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• Cálculo de la solución óptima de un problema de transporte. Método de la esquina N.O.
• Problema de asignación. Solución óptima con el método húngaro.

Función objetivo:

m n mín ij ij i 1 j 1

z c x = =

Sujeto a:

n ij i j 1

x a

∑ = restricción^ de^ la^ oferta^ (a)

de cada orígen.

m ij j i 1

x d

∑ = restricción^ de^ la^ demanda

(d) de cada destino.

Para este modelo se supone que existe el equilibrio entre la oferta y la demanda, es

decir, que se cumple la igualdad:

m n i j i 1 j 1

a d = =

Si no se cumple esta igualdad, se añade un origen o destino artificial, según sea el caso, donde se producirá o recibirá, según corresponda el exceso de productos, ya sea para la oferta o para la demanda.

También está presente en el modelo la consición de no negatividad, es decir, xij ≥ 0

♦ MÉTODO DE LA ESQUINA NOROESTE

El método parte en forma matricial, es decir, filas que representan orígenes y columnas que representan destinos. El algoritmo se inicia en la celda, ruta o esauina Noroeste de la tabla (esquina superior izquierda).

Una vez obtenida la tabla inicial del problema del transporte, el algoritmo de manera resumida consta de los siguientes pasos:

PASO 1: En la celda seleccionada como esquina noroeste se asigna la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se encuentra restringida bien por las restricciones de oferta o bien de demanda. En este paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

PASO 2: Se procede a eliminar la fila o columna cuya oferta o demanda sea 0 después del Paso 1. Si ambas son 0 arbitrariamente se elige cual eliminar y la otra se deja con oferta o demanda 0, según sea el caso.

PASO 3: Pueden ocurrir dos posibilidades:

a) Que quede una sola fila o columna, en este caso ha finalizado el algoritmo.

b) Que quede más de una fila o columna, entonces se reinicia el Paso 1.

Molino 1 2 3 4 Oferta

Silo 1 5 10 10 2 20 11 10 − 10 = 0 Silo 2 12 7 9 20 25

Silo 3 4 14 16 18 10

Demanda 0 15 − 10 = 5 15 15

Se elimina la primera fila, el Silo 1 ya no presenta oferta.

Molino 1 2 3 4 Oferta

Silo 1 5 10 10 2 20 11 0 Silo 2 12 7 9 20 25

Silo 3 4 14 16 18 10 Demanda 0 5 15 15

La demanda del Molino 2 es ahora de 5 unidades, quedando la oferta del Silo 2 en 25 unidades. Se suben 5 unidades a la nueva esquina noroeste, quedando la demanda del Molino 2 en 0 unidades.

Molino 1 2 3 4 Oferta

Silo 1 5 10 10 2 20 11 0

Silo 2 12 5 7 9 20 25 − 5 = 20

Silo 3 4 14 16 18 10

Demanda 0 5 − 5 = 0 15 15

Se elimina la columna del Molino 2, ya no presenta demanda.

Molino 1 2 3 4 Oferta Silo 1 5 10 10 2 20 11 0

Silo 2 12 5 7 9 20 20

Silo 3 4 14 16 18 10 Demanda 0 0 15 15

En la nueva esquina noroeste (Molino 3) se asigna 15 unidades, quedando la demanda del Molino 3 con 0 unidades, mientras que la oferta del Silo 2 es de 5 unidades.

Molino 1 2 3 4 Oferta Silo 1 5 10 10 2 20 11 0

Silo 2 12 5 7 15 9 20 20 − 15 = 5

Silo 3 4 14 16 18 10

Demanda 0 0 15 − 15 = 0 15

El Molino 3 ya no tiene demanda, anulando la columna.

Molino 1 2 3 4 Oferta

Silo 1 5 10 10 2 20 11 0 Silo 2 12 5 7 15 9 20 5

Silo 3 4 14 16 18 10 Demanda 0 0 0 15

Se asignan 5 unidades a la esquina noroeste (Molino 4)

Molino 1 2 3 4 Oferta

Silo 1 5 10 10 2 20 11 0

Silo 2 12 5 7 15 9 5 20 5 − 5 = 0

Silo 3 4 14 16 18 10

Demanda 0 0 0 15 − 5 = 10

Se anula la fila del Silo 3 por no tener unidades que ofertar.

Molino 1 2 3 4 Oferta Silo 1 5 10 10 2 20 11 0

Silo 2 12 5 7 15 9 5 20 0 Silo 3 4 14 16 18 10

Demanda 0 0 0 10

Finalmente, se asignan 10 unidades a la esquina restante.

Molino 1 2 3 4 Oferta Silo 1 5 10 10 2 20 11 0

Silo 2 12 5 7 15 9 5 20 0 Silo (^3 4 14 16 10 18 10) − 10 = 0

Demanda (^0 0 0 10) − 10 = 0

 ESQUINA NOROESTE: Una empresa tiene cuatro depósitos de azufre que suministra a cuatro fábricas de productos químicos. Las capacidades de los depósitos son de 100, 120, 80 y 95 litros, respectivamente. Las fábricas solicitan a los depósitos, respectivamente, las cantidades de 125, 50, 130 y 90 litros. El coste que relaciona el transporte del litro de azufre entre depósitos y fábricas se establece en la tabla:

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Depósito 1 2 3 4 6 Depósito 2 1 5 8 3 Depósito 3 8 5 1 4 Depósito 4 4 5 6 3

Obtener un modelo de programación que permita satisfacer las necesidades de las fábricas y minimizar los costos asociados.

Solución:

Para el modelo se supone que existe el equilibrio entre la oferta y la demanda. Los datos del problema se trasladan a la siguiente tabla:

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 2 3 4 6 100 Depósito 2 1 5 8 3 120 Depósito 3 8 5 1 4 80 Depósito 4 4 5 6 3 95 Demanda 125 50 130 90

El siguiente paso es seleccionar la demanda a la esquina más al noroeste, de manera que no sobrepase la oferta, en caso contrario se asigna la mayor cantidad. En este caso se asignan 100 litros a la Fábrica 1.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito (^1 100 2 3 4 6 100) − 100 = 0 Depósito 2 1 5 8 3 120 Depósito 3 8 5 1 4 80 Depósito 4 4 5 6 3 95 Demanda (^125) − 100 = 25 50 130 90

El depósito 1 ha quedado a 0, se procede a eliminar la fila, continuando con el proceso de asignación.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 100 2 3 4 6 0 Depósito 2 1 5 8 3 120 Depósito 3 8 5 1 4 80 Depósito 4 4 5 6 3 95 Demanda 25 50 130 90

La nueva esquina al noroeste es 1, contando con 25 litros requeridos por la Fábrica 1, que suben a la nueva esquina.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 100 2 3 4 6 0 Depósito (^2 25 1 5 8 3 120) − 25 = 95 Depósito 3 8 5 1 4 80 Depósito 4 4 5 6 3 95 Demanda (^25) − 25 = 0 50 130 90

La Fábrica 1 ya ha cubierto su demanda, la cantidad demandada es 0, se procede a eliminar la columna. El proceso de asignación se repite de nuevo.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 100 2 3 4 6 0 Depósito 2 25 1 5 8 3 95 Depósito 3 8 5 1 4 80 Depósito 4 4 5 6 3 95 Demanda 0 50 130 90

La nueva esquina al noroeste es 5, se suben los 50 litros requeridos por la Fábrica 2.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 100 2 3 4 6 0 Depósito (^2 25 1 50 5 8 3 95) − 50 = 45 Depósito 3 8 5 1 4 80 Depósito 4 4 5 6 3 95 Demanda 0 50 − 50 = 0 130 90

La Fábrica 2 ha cubierto su demanda, la cantidad demandada es 0, con lo que se procede a eliminar la columna.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 100 2 3 4 6 0 Depósito 2 25 1 50 5 45 8 3 0 Depósito 3 8 5 80 1 4 0 Depósito 4 4 5 6 3 95 Demanda 0 0 5 90

La nueva asignación a la nueva esquina al noroeste es 5, cantidad que queda en el Depósito 4.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 100 2 3 4 6 0 Depósito 2 25 1 50 5 45 8 3 0 Depósito 3 8 5 80 1 4 0 Depósito (^4 4 5 5 6 3 95) − 5 = 90 Demanda (^0 0 5) − 5 = 0 90

La Fábrica 3 ha cubierto su demanda, la cantidad demandada es 0, con lo que se procede a eliminar la columna.

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Oferta Depósito 1 100 2 3 4 6 0 Depósito 2 25 1 50 5 45 8 3 0 Depósito 3 8 5 80 1 4 0 Depósito 4 4 5 5 6 90 3 90 − 90 = 0 Demanda 0 0 0 0

El cuadro de asignaciones y de costo se refleja en la tabla:

Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 100 2 7 Depósito 1 200 25 1 50 5 45 8 Depósito 2 25 250 360 80 1 Depósito 3 80 5 6 90 3 Depósito 4 30 270 Costo 225 250 470 270

La solución básica factible inicial reporta un costo mínimo (valor de la función objetivo) de: Z = 225 + 250 + 470 + 270 = 1.215euros

 ESQUINA NOROESTE: Una empresa enérgetica dispone de cuatro centrales para satisfacer la demanda diaria de energía eléctrica en cuatro provincias de Castilla y León. Las centrales eléctricas pueden satisfacer, respectivamente, 80, 30, 60 y 45 millones de Kw diarios. Las necesidades de las provincias (A, B, C, D) , respectivamente, son de 70, 40, 70 y 35 millones de kw al día. La tabla adjunta refleja el costo asociado al envío de suministro eléctrico por cada millón de kw entre cada central y cada ciudad.

A B C D Central 1 5 2 7 3 Central 2 3 6 6 1 Central 3 6 1 2 4 Central 4 4 3 6 6

Obtener un modelo de programación que permita satisfacer las necesidades de las cuatro provincias y minimizar los costos asociados al transporte de energía.

Solución:

Para el modelo se supone que existe el equilibrio entre la oferta y la demanda.

Las especificaciones del problema se completan en la siguiente tabla:

A B C D Oferta Central 1 5 2 7 3 80

Central 2 3 6 6 1 30

Central 3 6 1 2 4 60 Central 4 4 3 6 6 45

Demanda 70 40 70 35

El siguiente paso es seleccionar la demanda a la esquina más al noroeste, de manera que no sobrepase la oferta, en caso contrario se asigna la mayor cantidad. En este caso se asignan 70 millones de kw a la provincia A.

A B C D Oferta

Central 1 70 5 2 7 3 80 − 70 = 10

Central 2 3 6 6 1 30 Central 3 6 1 2 4 60

Central 4 4 3 6 6 45 Demanda (^70) − 70 = 0 40 70 35

La demanda de la provincia A es cero, una vez restada la cantidad asignada. Se procede a eliminar la columna, continuando el proceso de asignación.

A B C D Oferta

Central 1 70 5 10 2 7 3 0

Central 2 3 30 6 6 1 0 Central (^3 6 1) ⎯^60 ⎯→ 2 4 60

Central 4 4 3 6 6 45 Demanda 0 0 70 35

A B C D Oferta Central 1 70 5 10 2 7 3 0

Central 2 3 30 6 6 1 0 Central (^3 6 1 60 2 4 60) − 60 = 0

Central 4 4 3 6 6 45 Demanda (^0 0 70) − 60 = 10 35

Se elimina la Central 3 que oferta 0 millones de kw.

A B C D Oferta Central 1 70 5 10 2 7 3 0

Central 2 3 30 6 6 1 0

Central 3 6 1 60 2 4 0 Central 4 4 3 6 6 35

Demanda 0 0 10 35

Queda solamente la Central 4 para ofertar, asignando a las provincias C y D las cantidades requeridas.

A B C D Oferta

Central 1 70 5 10 2 7 3 0

Central 2 3 30 6 6 1 0 Central 3 6 1 60 2 4 0

Central (^4 4 3 10 6 35 6 35) − 35 = 0

Demanda 0 0 0 0

El cuadro de asignaciones y de costo se refleja en la tabla:

A B C D

Central 1 350 20 30 6 Central 2 180 60 2 Central 3 120 10 6 35 6 Central 4 60 210

Costo 350 200 180 210

Adviértase que método de la Esquina Noroeste tiene un mínimo de cálculos, ignorando los costos, considera todas las restricciones para su elaboración.

Es útil en problemas con innumerables origenes y destinos en los que importe satisfacer las restricciones. Es el algoritmo de transporte menos probable para ofrecer una buena solución de bajo costo.

• MÉTODO HÚNGARO

Es un método de optimización de problemas de asignación, recibe el nombre porque los primeros aportes al métoco clásico fueron de dos matemáticos húngaros: Dénes K ő nig y Jen ő Egerváry.

El método húngaro requiere el número de filas y columnas, está diseñado para la resolución de problemas de minimización.

CONTEXTUALIZACIÓN DEL MÉTODO HÚNGARO:

PASO 1: El método construye una Matriz de Coste (n xm) , conocida como matriz

(m xm) dado que el número de filas es igual al número de columnas, donde se debe

encontrar el elemento más pequeño en cada fila.

PASO 2: Se construye una nueva matriz (n xm) , donde se consignan los valores

resultantes de la diferencia entre cada coste (columna de la matriz original) y el valor mínimo de la fila a la que corresponde cada coste (valor mínimo encontrado en el Paso 1). Así se garantiza la obtención de por lo menos un 0 en cada fila y columna.

PASO 3: Con la matriz resultante en el Paso 2, se repiten los dos pasos anteriores ahora con las columnas, es decir, se obtiene el valor mínimo de cada columna, y se calcula la diferencia entre cada elemento de la columna con el correspondiente valor mínimo encontrado. Obteniendo la Matriz de Coste Reducido.

PASO 4: Se trazan líneas horizontales o verticales o ambas con el objetivo de cubrir todos los ceros de la Matriz de Coste Reducido con el menor número de líneas posibles. Si el número de líneas es gual al número de filas o columnas se ha obrtenido la solución óptima (mejor asignación en el contexto de optimización). Sí el número de líneas es inferior al número de filas o columnas hay que continuar con el Paso 5.

PASO 5: Tomar el menor elemento no cubierto (atravesado) por una línea. (a) Restar este valor a todos los elementos de las filas no cubiertas (no cruzadas) (b) Sumar este valor a todos los elementos de las columnas cubiertas (cruzadas) Finalizado el proceso se vuelve al Paso 4.

ASIGNACIONES: Se inician por la fila que tenga menos ceros y tachando los ceros de la fila y columna donde se realizó la asignación.

MAXIMIZAR POR EL MÉTODO HÚNGARO: Para abordar problemas de maximización es necesario añadir variables de holgura o ficticias hasta obtener el mismo número de filas y columnas, equivalentes a 0 en todas sus componentes. Si el problema lo permite, pueden crearse variables ficticias duplicadas de una existente. Como operación adicional se busca el mayor valor tabulado y se resta éste valor a cada una de las celdas. A partir de la nueva matriz obtenida se aplica el método húngaro como se haría en el caso normal de minimización.

 MÉTODO HÚNGARO: Una empresa compra tres impresoras, una de inyección de tinta, una de punto matriz y una láser. Las impresoras se deben asignar a los departamentos de recursos humanos, facturación y dirección. Debido a lafrecuencia de uso en cada departamento y al tipo de impresora hay un costo en euros de asignación que se adjunta en la tabla. Se desea saber el costo total mínimo de asignación.

R. Humanos Facturación Dirección Inyección 5 8 9 P. matriz 10 4 7 Láser 4 10 6

Solución:

Para aplicar el método húngaro el modelo tiene que ser balanceado, es decir, el número de filas y el de columnas debe de ser igual.

PASO 1: Se encuentra el menor elemento de cada fila:

R. Humanos Facturación Dirección Inyección 5 8 9 P. matriz 10 4 7 Láser 4 10 6

PASO 2: Se resta en cada fila de la matriz original el menor elemento encontrado de cada fila:

R. Humanos Facturación Dirección Inyección 5 − 5 = 0 8 − 5 = 3 9 − 5 = 4 P. matriz (^10) − 4 = 6 4 − 4 = 0 7 − 4 = 3 Láser (^4) − 4 = 0 10 − 4 = 6 6 − 4 = 2