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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación superior Instituto universitario de tecnología industrial “Rodolfo Loero Arismendi” Carrera: Informática
Álgebra Booleana
Docente: Realizado por: Abrahan Tatá. Frankluis Pulgar Mayz C.I:30.687. Sección: I1DI
Introducción
Las reglas de la lógica fueron enunciadas por George Boole en el siglo XIX. El álgebra de Boole se llama así en su honor y en principio fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proporcional. Si ya se sabe Lógica, el Álgebra de Boole no es más que otra reformulación usando simbología distinta. Además, una formulación en teoría de conjuntos ayuda a comprender la materia. En 1938 Claude Shannon demostró que se podía emplear estas reglas de la lógica para diseñar circuitos de conmutación eléctricas biestables. Básicamente, el primer paso a la hora de construir un circuito consiste en representar su función booleana asociada. Esto se hace gracias a una expresión montada a partir de operaciones básicas de Álgebra de Boole.
En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B , le asigna un b de B. Para todo elemento a en B , se cumple que existe un único b en B , tal que b es el complemento de a. La operación binaria interna, que llamaremos suma : por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado ( a , b ) de B por B , le asigna un c de B. Para todo par ordenado ( a , b ) en B por B , se cumple que existe un único c en B , tal que c es el resultado de sumar a con b. La operación binaria interna, que llamaremos producto : Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado ( a , b ) de B por B , le asigna un c de B. Para todo par ordenado ( a , b ) en B por B , se cumple que existe un único c en B , tal que c es el resultado del producto a y b. Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar. Tabla de la verdad:
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdades, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su Tractatus logico- philosophicus , publicado en 1921. Axiomas necesarios: Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: (B, ∼, ⊕, ⊙) son un álgebra de Boole , si cumple los siguientes axiomas: 1a: La ley asociativa de la suma: 1b: La ley asociativa del producto: 2a: Existencia del elemento neutro para la suma: 2b: Existencia del elemento neutro para el producto: 3a: La ley conmutativa de la suma: 3b: La ley conmutativa del producto: 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto: 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:
Orden en el álgebra de Boole Sea: (B, ∼, ⊕, ⊙) un álgebra de Boole, sean a , b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos: si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado. Si se cumple que:
Para los valores a , b de B que cumplen que a no antecede a b , y que b no
antecede a “ a” , se dice que a y b son no comparables. Principios de dualidad El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los
operadores suma con los de producto , y de los U con los ø.
Otras formas de notación del álgebra de Boole En Lógica binaria se suele emplear la notación , común en la tecnología digital, siendo la forma más usual y la más cómoda de representar. Por ejemplo, las leyes de De Morgan se representan así: Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puertas lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}. Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan: En su aplicación a la lógica se emplea la notación y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}. Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así: En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: En esta notación las leyes de De Morgan serían así: Otra forma en el álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían así: Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente
1b: La ley asociativa del producto: 2a: Existencia del elemento neutro para la suma: 2b: Existencia del elemento neutro para el producto: 3a: La ley conmutativa de la suma: 3b: La ley conmutativa del producto: 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto: 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma: 5a: Existe elemento complementario para la suma: 5b: Existe elemento complementario para el producto:
Conclusión
En resumen, en este trabajo se quiso plasmar conocimientos sobe el
álgebra de Boole para que de una manera u otra el lector pueda adquirir
conocimientos sobre este tema, y darnos cuenta que la algebra Booleana es
un tema que podemos aplicar en áreas más complejas como lo puede ser la
programación. Y que gracias a esta hoy en día tenemos muchos artefactos
tecnológicos que nos ha ayudado en distintos ámbitos. Pues esta es la base
de toda la electrónica digital. Hoy en día significa que, desde tu reloj, hasta
el internet, no funcionarían sin este ingenio matemático. Es justo decir que,
sin ella, no existiría el mundo actual tal y como lo conocemos.
