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CAPÍTULO 5
Flujo de fluidos no
compresibles en tuberías
y canales de conducción
En los procesos industriales, los ingenieros químicos tratan de manera frecuente con el
flujo de fluidos a través de tuberías, tubos y canales de conducción con sección transversal no circular. Normalmente las tuberías se llenan con fluidos en movimiento, pero algunos problemas involucran el flujo en tuberías parcialmente llenas, en capas descendentes sobre superficies inclinadas o verticales, a través de lechos de sólidos o en tanques agitados. En este capítulo se estudia el flujo estacionario de fluidos no compresibles a través de tuberías cerradas y canales de conducción. En el capítulo 4 se trató el flujo en capas; en el capítulo 6 se cubrirá el flujo de fluidos compresibles; en el capítulo 7, el flujo a través de lechos de sólidos, y en el capítulo 9 el flujo en tanques agitados.
ESFUERZO CORTANTE (TENSIÓN DE CORTE)
Y FRICCIÓN DE SUPERFICIE EN TUBERÍAS
Distribución del esfuerzo cortante
Considere al flujo estacionario a través de un tubo horizontal de un fluido de densidad constante y flujo completamente desarrollado. Imagine un elemento de fluido en forma de disco concéntrico con el eje del tubo, de radio r y longitud dL , tal como se muestra en la figura 5.1. Suponga que el elemento está aislado como un cuerpo libre. Sean p y p + dp , respectivamente, las presiones sobre las caras anterior y posterior del disco. Puesto que el fluido posee viscosidad, existirá una fuerza de corte que se opone al flujo y que actúa sobre el borde del elemento. En este caso se aplica la ecuación del momento (4.52) entre las dos caras del disco. Como el flujo está completamente de- sarrollado, β b = β a , y V
b =^ V
a ,^ por lo tanto,^ ^ F^ = 0. Los términos que hay que sustituir en la ecuación (4.52) son
104 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
El esfuerzo cortante Fs que actúa sobre el borde del elemento es igual al producto de la tensión de corte por el área del cilindro, es decir (2π r dL )τ. [Fuerza FS igual – FW en la ecuación (4.52).] Puesto que el canal de conducción es horizontal, Fg es igual a cero. Al sustituir estos términos en la ecuación (4.52) se obtiene
Simplificando esta ecuación y dividiendo entre π r^2 dL se obtiene
(5.1)
En el flujo estacionario, ya sea laminar o turbulento, la presión es constante en una sección transversal cualquiera de un tubo con corriente, por lo tanto, dp / dL es independiente de r. La ecuación (5.1) puede escribirse para la sección transversal total del tubo considerando τ = τ w y r = rw , donde τ w es el esfuerzo cortante en la pared de la conducción y r (^) w el radio del tubo. La ecuación (5.1) se convierte en
(5.2)
Restando la ecuación (5.1) de la ecuación (5.2) se obtiene
(5.3)
Así, cuando r = 0, τ = 0. La simple relación lineal entre τ y r de la ecuación (5.3) se representa gráficamente en la figura 5.2. Observe que esta relación lineal se aplica tanto al flujo laminar como al turbulento, así como a fluidos newtonianos y no newtonianos.
Relación entre la fricción de superficie y esfuerzo cortante de pared La ecuación (4.71) es aplicable para una longitud definida L de toda la corriente. En el capítulo 4 se ha definido p como p (^) b – p (^) a , pero normalmente (aunque no siempre) p (^) a > pb y entonces pb – pa es generalmente negativo. El término p se utiliza comúnmente para representar la caída de presión, esto es, pa – pb , y esta terminología se utiliza en este capítulo y los subsecuentes. Aquí entonces, pb = pa – p , Z (^) b – Za = 0, y los dos términos
FIGURA 5. Elemento de fluido en el flujo estacionario a través de una tubería.
Flujo p r
−( p + dp )
dL
τ
y τ
rw
S (^) a � S (^) b � � r^2 p (^) a � p p Sa a � � r p^2 p Sb b � �� r^2 �� p � dp �
�^ F^ �^ � r p^2^ �^ � r^^2 �^ p^ � dp^ � � �^2 �^ r dL^ ��^ �^0
dp dL
r
dp dL r
w w
�
� (^) w � rw r
106 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
(5.7)
de la cual
(5.8)
(5.9)
La ecuación (5.9) es la ecuación que se emplea generalmente para calcular la pérdida de fricción superficial en la tubería recta. El subíndice s se utiliza en p (^) s y hfs para indicar el hecho de que en las ecuaciones (5.7) a (5.9), las magnitudes mencionadas están aso- ciadas con el factor de fricción de Fanning, y que corresponden solamente a la fricción sobre la superficie. Si están presentes otros términos en la ecuación de Bernoulli, o si existe fricción de forma, el valor de pa – pb difiere de p (^) s. Si ocurre la separación de capa límite, hf es mayor que hfs.
Flujo en canales no circulares
En la evaluación de la fricción sobre la superficie en canales de sección transversal no circular, el diámetro en el número de Reynolds y en la ecuación (5.8), la definición del factor de fricción se considera como un diámetro equivalente D eq , definido como 4 veces el radio hidráulico. Este radio se representa por r (^) H y se define como la relación entre área de la sección transversal del canal y su perímetro húmedo (en contacto con el fluido):
(5.10)
donde S = área de sección transversal del canal L (^) p = perímetro del canal en contacto con el fluido
Así, para el caso especial de un tubo circular, el radio hidráulico es
El diámetro equivalente es 4 rH , o simplemente D. Un caso especial importante es el espacio anular entre dos tuberías concéntricas. Aquí el radio hidráulico es
(5.11)
donde D (^) i y D (^) o son los diámetros de entrada y salida de los espacios anulares, respec- tivamente. El diámetro equivalente de un espacio anular es por lo tanto la diferencia
y
h r
L
p f
L
D
V
fs
w w
� 2 � s � 4 2
2
�
� �
f p D L V
� � s 2 �^2
� p L
f V D
s (^) � 2 �^2
r
S
H Lp
r (^) H �
� D^2 /
� D
D
r
D D
D D
D D
H
o i i o
� � o^ i �
� �
CAPÍTULO 5 Flujo de fluidos no compresibles en tuberías y canales de conducción 107
de los diámetros. Además el diámetro equivalente de un ducto cuadrado con un grosor del lado b es 4( b^2 /4 b ) = b. Para el flujo entre placas paralelas, cuando la distancia b entre ellas es mucho más pequeña que el grosor de las placas, el diámetro equivalente D eq = 2 b. Las ecuaciones que definen el factor de fricción [ecuación (5.7)] y el número de Reynolds [ecuación (3.10)] pueden generalizarse sustituyendo 2 r (^) H por r o D eq por D. El radio hidráulico es especialmente útil con flujo turbulento, y mucho menos útil con flujo laminar, pero en muchas situaciones de flujo laminar es posible calcular matemáticamente la relación de flujo de fluidos, como se muestra en la sección siguiente.
FLUJO LAMINAR EN TUBERÍAS
Y CANALES
Las ecuaciones (5.1) a (5.9) se aplican tanto al flujo laminar como turbulento, siempre que el fluido sea no compresible y el flujo estacionario y completamente desarrollado. Debido a la simplicidad de la relación del esfuerzo cortante-viscosidad para el flujo laminar, se pueden deducir fácilmente nuevas ecuaciones para este caso.
Flujo laminar de fluidos newtonianos
El tratamiento es especialmente sencillo para un fluido newtoniano, para el cual las cantidades tales como la distribución de velocidad, la velocidad media y factores de corrección de energía cinética y momento se calculan fácilmente.
Distribución de velocidad. La relación entre la velocidad local y su posición en la corriente se encuentra de la siguiente manera. En conducciones circulares, debido a la simetría con respecto al eje del tubo, la velocidad local u depende únicamente del radio r. Por otra parte, considere el elemento de área de sección transversal ds , como un anillo delgado de radio r y espesor dr. Entonces
(5.12)
La distribución de velocidad se determina usando la definición de viscosidad [ecua- ción (3.3)], escrita como
(5.13)
El signo negativo en la ecuación se debe a que en una tubería disminuye u al aumentar r. Eliminando τ de las ecuaciones (5.3) y (5.9) se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria que relaciona u y r
(5.14)
Integrando la ecuación (5.14) con las condiciones límite de que para u = 0, r = rw se obtiene
dS � 2 � r dr
du / dr
�
�
du dr
� w rw
r
CAPÍTULO 5 Flujo de fluidos no compresibles en tuberías y canales de conducción 109
Comparando las ecuaciones (5.16) y (5.18) resulta
(5.19)
La velocidad media es precisamente la mitad de la velocidad máxima.
Factor de corrección de la energía cinética. El factor de energía cinética α se calcula a partir de la ecuación (4.70), utilizando las ecuaciones (5.8) para dS , (5.15) para u y (5.18) para V
. El resultado final es α = 2.0. El término apropiado para la energía cinética en la ecuación de Bernoulli [ecuación (4.71) o (4.74)] para el flujo laminar en una tubería es por lo tanto V
Factor de corrección de momento****. Para obtener el valor de β para el flujo laminar, se emplea de nuevo la ecuación de definición (4.50). El resultado es β = –.^43
Ecuación de Hagen-Poiseuille
Para efectuar cálculos prácticos, la ecuación (5.18) se suele transformar eliminando τ w en función de p (^) s mediante la ecuación (5.7) y utilizando el diámetro de la tubería en lugar del radio de la misma. El resultado es el siguiente:
Despejando p (^) s se obtiene
(5.20)
y puesto que ps = 4 τ w /( DL ),
(5.21)
Sustituyendo de la ecuación (5.21) en la ecuación (5.6) se obtiene
(5.22)
La ecuación (5.20) es la ecuación de Hagen-Poiseuille. Uno de sus usos es en la determinación experimental de la viscosidad, midiendo la caída de presión y la velocidad volumétrica de flujo a través de un tubo de longitud y diámetro conocidos. A partir de la velocidad de flujo se calcula V
por medio de la ecuación (4.12) y μ con la ecuación (5.20). En la práctica es necesario hacer correcciones para tener en cuenta la energía cinética y los efectos de entrada.
Flujo laminar de líquidos no newtonianos
Como consecuencia de la diferencia en la relación entre el esfuerzo cortante y el gradiente de velocidad, la forma del perfil de velocidad de líquidos no newtonianos es diferente de
V
u máx
V
p L
r r p D L
� �^ s^ w^ w^ �� s 2 4 32
2
� �
� ps �
32 LV
D^2
�
� � w
V
D
f DV
� Re
110 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
la de un líquido newtoniano. En los casos más complicados de flujo no newtoniano, el perfil de velocidades se determina experimentalmente. Sin embargo, en casos más sen- cillos, como el modelo de la ley de potencia [ecuación (3.9)] o en el modelo de Bingham [ecuación (3.8)], los mismos métodos utilizados para determinar los parámetros de flujo de un fluido newtoniano, se emplea para fluidos no newtonianos. Para fluidos que siguen el modelo de la ley de potencia, la variación de velocidad con el radio está dada por la fórmula
(5.23)
En la figura 5.4 se representan los perfiles de velocidad definidos por la ecuación (5.23) cuando n = 0.5 (fluido seudoplástico) n = 1.0 (fluido newtoniano) y n = 2.0 (flui- do dilatante). Suponiendo que K es el mismo en todos los casos. La curva de un fluido dilatante es más estrecha y puntiaguda que una parábola; la de un fluido seudoplástico es más ancha y aplanada. La diferencia de la presión en el flujo de un fluido de la ley de potencia se encuentra por los métodos empleados en la deducción de la ecuación (5.20) para un fluido newto- niano. El resultado es el siguiente:
(5.24)
FIGURA 5. Perfiles de velocidad para flujo laminar de líquidos newto- nianos y no newtonianos.
Seudoplástico: n ´ = 0.
Newtoniano: n ´ = 1
Dilatante: n´ = 2
(^0) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1. r r (^) w
u V ¯
u r K
r r n
w w
n w
n n � �
� (^) � � � � �
(^1) 1 1 1 1
1 1
/ (^) / /
/
� p K n n
V
r s L
n (^) n
w
� � (^) n
� (^) � (^2) ��
1
112 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
corte límite τ 0. El diagrama del esfuerzo cortante se representa en la figura 5.5 b. Para la variación de la velocidad en el espacio anular comprendido entre la pared del tubo y el flujo pistón, se aplica la ecuación siguiente:
(5.25)
donde K es una constante. El límite entre el flujo pistón y el resto del fluido se obtiene diferenciando la ecuación (5.25) e igualando a cero el gradiente de velocidad o, más fácilmente, interpretando el valor en la figura 5.5 b. El resultado es
(5.26)
La velocidad en el núcleo central u (^) c , que es la velocidad de flujo pistón, se determina sustituyendo el valor de rc de la ecuación (5.26) en vez de r en la ecuación (5.25) y reordenando, se obtiene
(5.27)
Una observación interesante con algunas mezclas no newtonianas^8 es que a altas tensiones de corte no es válida la condición límite de velocidad cero a la pared. Para fluidos multifase tales como suspensiones y polímeros de fibras llenas, este efecto es considerado el resultado de una capa delgada cerca de la pared que está libre de partículas o fibras, y de esta manera tiene una viscosidad menor que la de la masa global del fluido. Esto da la apariencia de un deslizamiento en la pared. Las fórmulas empíricas se utilizan con frecuencia para explicar tales efectos en la pared.^13
Flujo laminar en un espacio anular La relación entre la velocidad local y la posición radial para el flujo laminar de un flui- do newtoniano a través de un espacio anular se encuentra por el mismo método que se utilizó para el flujo en una tubería. La ecuación resultante, deducida por Bird, Stewart y Lightfoot,^1 es
(5.28)
donde ro = radio de la pared exterior del espacio anular κ = relación r (^) i / ro r (^) i = radio de la pared interior del espacio anular
Para flujo anular el número de Reynolds es
(5.29)
u K
r r
r w (^) r w w
� �
rc �
� w
rw
u Kr c r^ r c
� � w � c �
� 0 2 2
u �
� ps r (^) 02 4 L
r r 0
2 �
ln 1/� ��
ln
r r 0
�
Re �
� D o �^ Di � V^ �
CAPÍTULO 5 Flujo de fluidos no compresibles en tuberías y canales de conducción 113
donde D (^) i y D (^) o son los diámetros interior y exterior del espacio anular, respectivamente. De la ecuación (5.28) se puede calcular el factor de fricción como se hizo la deducción de la ecuación (5.22). El flujo laminar en un espacio anular se relaciona con el número de Reynolds por la ecuación^5
(5.30)
donde φ a es la función de Di / DO mostrada en la figura 5.6. El valor de φ a es 1 para secciones transversales circulares y 1.5 para planos paralelos. Las ecuaciones para flujo laminar a través de otras secciones transversales se proporcionan en varios textos.^5 El flujo de líquidos viscosos no newtonianos a través de canales de forma compleja, como en las operaciones de inyección para moldeo inyección, se analiza por métodos de aproximación numérica empleando la ecuación (4.22).
FLUJO TURBULENTO EN TUBERÍAS Y CANALES
En el flujo turbulento de un fluido a través de un canal de conducción cerrado, la velocidad es cero en la interfase a causa de la adherencia del fluido a la pared del sólido, y aunque con frecuencia, no existen componentes normales de la velocidad a la pared. Dentro de un delgado volumen inmediatamente adyacente a la pared, el gradiente de velocidad es esencialmente constante y en su mayor parte el flujo es viscoso. Este volumen recibe el nombre de subcapa viscosa. En un principio se supuso que esta subcapa tenía un espesor definido y estaba siempre libre de remolinos, pero medidas experimentales han mostrado que existen fluctuaciones de velocidad en la subcapa causadas por remolinos ocasionales
FIGURA 5. Valor de φ a en la ecuación (5.30).
0.01 0.1 1.
Di / Do
φ a
f � (^) a
Re
�
CAPÍTULO 5 Flujo de fluidos no compresibles en tuberías y canales de conducción 115
(5.33)
donde u * = velocidad por fricción u +^ = cociente de velocidad, adimensional y +^ = distancia, adimensional y = distancia desde la pared del tubo
Observe que y +^ puede ser considerada como un número de Reynolds basado en la velocidad por fricción y en la distancia desde la pared. La relación entre y , r y r (^) w , el radio del tubo, es
(5.34)
Las ecuaciones que relacionan u +^ con y +^ se llaman leyes universales de distribución de velocidad.
Ecuaciones universales de distribución de velocidad
Puesto que la subcapa viscosa es muy delgada, r ≈ r (^) w , y sustituyendo – dy por dr , la ecuación (5.14) queda de esta forma
(5.35)
Sustituyendo los valores de u * de la ecuación (5.31), u +^ de la ecuación (5.32) y y +^ de la ecuación (5.33) en la ecuación (5.35) se obtiene
Integrando con los límites inferiores u +^ = y +^ = 0, se obtiene para la distribución de velo- cidad en la subcapa laminar,
(5.36)
Una ecuación empírica para la llamada capa amortiguadora, es la siguiente:
(5.37)
Se han propuesto numerosas correlaciones para el núcleo turbulento. Una ecuación propuesta por Prandtl,^10 con constantes empíricas, es
(5.38)
La figura 5.7 muestra una gráfica semilogarítmica de las ecuaciones (5.36), (5.37) y (5.38). De acuerdo con las dos intersecciones de las tres líneas que representan las ecuaciones, los intervalos que comprenden las ecuaciones son los siguientes:
u V f
u u u
y yu y
w
w
�
� �
� �
� �
� � �
� �
rw � r � y
du dy
�� w �
du dy
� � �^1
u �^ � y �
u �^ � 5 00. ln y ��3 05.
u �^ � 2 5. ln y ��5 5.
116 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
Ecuación (5.36), para la subcapa viscosa: y +^ < 5 Ecuación (5.37), para la zona amortiguadora: 5 < y +^ < 30 Ecuación (5.38), para el núcleo turbulento: 30 < y +
Limitaciones de las leyes universales de distribución de velocidad Las ecuaciones universales de velocidad tienen numerosas limitaciones. Es cierto que la zona amortiguadora (o de transición) es dependiente y que no hay discontinuidad entre la zona amortiguadora y el núcleo turbulento. Por otra parte, también hay duda sobre la existencia real de la subcapa viscosa. Las ecuaciones no se cumplen demasiado bien para los números de Reynolds desde el crítico hasta 10 000 aproximadamente, y se sabe que la relación sencilla entre y +^ y u +^ , no es adecuada para la zona amortiguado- ra, ni para el núcleo turbulento próximo a ella. Finalmente, la ecuación (5.38) predice un gradiente finito de velocidad en eje de la tubería, aunque se sabe que en dicho punto el gradiente debe ser cero. Se ha realizado una gran investigación para mejorar las ecuaciones de distribución de velocidad y eliminar o reducir algunas de sus deficiencias. El trabajo realizado se encuentra en textos más avanzados,3, 5, 12^ pero está más allá de los objetivos de este libro.
Magnitudes de flujo para el flujo turbulento en tuberías circulares lisas Si se dispone de una relación para la distribución de velocidad, las magnitudes importantes de flujo se calculan por los métodos comunes. Las magnitudes de interés son la velocidad media en función de la velocidad máxima en el centro de la tubería; las relaciones que
FIGURA 5. Distribución universal de velocidad; flujo turbulento de un fluido newtoniano en un tubo liso.
1
u +^ = y +
0 3 5 10 30 y +
u +
50 100 300 500 1 000
5
10
15
20
25
u + =^ 5 In
y
+^ −^ 3.
u + (^) = 2.5 In
y +^ +^ 5.
Subcapa viscosa
Capa amortiguadora Núcleo turbulento
118 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
(5.45)
La integración formal de la ecuación (5.45)†^ proporciona
(5.46)
Sustituyendo u + c de la ecuación (5.40) y u *^ de la ecuación (5.31) en la ecuación (5.46) se obtiene
(5.47)
La ecuación (5.47) proporciona valores que son demasiado altos en relación a las bajas velocidades del fluido en las capas próximas a la pared, de tal forma que 2% del flujo volumétrico total, no es tomado en cuenta adecuadamente.
Ley de factor de fricción-número de Reynolds para tubos lisos. Es posible utilizar las ecuaciones disponibles con el fin de obtener una importante relación entre Re y f para el flujo turbulento en tubos circulares lisos. Esta ecuación se deduce efectuando las sustituciones adecuadas en la ecuación (5.39). A partir de las ecuaciones de definición de y + c [ecuación (5.41)] y de u *^ [ecuación (5.31)]
(5.48)
A partir de la ecuación (5.46)
(5.49)
Sustituyendo u + c de la ecuación (5.49) y y + c de la ecuación (5.48) en la ecuación (5.39) queda, después de rearreglarla, la ecuación de Kármán
(5.50)
La ecuación (5.50) concuerda bien con el experimento. En el intervalo de los nú- meros de Reynolds 10 4 < Re < 10 6 que predicen los factores de fricción dentro de 2% de aquellos indicados en la figura 5.10.
Factores de corrección de la energía cinética y del momento. Los valores de α y β son más próximos a la unidad para flujo turbulento que para flujo laminar. Sin embargo,
† (^) La sustitución de x = y +/ y + c y el uso de las tablas estándar de integrales son suficientes para efectuar esta integración. Además, para el límite inferior, x ln x = 0, y x^2 ln x = 0 cuando x = 0. De la ecuación (5.31), V^ – / u * = 1/ f /2.
V
v r u
u
y y
y y dy w
c c
y c
c � �
� �^ � �
� � �
� � �
� �
2 (^2) * 0.^ ln
V
u f
uc
V
u (^) máx f
y r V v
f DV^ f v
f f c
� (^) � w � � � 2
/ (^) Re Re
u c f
f
f /
�. ln Re.
CAPÍTULO 5 Flujo de fluidos no compresibles en tuberías y canales de conducción 119
las ecuaciones para estos factores de corrección se obtiene fácilmente integrando las ecuaciones (4.50) y (4.70) y utilizando la ley logarítmica de velocidad. Las ecuaciones que así se obtienen son
(5.51)
(5.52)
Para el flujo turbulento el error es generalmente muy pequeño si α y β son tomadas como la unidad. Por ejemplo, para un número de Reynolds de 10^4 , el factor de fricción para un tubo liso es de 0.0079, α es 1.084, y β es 1.031. Para Re = 10 6 los valores son f = 0.0029, α = 1.032 y β = 1.011. El factor de corrección de la energía cinética puede ser importante al aplicar el teorema de Bernoulli entre dos puntos en los que en uno el flujo es laminar mientras que en el otro es turbulento. Por otra parte, los factores α y β son de igual importancia en algunos tipos de intercambiadores de calor compactos, donde existen muchos cambios de tamaño en el canal del fluido y los tubos o superficies de transferencia de calor son cortos. 4 En la mayoría de los casos prácticos, ambos factores se toman como unidad para el flujo turbulento.
Relaciones entre la velocidad máxima y la velocidad media
Los términos Re y V
/ u máx resultan útiles para relacionar la velocidad media y la velocidad máxima en el centro del tubo como una función de las condiciones de flujo; por ejemplo, un importante método de medida del flujo de un fluido es el tubo de pitot (página 252) que se utiliza para medir la u máx y usar después esta relación para determinar la velocidad media a partir de una sola medida. En la figura 5.8 se muestran valores experimentales de V
/ u máx en función del número de Reynolds, para el intervalo desde el flujo laminar hasta el turbulento. Para el flujo laminar, la relación es exactamente 0.5, de acuerdo con la ecuación (5.19). La relación varía rápidamente desde 0.5 hasta cerca de 0.7, cuando el flujo pasa de laminar a turbu- lento, y después aumenta en forma gradual a 0.87 cuando el Re = 10^6.
Efecto de la rugosidad
Hasta ahora el tratamiento se ha restringido al caso de los tubos lisos. Se sabe desde hace mucho tiempo que para un flujo turbulento, una tubería rugosa conduce a un factor de fricción mayor que una tubería lisa para un determinado número de Reynolds. Si se pule una tubería rugosa, se reduce el factor de fricción. Cuando un mayor pulido no da lugar a una reducción adicional del factor de fricción para un número de Reynolds dado, se dice que el tubo es hidrodinámicamente liso. La ecuación (5.50) se refiere a este tipo de tubos. La figura 5.9 muestra varios tipos idealizados de rugosidad. La altura de una unidad simple de rugosidad se indica por medio de k y se denomina parámetro de rugosidad. Con base en el análisis dimensional, f es tanto función de Re como de la rugosidad rela- tiva k / D , donde D es el diámetro de la tubería. Para un tipo dado de rugosidad, tal como el que se muestra en la figura 5.9 a y b, es de esperar que se halle una curva distinta de f versus Re para cada magnitud de la rugosidad relativa, al igual que para otros tipos, como
�
�
� � (^) � � �
� �
f f
f
CAPÍTULO 5 Flujo de fluidos no compresibles en tuberías y canales de conducción 121
Las tuberías usadas, sucias y corroídas suelen ser muy rugosas, y es muy probable que el carácter de la rugosidad sea diferente del de una tubería limpia. La rugosidad no ejerce un efecto apreciable sobre el factor de fricción para el flujo laminar a menos que k sea tan grande que la medida del diámetro sea incierta.
Carta gráfica del factor de fricción
Para fines de diseño, las características de fricción en tuberías circulares, tanto lisas como rugosas, se resumen en la carta gráfica del factor de fricción (véase figura 5.10), que es una representación del log f contra el log Re. Para el flujo laminar, la ecuación (5.22) relaciona el factor de fricción con el número de Reynolds. Una gráfica doble logarítmica de la ecuación (5.22) es una línea recta de pendiente –1. Esta línea se muestra en la figura 5.10 para números de Reynolds menores de 2 100. Para el flujo turbulento, la línea inferior representa el factor de fricción para tubos lisos y es consistente con la ecuación (5.50). Una ecuación empírica mucho más conve- niente para esta línea es la relación
(5.53)
Ésta es aplicable dentro de un intervalo de números de Reynolds desde aproximadamente 50 000 hasta 1 10 6. Otra ecuación, que se aplica sobre un intervalo de números de Reynolds desde 3 000 hasta 3 106 , es
(5.54)
Las demás líneas curvas en el intervalo de flujo turbulento representan los factores de fricción para varios tipos de tuberías comerciales, cada uno de los cuales se caracteriza por tener un valor diferente de k. En la figura se dan los parámetros para algunos metales comunes. Por ejemplo, una tubería limpia de hierro o acero forjado tiene un valor de k de 1.5 10 –4^ ft, sin importar el diámetro de la tubería. Las tuberías estiradas de cobre y latón se consideran hidráulicamente lisas. Para tuberías de acero y otro tipo de tuberías rugosas, el factor de fricción se vuelve independiente del número de Reynolds para números de Reynolds mayores que 10 6. Una ecuación empírica para esta región es
(5.55)
Para diferentes regímenes de flujo en un sistema determinado, la variación de la caída de presión con la velocidad de flujo se puede obtener a partir de las ecuaciones (5.9), (5.22), (5.53) y (5.55), para dar:
Para flujo laminar (Re < 2 100) Para flujo turbulento (2 500 < Re < 10^6 ) Para flujo muy turbulento (Re > 10^6 )
La figura 5.10 es útil para calcular hfs cuando se conoce el tamaño de la tubería y la velocidad de flujo, pero no puede utilizarse directamente para determinar la velocidad
f � 0 046. Re �0 2.
f � 0 0014 �
Re.
122 SECCIÓN II^ Mecánica de fluidos
FIGURA 5.10 Gráfica
del factor de fricción para tuberías circulares (
Adaptado de L. W. Moody, “Friction Factors for Pipe Flow”, Trans. ASME
^66
: 672 [1944])
.
0.0250.020 0.0150.01250.01000.00800.00700.00600.00500.00400.00300.00250. f Factor de fricción de Fanning,
0.050.040.030.020.0150.010.0080.0060.0040.0020.0010.00080.00060.00040.00020.00010.000,050.000,
k/D Rugosidad relativa,
Flujo turbulento
1
2
3
4 5 6
8 1
2
3
4 5 6
8 1
�
10
3
�
10
4
� 10
5
�
10
6
�
10
7
Número de Reynolds, Re
Material
k , ft
Tubo roladoHierro forjado, aceroHierro galvanizadoHierro fundidoConcreto
Lisa0.000150.00050.000850.01–0.
2
3
4 5 6
8 1
2
3
4 5 6
8 1
2
3
4 5 6
8 1
k /
D �
Re
cr Flujo laminar, 16/Re^ �^ f
Región detransición
Re
Tuberías lisas
k /
D �
