio. Pero sin importar el tipo, todos se caracterizan por la atenuación , que consiste en la disminución progresiva de la amplitud de la señal conforme aumenta la distancia, esto representa un factor importante a tener en cuenta. Receptor: extrae del canal la señal deseada y la entrega al transductor de salida. Como las señales son frecuentemente débiles, como resultado de la atenuación, el receptor debe proveer de suficiente amplificación, para recuperar convenientemente la amplitud de la señal. Luego la operación clave que ejecuta el receptor es la demodulación, mediante la cual se extrae la información de la portadora. Transductor de entrada Transmisor Canal de transmisión (^) Receptor Transductor de salida Señal de entrada Señal transmitida Señal recibida Señal de salida Mensaje de entrada Mensaje de salida Ruido Interferencia Distorsión

Figura 1. La figura representa una función coseno donde la frecuencia , y la fase inicial es. Esto implica una señal que se repite una vez por segundo, es decir, el valor de la amplitud es cíclico y se repite cada 2 veces. Si la señal tuviera un cierto valor de fase , se produce un desplazamiento de la forma de onda: Figura 2. En la figura se observa una función coseno desplazada. Existen entonces tres parámetros importantes en esta función: su amplitud , su frecuencia y la fase inicial. La inversa de la frecuencia es denominado periodo de la señal, y se lo suele simbolizar con la letra. Si la frecuencia esta medida en veces por segundo, la unidad de frecuencia es el Hertz, o sea 1/segundo. La inversa de la frecuencia es el tiempo , que obviamente se mide en segundos. Un conjunto de señales de este tipo puede ser utilizado si se suman con diferentes amplitudes y fases para construir una determinada señal. Así por ejemplo la señal expresada como la siguiente suma:

Figura 3. La forma de onda de la figura se reconstruye con las componentes que se expresan en la ecuación anterior. De la misma forma una combinación diferente de componentes combinadas en número, amplitud y fase, permitiría dar forma a otro tipo de señal. En general se puede esperar que una señal sea aproximada con sus componentes con una cantidad finita de las mismas, o bien que ese numero de componentes sea infinito, con lo cual la forma generada será una aproximación a la verdadera. Ecuación de Euler. La ecuación de Euler permite la definición de lo que se denomina un fasor. Dicha ecuación enuncia que: Esta ecuación puede interpretarse gráficamente tal como se ve en la figura 4: Figura 4. Si el ángulo aumentara su valor, el vector comenzaría a rotar, ya que el ángulo se define creciente como se ve en la figura. La proyección de este vector de amplitud sobre el eje resulta ser

. Ahora se puede dar una interpretación a este esquema, haciendo que el ángulo . La frecuencia esta dada en Hertz, y es igual a la cantidad de veces que se

A .sen( )

A .cos(  )

j 

A. e

Ejemplo: Sea la señal de la figura 3:

. Realice su representación fasorial. Previamente se debe convertir la señal para que quede expresada como una serie de cosenos de valor positivo: Realizada la conversión se puede entonces dar forma al correspondiente espectro, representado por líneas espectrales de amplitud y fase, como muestra la figura 7: Figura 7. Este tipo de representación de una señal se denomina espectro de la señal. Describe en amplitud, frecuencia y fase todas las componentes de una señal. La lectura de la información provista en el espectro podría ser usada por ejemplo en este caso para reconstruir la señal tal como se ha hecho en la figura anterior. Las señales podrían ser representadas con un número finito o infinito de componentes, teniendo en este segundo caso una reconstrucción aproximada de la señal verdadera. En toda esta representación se tuvo en cuenta al fasor como una variable rotatoria cuya proyección sobre el eje correspondiente nos da la verdadera señal. En este sentido la variable que se esta representando es: a la cual se denomina fasor, y de la cual se toma solo la proyección sobre uno de los ejes. En la representación de la figura 8, el eje horizontal se denomina parte real, y el eje vertical parte imaginaria del fasor. Se puede decir entonces que : Amplitud Fase f , Hz f , Hz

6 30 º  90 º  180 º 5 10 15

Donde la notación Re{} significa simplemente que se esta tomando la proyección sobre el eje horizontal, es decir, se esta tomando la parte real de la función. Esta representación parece ser una complicación innecesaria, pero se vera que es muy útil para analizar lo que sucede con una señal en el dominio de la frecuencia. Volviendo a la figura 5, se puede considerar que una parte de la señal esta en el otro eje, denominado imaginario. Si ahora se toman dos señales fasoriales de igual amplitud que giran en sentidos opuestos, y se suman, se tendría un vector que ya no tiene componentes en los dos ejes, sino solo en uno. Figura 8. La señal ahora representada se observa en el eje real. Para esto se debe considerar un fasor que gira en sentido opuesto al original, haciendo que ambos tengan la mitad de la amplitud de la función

. Esto puede describirse matemáticamente como: Si se adopta esta representación la señal que se desea describir en el dominio espectral o de frecuencia tiene dos componentes de mitad de amplitud, una girando en un sentido y la otra en el otro, cuestión que puede dibujarse en el espectro considerando que el fasor que gira hacia el otro lado es de frecuencia negativa. Se puede observar que la componente de frecuencia negativa tiene su fase cambiada de signo. Esta es simplemente una representación conveniente de la señal, recordando que la frecuencia negativa representa simplemente un fasor que gira en el sentido contrario al convencional. Figura 9. Eje Re al Eje Im aginario  0 t  

A / 2

f 0  0 t   _

A / 2

f 0 Amplitud Fase A / (^2) A / 2 f f

f f 0

 f 0  0

 f 0

La transferencia tiene un modulo que es una función de la frecuencia y que determina para cada valor de frecuencia por cuanto hay que multiplicar a la amplitud de entrada amplitud para obtener la amplitud de salida. La función establece para cada frecuencia cuanto se le debe sumar a la fase de la señal de entrada para conocer la fase de salida. En otras palabras: Donde se ve que la transferencia afecta a una señal de frecuencia especifica multiplicando la amplitud y sumando la fase que la función adopta a esa frecuencia particular. Una señal que tenga varias componentes vera a afectada cada una de ellas de esa forma, de manera que es posible a través de este análisis saber como un sistema afecta a una señal determinada, si se conoce el espectro de la señal entrante y la transferencia del sistema por el cual la señal pasa. Un modelo matemático mas riguroso para expresar el efecto de la transferencia de un sistema se describe haciendo uso de la expresión total de la transferencia: Esto hace muy simple el análisis ya que si la señal de entrada se describe como un fasor: recordando que esta es una representación conveniente de la cual se toma parte real para conocer de la verdadera señal: entonces la señal a la salida del sistema de la figura 11 se puede calcular simplemente multiplicando la transferencia de ese bloque por la señal de entrada: Señales periódicas y Serie de Fourier En todo proceso de comunicación existen en la práctica señales que se repiten periódicamente, tales como las ya presentadas, las funciones seno y coseno, que suelen ser los osciladores locales de los equipos de transmisión, así como también las formas de onda de pulsos cuadrados que se utilizan para la transmisión digital de información. Estas señales presentan un periodo de repetición es decir, un cierto tiempo donde la señal vuelve a tener el mismo valor: En realidad la expresión anterior define un modelo teórico bastante aproximado al real, ya que ninguna señal real en la practica se extiende indefinidamente en el tiempo como para que la ecuación anterior sea siempre cierta.

La aproximación de una señal puede verse a través de las siguientes figuras. Una primera aproximación de una señal cuadrada esta dada por la señal: que se ve representada en la siguiente figura: Figura 12 Si la señal de aproximación adopta mas componentes, se transforma en: Figura 13 El agregado de mas componentes de alta frecuencia va conformando los flancos de la señal cuadrada, de forma que una aproximación mas exacta es la que se describe en la siguiente ecuación para y se muestra en la figura:

1. Todas las líneas espectrales están equiespaciadas, Ya que las componentes son múltiplo de la fundamental
2. Se puede obtener el valor medio de la señal como la integral dentro del periodo, haciendo :
3. Si es real, el espectro es tal que: El espectro tiene amplitud con simetría par, y fase con simetría impar. Cuando la señal es real, se puede verificar que la Serie de Fourier es expresada como: Esta es la llamada Serie trigonométrica de Fourier, y tiene la forma del espectro de líneas basado en función coseno que se había presentado inicialmente. Tren de pulsos rectangulares. Una señal de gran uso en comunicaciones digitales es el pulso rectangular. Ase tendrá en cuenta en este caso que el pulso pertenece a un tren de señales que tiene repetición periódica, con lo cual la Serie de Fourier es aplicable al caso. La señal es la que se ve en la figura: Figura 15 El periodo de integración para esta señal es , aunque la señal solo tiene valor en el intervalo. En este intervalo la señal es de un valor constante e igual a. La señal dibujada es un modelo matemático del pulso rectangular real, donde en todos los casos la discontinuidad abrupta en el flanco de la misma no esta presente. Para esta señal entonces: A

 T 0 T 0

Dado que se presenta en numerosas ocasiones, se suele definir una función denominada que es igual a: Figura 16 De acuerdo a esta definición se puede ahora describir el espectro de líneas del tren de pulsos cuadrados modificando levemente la ecuación anterior: El espectro es par en amplitud, dado que la señal es real. Ejemplo: Determine el espectro de líneas de la señal de la figura 15 si. La función sinc es la envolvente del espectro de líneas que se define para este caso. Las componentes son múltiplos de la frecuencia fundamental,. La componente de continua, o valor medio, es igual a. Cuanto más angosto sea el pulso respecto del ciclo de repetición menor será el valor medio. El espectro de líneas es entonces el siguiente: Figura 17 El espectro de la figura muestra el modulo de los coeficientes de la descomposición de la señal de pulsos rectangulares. Los coeficientes adoptan valores positivos y negativos, con lo cual la fase adopta valores de 0º o 180º.