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PROBLEMA Nº 1:
Calcular el factor de distribución de una máquina trifásica que tiene doce ranuras por polo.
SOLUCIÓN:
K
d
qp
q p
sen
sen
γ
γ
El número de ranuras por polo y fase, así como el ángulo entre dos ranuras consecutivas valen:
q K p m
p K
γ = ⋅ p = e
Consecuentemente:
Kd =
^
^
sen
sen º
PROBLEMA Nº 2:
El inducido de una máquina bipolar está completamente bobinado con un devanado formado por N espiras uniforme y regularmente repartidas con un paso diametral. La f.e.m. inducida en cada espira tiene un valor eficaz de 10 V, ¿cuál será la f.e.m. inducida puestas todas las espiras en serie?.
SOLUCIÓN:
Kd
t
t
sen sen ,
γ
γ
π
π
Al ser un devanado monofásico γ (^) t = 2 π 3
. Como consecuencia, la f.e.m. vale:
E N
E N
e
e
π
π
PROBLEMA Nº 3:
Calcular el factor de distribución en una máquina con nueve ranuras por polo para cada uno de los siguientes casos:
a) arrollamiento ocupando todas las ranuras.
b) arrollamiento ocupando solamente los dos primeros tercios de las ranuras por polo, esto es, formando grupos de 120º.
c) tres arrollamientos iguales colocados secuencialmente en grupos de 60º.
SOLUCIÓN:
En todos los casos descritos en el enunciado, el ángulo entre dos ranuras consecutivas vale:
γ = =
El número de ranuras por grupo para cada apartado, es de:
Apartado (a): 9
Apartado (b): 2 3
Apartado (c): 9 3
El factor de distribución tiene por expresión genérica:
K
d
qp
q p
^
sen
sen
γ
γ
y cuando γ es muy pequeño esta relación tiende a la siguiente expresión aproximada en la que el
arco ocupado por la fase, está expresado en radianes eléctricos:
cuerda arco
q
q
^
sen γ
γ
PROBLEMA Nº 4:
Un generador síncrono tiene en su inducido un devanado trifásico distribuido en 36 ranuras. Cada bobina del devanado está acortada en un ángulo de 30º eléctricos y está formada por 40 espiras devanadas en una sola capa. La máquina tiene cuatro polos y gira a una velocidad de 1500 r.p.m. El flujo por polo es de 0.2 Wb y está senoidalmente distribuido por el entrehierro. Calcular la f.e.m. inducida por fase, en valor eficaz.
SOLUCIÓN:
La expresión de la f.e.m. inducida por fase expresada en valores eficaces es:
E = 4 44. ⋅ Ka ⋅K (^) d ⋅ f N⋅ ⋅Φ
El número de espiras serie por fase vale:
Ne N de ranuras^ N espiras N de fases
= ×
×
NOTA: El 2 aparece a causa de que el devanado es de una capa, recuérdese B = K/2.
Ne = espiras fase
La frecuencia vale:
f n
p = ⋅ = ⋅ = Hz 60
El factor de acortamiento vale:
Ka p yB =
cos =sen α 2 2
0
El factor de distribución vale:
Kd
qp
q p
^
sen
sen
γ
γ
La determinación del factor de acortamiento Ka se hace de la forma: pα = 30º e, y consecuentemente:
Ka = cos 30 º^ = cos º =. 2
Ka = sen = =
sen º.
La determinación del factor de distribución Kd se hace después de calcular con anterioridad:
El número de ranuras por polo y fase: k (^) pq = ⋅
el ángulo entre dos ranuras consecutivas es de : γ = =
º g
Finalmente:
Kd =
⋅ ⋅^
sen º
sen º^
La f.e.m. vale:
E
E V
PROBLEMA Nº 5:
Un generador bipolar de rotor de polos salientes. La densidad del campo magnético del rotor es de 0.2 Wb/m^2 y la velocidad es de 3.600 r.p.m. El diámetro del estator de la máquina es de 0.5 m. Cada bobina del devanado del inducido tiene 15 espiras y la longitud de cada lado de ella es de 0.3 m. Las fases del estator están conectadas en estrella.
Se pide determinar:
a) Las f.e.m.s inducidas en cada fase en función del tiempo.
b) El valor eficaz de la f.e.m. inducida en una fase.
c) La tensión en bornes en valor eficaz.
SOLUCIÓN:
El valor del flujo es:
Φ = (^) ( 2 ⋅ r l⋅ (^) ) ⋅ β = 0 5 0 3 0 2. ⋅. ⋅. =0 03. Wb
a)
La velocidad de giro del rotor se halla por:
n
f p 1 60 1 60 rpm
b)
El nº de ranuras por polo y fase es:
Kpq
K
pq
c)
Para hallar el factor de devanado debemos calcular Kd y Ka.
El ángulo entre dos ranuras consecutivas vale:
p K
α º p e
Por tanto:
Kd =
^
^
sen º
sen º^.^
Para hallar el factor de paso debemos calcular el ángulo eléctrico que corresponde a un acortamiento de 1/6 del paso polar:
p α = = e
Por tanto:
Ka = cos 30 º^ =. 2
El factor de devanado vale:
K w = Kd ⋅ Ka= 0 96 0 966. ⋅. ≅0 93.
d)
La expresión de la f.e.m. es:
E = 4 44. ⋅ Kd ⋅K (^) a ⋅ f N⋅ (^) ef⋅Φ 0
El número de espiras en serie por fase es:
( )
Nes B Nes bob esp
siendo B K doble capa B n de bobinas
Por tanto Nes fase esp fase
Despejando f 0 y sustituyendo valores:
. Wb
PROBLEMA Nº 7:
Un alternador trifásico de 2p = 10, tiene 120 ranuras en el estator con un devanado de simple capa, imbricado, diametral con 8 espiras por bobina simple, conexión estrella.
Si el flujo por polo que admitiremos perfectamente senoidal, es igual a 0.056 Wb, se pide calcular:
a) La f.e.m. inducida a la f = 50 Hz en voltios de fase y en voltios de línea, suponiendo que el número de circuitos derivados por fase es de 2.
b) El orden de los armónicos de ranura que presentan las tensiones de fase y de línea.
SOLUCIÓN:
NOTA:
Recuérdese que el orden de armónicos de ranura tiene por expresión:
nran
M K
p
Siendo: M = nº entero de valor 1.
K = nº de ranuras.
nran = orden del armónico.
2p = nº de polos.
nran
M K
p
Siendo M = 1, tenemos:
nran =
PROBLEMA Nº 8:
Una máquina síncrona trifásica tiene un estator con 36 ranuras y con un devanado imbricado de doble capa, paso de bobina acortado en 2 ranuras, 2p = 4 polos y 10 espiras por bobina. Su entrehierro es de 5 mm. Su diámetro medio es de 200 mm y su longitud axial de 250 mm.
Admitiendo que la onda de introducción es rigurosamente senoidal y que su valor máximo es de 0.7 Teslas, se pide calcular:
a) La f.e.m. inducida por fase.
b) La frecuencia si el rotor gira a 1800 r.p.m.
SOLUCIÓN:
La f.e.m. tiene por expresión:
Ef = 4 44. ⋅ Ka ⋅ Kd ⋅ f N⋅ (^) ef⋅Φ
En la que debemos hallar sus componentes:
Frecuencia:
f
n = ⋅ p = ⋅ = H 60
2 60 z
Flujo:
β (^) θ θ^ β θ θ^ β
π π l r d p
l r d p p
l r 0
10 0
10 sen^2
Sustituyendo valores:
0 7 0 25 0 1... 0 0175. Wb
Nos queda finalmente calcular Kd y Ka.
Número de ranuras por polo y fase:
Kpq
K
p q
El ángulo eléctrico entre dos ranuras consecutivas vale:
v º p º
= γ = ⋅ = º
2 20 e
Por tanto el factor de distribución será:
[ ]
Kd
Kd
sen
sen
sen º sen º
El factor de paso o acortamiento vale:
Ka p
^
cos γ 2
Paso polar: yp
K
p
= = = ranuras 2
Acortamiento fi 2 ranuras YB = 7 ranuras.
180 9 7
cos
cos º sen
β
= ∴ β= ⋅ =
e
Ka
El número de espiras serie por fase es:
Nef = 10 ⋅ =
Consecuentemente:
Eef
Eef V
Sustituyendo valores:
Eef ( t) dt t dt t
Eef V
2 2 2 2
0 005 2 3
0
0 005 (^2 ) 1 0 005
0
0 005
0
=^ ⋅^ −
.. (^).
Por tanto:
Kf = =
PROBLEMA Nº10:
La onda de la figura:
Nos muestra el campo en el entrehierro de un generador síncrono de polos salientes de f = 50 Hz. El paso polar es de 9 cm, la longitud del polo es de 10 cm. En cada fase hay 250 conductores.
Se pide determinar la f.e.m. generada en una fase de extensión 60º eléctricos, estando el devanado uniformemente distribuido y siendo el flujo por polo de 10^4 Gauss.
SOLUCION:
La fórmula de la f.e.m. generada en una fase es:
Ef = Kf ⋅K (^) d ⋅K (^) a⋅ 2 ⋅ Φ⋅N (^) ef ⋅f
Expresada en valores eficaces:
Kf = Factor de forma. En este caso no es 1.11 pues la onda no es sinusoidal.
Kd = Factor de distribución.
Ka = Factor de acortamiento = cos
Φ = Flujo por polo = bmed◊A.
Ncf = nº de conductores / fase.
f = Frecuencia de red = 50 Hz.
bmáx = 10^4 GAUSS <> 1 Wb/m^2.
La bmed sobre un paso polar es:
180º 1 Wb m^2 1 Wb m^2 120º x med 3
A 2 9 10 10 4 Wb m^2 m^2 0.006 Wb med med (^3)
= ⇒ β = ⋅
Φ = β ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ =
El coeficiente de distribución vale:
( )*
sen
sen
sen sen Kd lim K
Kpf p v
Kpf
p v
Kpf p v
Kpf p v
p (^) T
p (^) T
γ
γ
Téngase presente que: gT = Kpf v
- El devanado está uniformemente distribuido.
- Que las bobinas están extendidas 60º.
- Que pg = π/3 en trifásico.
( )
sen (^) 2 sen30º sen 6
= = ⋅^ = π ⇒ ≅ π (^) π π
(*) Fórmula empleada cuando el nº de ranuras es muy elevado y se considera que forman un arco continuo. Se puede obtener Kd como el cociente de la cuerda al arco que subtiende ( devanado uniformemente distribuido ). El valor eficaz se halla:
E (^) ef = ⋅ E ⋅ d = E^ ⋅ = E⋅
6
5 6 0 2 π α^ π^0
π
π
π .
Los factores de paso o de acortamiento, según la fórmula general:
Ka = sen γ 2
Para el fundamental y los armónicos impares de orden superior valen:
Funamental: Ka = sen =
3º Armónico: No está presente en línea Ka 3
sen = −
5º Armónico: Ka 5
sen =
7º Armónico: Ka 7
sen =
9º Armónico: Múltiplo de 3. No está presente en línea. Ka 9
sen = −
PROBLEMA Nº 12:
Un motor asíncrono trifásico de 4 polos tiene un rotor de 9.6 cm de diámetro y 14.5 cm de longitud, constituido por 32 ranuras y es de jaula con un número de barras igual al nº de ranuras. La sección de cada barra es de 43.7 mm^2 y la corriente eficaz admisible por barra es de 4 Amp/mm^2.
Admitiendo senoidal la distribución espacial de las corrientes en las barras, calcular el par interno desarrollado por el motor al ser conectado a un red de 3¥380 V-50 Hz, siendo la bmáx = 0. Teslas que se considerará senoidal. El f.d.p. del rotor vale 0.9.
SOLUCIÓN:
La potencia eléctrica vale:
Pint = q E I⋅ ⋅ ⋅ cos ϕ = Tint ⋅Ωp
Puesto que:
E = π ⋅ 2 ⋅ Φ⋅ fp ⋅ Ns⋅ε
Y que:
fp
p (^) p
2 π
Nos queda la expresión del par de la forma:
Tint = ⋅ (^) ( p ⋅ (^) ) ⋅ (^) ( q N⋅ (^) s ⋅ ⋅I (^) )⋅cos
Φ ε ϕ
El valor del flujo por polo es:
p
max l r p Wb
N fases rotor
K
p
fases
p
⋅ ⋅ ⋅ −^ ⋅ ⋅ −
β (^)...
Que es la forma de asimilar un rotor de jaula a un devanado diametral ( 1 barra de ida y vuelta = 1 conductor de ida y vuelta ).
La corriente eficaz de cada fase es:
I rot eficaz = 4 ⋅ 43 7. ⋅ 2 =349 6. Amp
Que es lo mismo que considerar que cada fase está formada por 1 espira con dos conductores de “p” barras en paralelo cada uno. Evidentemente ε = 1. Sustituyendo:
Tp ( ) ( )
Tp Nw m
= ⋅ ⋅ ⋅ −^ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
PROBLEMA Nº13:
Una máquina síncrona trifásica de pequeño tamaño, de seis polos, tiene un diámetro interior en el estator de 0.3 m y la longitud del cilindro estatórico es de 0.25 m. El estator tiene 36 ranuras. La densidad de flujo en el entrehierro está distribuida senoidalmente en la superficie interna del estator y tiene un valor de pico de 0.96 Teslas. El devanado está realizado por polos y el paso de cada bobina es de 5 ranuras. Estando los grupos del devanado correspondiente a una fase, en serie y conectadas las fases en estrella, se pide determinar:
a) La f.e.m. inducida en cada grupo.
b) La f.e.m. inducida en el inducido.
c) La f.e.m. en voltios de línea.
El alternador gira a la velocidad de sincronismo de 1000 r.p.m. y cada bobina está formada por 2 espiras.
SOLUCIÓN:
a)
Puesto que la diferencial de área está dada por:
Φ 0 = N (^) e ⋅ K (^) p⋅ Φ = 2 0.9659 0.024⋅ ⋅ ⇒ Φ 0 =0.046 Wb
Si la máquina gira a 1000 r.p.m., la frecuencia vale:
f p
N
= ⋅ = ⋅ = = Hz 60
La f.e.m. en valor eficaz inducida en cada bobina es:
Ec f Ne Kp Ec V
π Φ π. .
El número de bobinas de un grupo de fase es igual al nº de ranuras por polo y fase:
N bobinas por grupo
K
q p
El factor Kd es:
Kd =
^
sen
sen º
La f.e.m. inducida por grupo vale:
E (^) grupo = 2 10 3 0 966⋅. ⋅. =19 9. V
b)
Como el nº de grupos es igual al nº de polos del rotor:
( )*^ E^0 f =^2 p E^ ⋅^ grupo =^ 6 19 9⋅^.^ ≅^119 Vsimples
c)
Al estar el estator ( sus fases ) conectadas en estrella, la f.e.m. compuesta vale:
E (^0) f = 119 ⋅ 3 ≅ 207 Vcompuestos
(*) OTRA CONCEPCION SERIA:
El nº de espiras es: 2◊ 2 ◊6 = 24
Apliquemos:
0f 0f E 2 N f K K 2 24 50 0.024 0.966^2 E 119 V simples = ⋅ π ⋅ (^) e ⋅ ⋅ Φ ⋅ (^) p ⋅ (^) d= ⋅ π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ≅
PROBLEMA Nº14:
El estator tiene dos ranuras 1 y 1’, en las que se sitúan N conductores recorridos por una determinada corriente i, según el sentido positivo que se indica en la figura.
La posición del punto M de la periferia del entrehierro se señala por el ángulo q y la inducción se considera positiva si su sentido es del rotor al estator.
Se pide calcular:
a) El trazado de la curva representativa de la inducción en el entrehierro en función del ángulo de posicionamiento q.
b) Si ahora, se disponen dos devanados idénticos al del principio pero decalados en ± 2 p/3 con relación al primero, en el sentido de los ángulos q crecientes, representar las ranuras en los lugares que les corresponden con sus conductores señalando los sentidos positivos de las corrientes que los recorren.
c) Si las intensidades de las corrientes que recorren los conductores antes mencionados en el apartado (b), son de la forma:
i i (^) ( t)
i i t
i i t
1 0
2 0
3 0
^
^
cos
cos
cos
ω
ω π
ω π
Se pide obtener la curva de inducción total en el entrehierro en el instante, t = 0.
d) Indicar el desarrollo en serie de Fourier de los campos creados por la circulación de las corrientes indicadas en el apartado (c).
SOLUCIÓN:
