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Magnitud:
Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Además, posee la característica de variar, ya sea aumentando o disminuyendo, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etcétera. Las magnitudes se expresan en unidades de medida. Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, metros por segundo, etcétera. Cantidad: Es todo estado particular de una magnitud, resulta de medir una determinada magnitud en ciertas unidades, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Para cada una de esas medidas existen diferentes cantidades de esa magnitud. Ejemplo: una regla de 1 metro, una caja de 2 kilogramos, un tonel de 5 litros, 95 km/h, etcétera.
MATERIAL INFORMATIVO
PENSAMIENTO LÓGICO
SESIÓN 6
✍ Tema: PROPORCIONALIDAD: MAGNITUDES PROPORCIONALES
Y REPARTO PROPORCIONAL
Ejemplo: La siguiente tabla muestra algunas magnitudes y su correspondiente unidad de medida: Magnitud Unidad de medida Símbolo Tamaño de un terreno (área) Metro cuadrado m^2 Peso de una persona (masa) kilogramo Kg Sueldo de una persona soles S/. Velocidad de un automóvil Kilómetro por hora Km/h Temperatura Grados centígrados °C
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Relaciones entre dos magnitudes Las relaciones matemáticas que existen entre las magnitudes son de mucha importancia, ya que nos permitir deducir la variación de una magnitud, modificando los valores de las magnitudes con los que está en interdependencia , considerando que estas relaciones pueden ser sencillas (solo entre dos magnitudes) y otras más complejas (más de dos magnitudes). A continuación, estudiaremos las dos magnitudes. A. Magnitudes directamente proporcionales (DP) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, también lo hacen proporcionalmente. Análogamente si una disminuye, la otra lo hará proporcionalmente. Notación:
MAGNITUD 1 RELACIÓN MAGNITUD 2
Tamaño de un terreno DP Precio del terreno Número de máquinas de coser DP Producción de pantalones Número de artículos DP Precio total a pagar Cantidad de proteínas consumidas DP Masa corporal B. Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminuyen en la misma proporción. Análogamente si una de ellas disminuye, la otra aumentará proporcionalmente. Notación: A IP B ⇒ AxB = K ; K = constante de proporcionalidad inversa Analicemos el siguiente caso: El recorrido que realiza un bus interprovincial para ir de Piura a Lima es de aproximadamente 1000 km. Teniendo en cuenta que el bus viaja a velocidad constante durante todo su recorrido, obtenemos la siguiente tabla que relaciona la velocidad y el tiempo de viaje. Velocidad(km/h) 50 80 100 125 Tiempo (h) 20 12,5 10 8 En los valores de la tabla observamos que, si la velocidad del bus se multiplica por un número, entonces el tiempo quedará multiplicado por el inverso del mismo número. Teniendo en cuenta cada par de valores obtenemos: En general, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el producto de sus valores correspondiente es constante. (k es constante de proporcionalidad) Algunas magnitudes inversamente proporcionales son:
MAGNITUD 1 RELACIÓN MAGNITUD 2
Número de inasistencias al trabajo IP Remuneración Número de trabajadores IP Número de días para terminar un trabajo Velocidad de desplazamiento IP Tiempo de viaje Altura msnm IP Presión atmosférica EJEMPLOS:
- Indique, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales (DP) y los que son inversamente proporcionales (IP) MAGNITUD 1 RELACIÓN MAGNITUD 2 Número de obreros empleados. Trabajo realizado Los días de trabajo Horas diarias que se trabajan El espacio recorrido El tiempo utilizado en la velocidad. El número de cosas compradas. El monto a pagar. El peso de la mercancía. El precio a pagar de esa mercancía. El número de obreros empleados El tiempo necesario para hacer una obra. El tiempo utilizado en producir. Número de unidades producidas
- Carlos trabaja como vendedor en una tienda de electrodomésticos y recibe una comisión de S/ 150 por cada televisor vendido cuyo valor sea mayor a S/ 1000. Calcular cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000 tendrá que vender para recibir S/ 2400 de comisión al mes. Solución: Utilizamos las fases de solución del método de Polya:
REPARTO PROPORCIONAL
Consiste en repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números, llamados índices de reparto. Los elementos que siempre se encuentran presentes en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índice de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. Cuando escuchamos la palabra reparto imaginamos una división en partes iguales; sin embargo, no siempre es el caso, en muchas ocasiones se toman en cuenta números indicadores de la forma en que se va a realizar el reparto. REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE: Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos: A. Reparto Simple Directo: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices. En general repartir una cantidad N DP a los índices a 1 ,^ a 2 ,^ a 3 ,^ …,^ an Se cumple que las partes obtenidas: P 1 ,^ P 2 ,^ P 3 ,^ …^ ,^ Pn son DP a los índices. P 1 a 1
P 2
a 2
P 3
a 3 = k = Pn an = k Donde: B. Reparto Simple Inverso: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. En general repartir “N” IP a los índices a 1 ,^ a 2 ,^ a 3 ,^ …^ ,^ an Se cumple que las partes obtenidas: P 1 ,^ P 2 ,^ P 3 ,^ …^ ,^ Pn son IP a los índices. P 1_. a_ 1 = P 2 .a 2 = P 3 .a 3 = k = Pn. an = k
Además: REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO: Se determina así, al repartir una cantidad en partes que son directamente e inversamente proporcional a la vez. En general, si repartimos N en partes determinadas que son P 1 ; P 2 ; P 3 ; ……; Pn que son en forma DP a los índices a 1 , a 2 ; ……; an e IP a los índices b 1 ; b 2 ; ….. ; bn ; en donde se cumple que: Donde: Ejemplo 1: Alfredo Yatsety, Benancio Martínez y Cesar Altamirano, se asocian para realizar un negocio de venta de Autopartes tanto de Autos y como para motos lineales; para lo cual hacen sus aportaciones y así realizar la idea emprendedora. Alfredo Yatsety aporta S/ 3 000, Benancio Martínez aporta la cantidad de S/2 500 y Cesar Altamirano con S/ 1 500. Si se proyecta una utilidad de S/ 56 000. Calcular cuánto le correspondería a cada uno Solución : Utilizamos las fases de solución del método de Pólya: Identificamos los datos significativos Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia Alfredo Yatsety aportó S/. 3 000 soles Benancio Martínez aportó S/. 2 500 soles. Cesar Altamirano aportó S/. 1 500 soles Utilidad de S/. 56 000 soles. La utilidad es DP a sus aportes y se determina la constante de proporcionalidad: Se establece que, Reemplazamos K = 8 y obtenemos que: Alfredo Yatsety: A = 3000(8) = 24 000 soles. Benancio Martínez: B = 2500(8) = 20 000 soles. César Altamirano: C = 1500(8) = 12 000 soles. Interpretamos el resultado:
Identificamos los datos significativos Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia Reflexionamos sobre los resultados Como el reparto es IP obtenemos la constante K, que dividimos en cada infracción y obtenemos que el bono es mayor para el que tiene menos infracción; así Carlos recibe 3 600 soles por tener menos infracción, seguida por Leonardo recibe 2 160 soles y Javier 2 700 soles. Ejemplo 3 : Un gerente desea repartir una gratificación de S/ 42 000 entre sus 3 empleados en partes DP a sus sueldos (S/ 3 200, S/ 4 200 y S/ 5 400) e IP a sus faltas (4, 6 y 9 días, respectivamente). ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Solución: Utilizamos las fases de solución del método de Pólya:
CASOS DIDÁCTICOS Instrucciones : Resuelve las siguientes situaciones contextuales aplicando los conceptos de magnitudes proporcionales y reparto proporcional. Identificamos los datos significativos Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia 1(A) tiene un sueldo de 3 200 soles y 4 días de falta 2(B) tiene 4 200 soles de sueldo y 6 días de falta 3(c) tiene un sueldo de 5 400 soles y 9 días de falta Gratificación a repartir S/. 8 460 soles. La gratificación es DP a sus sueldos e IP a sus faltas, determinamos la constante de proporcionalidad compuesta: Se establece que, Reemplazamos K = 20 y obtenemos que: 1º trabajador: A = 800(20) = 16 000 soles 2º trabajador: B = 700(20) = 14 000 soles. 3º trabajador: C = 600(20) = 12 000 soles. Interpretamos el resultado: Cada trabajador recibe: 1º trabajador: A = 800(20) = 16 000 soles 2º trabajador: B = 700(20) = 14 000 soles. 3º trabajador: C = 600(20) = 12 000 soles. Reflexionamos sobre los resultados Como el reparto es una forma compuesta, hallamos la constante de proporcionalidad k=20 y la multiplicamos por la fracción formada por el índice inverso y el índice directo de cada trabajador y obtenemos que el 1º trabajador recibirá 16 000 soles, el 2º trabajador 14 000 soles y el 3º trabajador 12 000 soles.
para un paciente de 60 kg. ¿Qué cantidad de anestesia deberá usar para un paciente que pesa 75 kg? CASO DIDÁCTICO N° En un estudio sobre la relación entre la cantidad de medicamento administrado y la velocidad de recuperación de los pacientes en un hospital, se ha determinado que la dosis de cierto medicamento varía inversamente proporcional al peso del paciente. En este sentido, si un paciente que pesa 60 kg recibe una dosis de 100 mg de medicamento y muestra una mejora significativa en su condición, ¿cuál sería la dosis adecuada para un paciente que pesa 80 kg? CASO DIDÁCTICO N°05: Como parte de las investigaciones de áreas cerradas para evitar el Covid19, se ha determinado que la temperatura en el interior de un cuarto varía inversamente proporcional al área del mismo cuarto. En ese sentido la temperatura de una habitación es de 20°C donde el área es de 50 m^2. ¿Cuál será la temperatura de una habitación de 40m^2? CASO DIDÁCTICO N°06: Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados: Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados: Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados:
En un estudio sobre el efecto del número de sesiones de terapia en la mejoría de los síntomas de ansiedad, tres pacientes se someten a un tratamiento y se les otorga un incentivo financiero al finalizar, distribuido en proporción directa al número de sesiones de terapia que completaron. Si los pacientes completaron 8, 10 y 12 sesiones respectivamente, y el incentivo total es de 24 000 soles, ¿cuánto recibirá cada paciente? CASO DIDÁCTICO N°07: Distribución de Fondos para Equipos Nuevos: Una clínica ha decidido invertir $15,000 en la compra de nuevos equipos para tres consultorios con 2, 5 y 10 años de antigüedad, respectivamente. El objetivo es asignar el presupuesto inversamente proporcional a la antigüedad de los equipos. Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados: Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados:
SITUACIÓN CONTEXTUAL N°
En una clínica dental, tres odontólogos realizaron diferentes procedimientos durante una semana. Diego realizó 12 procedimientos, Elena 18 procedimientos y Fernando 24 procedimientos. La clínica recibió un pago total de 10800 soles por estos servicios, que se debe repartir proporcionalmente al número de procedimientos realizados por cada odontólogo. ¿Cuánto recibirá cada uno? SITUACIÓN CONTEXTUAL N°4: Mercedes cuenta en una entrevista que pertenece a una Asociación de mujeres tejedoras de paja toquilla “Virgen del Perpetuo Socorro”, del Pueblo de Narihuala de la región Piura. Indica que su asociación inició en 1997 con 18 mujeres, pero que cuando les empezó a llegar más trabajo, tuvieron que organizarse para cubrir los pedidos; y ahora son 55 mujeres. Muy emocionada explica que los productos que ofrecen se realizan mediante un tejido tradicional que se transmite de generación en generación. Y orgullosa comenta que su trabajo empodera a las mujeres de su asociación, porque elaboran sombreros de damas y caballeros, carteras, floreros, paneras, llaveros, lámparas, etc. Finalmente explica que el sombrero chalán que estaba elaborando es de una hebra determinada y demora en hacerlo 6 días. Hay otros sombreros que tardan 15 días, y los más finos los hacen en 25 días, pero son los más caros porque lleva más trabajo en hacerlos, pues una hebra la dividen en 2 o 3 para que tengan un acabado más refinado. Ahora, si a cada mujer de la asociación le encargaran elaborar 5 sombreros chalanes en 30 días. ¿Calcular cuántos sombreros elaboraría la quinta parte de las mujeres de la asociación para atender el pedido? Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados:
BIBLIOGRAFÍA
Código de biblioteca
LIBROS, REVISTAS, ARTÍCULOS, TESIS, PÁGINAS WEB.
Libro Digital Egoavil J. (2014). Fundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. https://www.digitaliapublishing.com/visor/ Libro Digital Marie Cosette Girón Suazo. (2015). Aplicaciones de matemática y cálculo a situaciones reales. Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. https://search.ebscohost.com/login.as? direct=trueamp;db=e000xwwamp;AN=1042744amp;lang=esamp;sit e=eho st-liveamp;ebv=EBamp;ppid=pp_ Identificamos datos significativos Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Interpreta sobre los resultados:
