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Capítulo 2
TOMA DE DECISIONES BAJO CONDICIONES DE
INCERTIDUMBRE
2.1. Introducción.
Prácticamente todas las decisiones se toman en un ambiente de cierta incertidumbre. Sin embargo, el grado varía de una certeza relativa a una gran incertidumbre. En la toma de decisiones existen ciertos riesgos implícitos. En una situación donde existe certeza, las personas están razonablemente seguras sobre lo que ocurrirá cuando tomen una decisión, cuentan con información que se considera confiable y se conocen las relaciones de causa y efecto.
Por otra parte en una situación de incertidumbre, las personas sólo tienen una base de datos muy deficiente. No saben si estos son o no confiables y tienen mucha inseguridad sobre los posibles cambios que pueda sufrir la situación. Más aún, no pueden evaluar las interacciones de las diferentes variables, por ejemplo una empresa que decide ampliar sus operaciones a otro país quizás sepa poco sobre la cultura, las leyes, el ambiente económico y las políticas de esa nación. La situación política suele ser tan volátil que ni siquiera los expertos pueden predecir un posible cambio en las mismas.
En problemas de decisión bajo incertidumbre, se atiende a problemas de decisiones, en los que no se conocen las probabilidades de ocurrencia de los estados naturales, por lo tanto, hay que recurrir a criterios empíricos para tomar la decisión; como los que estudiaremos en el presente capitulo.
2.2.Toma de decisiones sin probabilidad.
En esta sección consideraremos los criterios o enfoques de la toma de decisiones que no requieren un conocimiento de las probabilidades de los estados de la naturaleza. Estos criterios son apropiados en situaciones en los que el tomador de decisiones tiene poca confianza en su capacidad para evaluar las probabilidades, o en las que es deseable un análisis simple del mejor y el peor caso. Debido a que en ocasiones criterios diferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador de decisiones necesita entender los criterios disponibles y luego seleccionar el criterio especifico que, de acuerdo con su juicio, sea el más apropiado.
En tales caso, es práctica común utilizar uno de tres criterios empíricos para tomar la decisión; como los siguientes: criterio de Wald o pesimista (Maximín o Minimax), criterio optimista (criterio Maximáx o Minimín), criterio de Hurwicz y criterio de Savage o arrepentimiento minimáx.
2.2.1. Criterio pesimista (criterio Maximín o Minimax). El primero de los criterios no probabilisticos, fue sugerido por Abraham Wald, representa una filosofía pesimista para alcanzar los resultados. Este criterio pesimista o conservador evalúa cada alternativa de decisión desde el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión recomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia, este criterio conducirá al tomador de decisiones a elegir la alternativa que maximiza la ganancia mínima posible que podría obtenerse. Para problemas que implican minimización del costo, este criterio que identifica la alternativa que minimizará el costo máximo.
Para un problema de maximización, comúnmente se hace referencia al criterio pesimista como el criterio maximín; para un problema de minimización, el término correspondiente es minimax.
a) Maximín. Si el objetivo es llevar al máximo el beneficio (o ganancia), el criterio se llama maximín porque quien toma la decisión debe hallar el beneficio más bajo (o mínimo) posible asociado con cada posible alternativa de decisión, identificar el beneficio más alto (o máximo) entre estos mínimos, y luego escoger la alternativa de decisión asociada con este máximo de mínimos, lo que explica el nombre a este criterio.
Ejemplo 2.1. Pittsburg Development Corporation (PDC) compró unos terrenos en los que se construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. La ubicación proporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y del triángulo Dorado, donde se unen los ríos Allegheny y Monongahela para formar el rió Ohio. PDC comisionó los bocetos arquitectónicos preliminares para tres proyectos de diferente tamaño: uno con 30 condominios, otro con 60 y uno más con 90. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño del complejo de condominios y del evento fortuito de la demanda que exista para los inmuebles.
El problema de decisión de PDC es seleccionar el tamaño del nuevo proyecto que llevará a la mayor ganancia dada la incertidumbre en la demanda de los condominios. Un factor en la selección de la mejor alternativa es la incertidumbre asociada con la demanda para los condominios.
Tabla 2.1. Ganancias (en millones de dólares) para el proyecto de condominios de PDC, con seis posibles combinaciones de alternativa de decisión / estados naturales.
Alternativas de decisión (acciones)
Estados de la naturaleza (^) Resultado mínimo para cada una de θ 1 = Demanda fuerte. θ 2 = Demanda débil las alternativas. d 1 = complejo pequeño con 30 condominios.
8 7 Maximín d 2 = complejo mediano con 60 condominios
14 5 5 d 3 = complejo grande con 90 condominios
20 - 9 - 9
7
Tabla 2 .2. Costos anuales (en millones de soles) relacionados con cuatro posibles combinaciones de alternativa de decisión / estados naturales.
Alternativas de decisión
Estados de la naturaleza Resultado máximo para cada una de las alternativas.
θ 1 = Nivel de demanda y producción bajo.
θ 2 = Nivel de demanda y producción alto.
d 1 = instalar sistema pequeño de anticontaminación.
15 24 Minimax
d 2 = instalar sistema grande de anticontaminación.
30 12 30
El más alto de los costos posibles relacionados con cada alternativa de decisión (acción) se muestra en la última columna; el criterio minimax sugiere tomar el mejor de éstos (circulado), o la alternativa de decisión d 1. Se recomienda la alternativa de decisión instalación de un sistema pequeño de anticontaminación. Bajo estas circunstancias, lo peor que puede pasarle a la compañía es incurrir en un costo a lo más de 24 millones de soles. Incluso puede pagar menos (15 millones de soles si ocurre el evento θ 1 en lugar de θ 2 ), no puede pagar más de 24 millones de soles.
2.2.2. Criterio óptimista (criterio Maximáx o Minimín). Este criterio no probabilisticos se va hasta el otro y busca alcanzar el mejor de los mejores resultados posibles. El criterio optimista evalúa cada alternativa de decisión en función del mejor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión que se recomienda es la que da el mejor resultado posible. Para un problema en el que se desea la ganancia máxima, como en el PDC, el criterio optimista conduciría al tomador de decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia. Para problemas que implican minimización, este criterio conduce a elegir la alternativa con el resultado más pequeño.
Para un problema de maximización, comúnmente se hace referencia al criterio optimista como el criterio maximáx; para un problema de minimización, el término correspondiente es minimín.
a) Maximáx. Si el objetivo es llevar al máximo el beneficio, el criterio se llama maximáx porque quien tome la decisión debe hallar el beneficio más alto (o máximo) posible entre estos máximos, y luego elegir la alternativa de decisión asociada con este máximo de máximos, como sugiere el nombre.
Ejemplo 2. 3. Una vez más, considere el problema de toma de decisión que se resume en la tabla 2.1. Resuélvalo ahora aplicando el criterio maximáx.
Solución. Vea la tabla 2.3.
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Tabla 2. 3. Ganancias (en millones de dólares) para el proyecto de condominios de PDC.
Alternativas de decisión (acciones)
Estados de la naturaleza (^) Resultado máximo para cada una de θ 1 = Demanda fuerte. θ 2 = Demanda débil las alternativas. d 1 = complejo pequeño con 30 condominios. 8 7 8 d 2 = complejo mediano con 60 condominios 14 5 14 d 3 = complejo grande con 90 condominios 20 -^9 Maximáx
La más alta de las posibles ganancias relacionada con cada alternativa de decisión se muestra en la última columna; el criterio maximáx sugiere tomar alternativa de decisión que proporciona la mayor ganancia posible, es decir la alternativa d 3.
Debido a que 20, corresponde a d 3 , es la mayor ganancia, la decisión de construir el complejo de condominios grande es la alternativa de decisión recomendada usando el criterio optimista. Bajo estas circunstancias, a PDC se le garantiza una ganancia a los más de $20 millones de dólares, pero también puede tener una pérdida de 9 millones de dólares si ocurre una demanda débil ( θ (^) 2 ) en lugar de una demanda fuerte ( θ (^) 1 ).
b) Minimín. Si el objetivo es reducir al mínimo el costo, el criterio análogo se conoce como minimín porque quien tome la decisión debe hallar el costo más bajo (o mínimo) posible asociado con cada alternativa de decisión posible, identificar el más bajo (o mínimo) costo entre estos mínimos, y luego elegir la alternativa asociada con este mínimo de mínimos, como el nombre sugiere.
Ejemplo 2. 4. Retrabaje el problema 2.2, usando el criterio minimín.
Solución. Vea la tabla 2.4.
Tabla 2. 4. Costos anuales (en millones de soles). Minimizar costo: el criterio minimín.
Alternativas de decisión.
Estados de la naturaleza Resultado máximo para cada una de las alternativas.
θ 1 = Nivel de demanda y producción bajo.
θ 2 = Nivel de demanda y producción alto.
d 1 = instalar sistema pequeño de anticontaminación.
(^15 24 )
d 2 = instalar sistema grande de anticontaminación.
(^30 ) Minimín
12 2
20
utilizando para tomar la decisión; del mismo modo, cuanto más cercano a cero se escoge el valor de α, más pesimista será el criterio que se está utilizando.
2.2.4. Criterio de Savage, de arrepentimiento minimax. El criterio de arrepentimiento minimax para la toma de decisiones no es puramente optimista ni puramente pesimista. Una vez tomada la alternativa de decisión y producido el estado natural se obtiene un resultado; Savage argumenta que después de conocer el resultado, el decisor puede arrepentirse de haber seleccionado una alternativa dada. Savage sostiene que el decisor debe tratar de que ese arrepentimiento se reduzca al mínimo.
Ilustraremos el criterio de arrepentimiento minimax mostrando cómo puede emplearse para seleccionar una alternativa de decisión para el problema de PDC. Suponga que PDC construye un complejo de condominio pequeño (d 1 ) y la demanda resulta ser fuerte (θ 1 ). La tabla 2.1 muestra que la ganancia resultante para PDC sería de $8 millones. Sin embargo, dado que ha ocurrido el estado de la naturaleza de demanda fuerte (θ 1 ), nos damos cuenta de que la decisión de construir un complejo de condominios grande (d 3 ), que produce una ganancia de $20 millones, habría sido la mejor decisión. La diferencia entre el resultado por la mejor alternativa de decisión ($20 millones) y la ganancia por la decisión de construir un complejo de condominios pequeño ($8 millones) es la perdida de oportunidad , o arrepentimiento , asociado con la alternativa de decisión d 1 cuando ocurre el estado de la naturaleza θ 1 ; por lo tanto, para este caso, la pérdida de oportunidad o arrepentimiento es de $20 millones - $8 millones = $12 millones. Del mismo modo, si PDC toma la decisión de construir un complejo de condominios mediano (d 2 ) y ocurre el estado de la naturaleza de una demanda fuerte (θ 1 ), la perdida de oportunidad o arrepentimiento, asociada con d 2 sería $20 millones - $14 millones = $6 millones.
Generalmente, la siguiente expresión representa la pérdida de oportunidad o arrepentimiento.
R (^) ij = Vj−Vij (2.1)
donde:
Rij = el arrepentimiento asociado con la alternativa de decisión d (^) i y el estado de la naturaleza θ (^) j. V j = el valor del resultado correspondiente a la mejor decisión para el estado de la naturaleza θ (^) j. Vij = el resultado correspondiente a la alternativa de decisión d (^) i y el estado de la naturaleza θ (^) j.
Observe la función del valor absoluto en la expresión (2.1). Para problemas de minimización, el mejor pago, V j, es la entrada más pequeña en la columna j. Debido
a que este valor siempre es menor o igual a Vij, el valor absoluto de la diferencia
entre V j y Vij asegura que el arrepentimiento siempre es la magnitud de la diferencia.
Usando la ecuación (2.1) y los resultados en la tabla 2.1, podemos calcular el arrepentimiento asociado con cada combinación de alternativa de decisión d (^) i y el estado de la naturaleza θ (^) j. Debido a que el problema de PDC es un problema de maximización, V j será la entrada más grande en la columna j de la tabla de resultados. Por tanto, para calcular el arrepentimiento, tan sólo restamos cada entrada en una columna de la entrada más grande en la columna. La tabla 2.6 muestra la tabla de pérdida de oportunidad, o arrepentimiento, para el problema de PDC.
Tabla 2.6 Perdida de oportunidad, o arrepentimiento, para el proyecto de condominio de PDC (millones de dólares).
Alternativas de decisión
Estados de la naturaleza (^) Arrepentimiento máximo para cada alternativa. θ 1 = Demanda fuerte. θ 2 = Demanda débil d 1 = complejo pequeño con 30 condominios.
20 – 8 = 12 7 – 7 = 0 12
d 2 = complejo mediano con 60 condominios
20 – 14 = 6 7 – 5 = 2 minimax d 3 = complejo grande con 90 condominios
20 – 20 = 0 7 – (-9)= 16 16
El siguiente paso al aplicar el criterio de arrepentimiento minimax es enlistar el arrepentimiento máximo para cada alternativa de decisión; la ultima columna de la tabla 2.6 muestra los arrepentimientos máximo de cada alternativa de decisión para el problema de PDC. Seleccionar la alternativa de decisión con el mínimo de los valores de arrepentimiento máximos , de ahí el nombre de arrepentimiento minimax , produce la decisión de arrepentimiento minimax. Para el problema de PDC, la alternativa de construir el complejo de condominios mediano, con un arrepentimiento máximo correspondiente de $6 millones, es la decisión de arrepentimiento minimax recomendada.
Ejemplo 2. 5. Retrabaje el problema 2.2, usando el criterio de arrepentimiento minimax.
Solución. Vea la tabla 2.7.
En esta tabla basada en la tabla 2.2, el más alto de los valores posibles de pérdida relacionados en cada acción se muestra en la última columna; el criterio de arrepentimiento minimax sugiere tomar la menos dolorosa de éstas (circulada), o alternativa de decisión d 1. Bajo estas circunstancias, el ejecutivo puede lamentar la oportunidad perdida de reducir costos en 12 millones de soles menos, pero la pérdida también puede ser cero (si ocurre θ 1 en lugar de θ 2 ) y no puede ser menor de 12 millones de soles (como sería si se escogiera d 2 y fuera a ocurrir θ 1 ).
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El valor esperado (VE) de la alternativa de decisión θjse define como sigue:
n i (^) j 1 j ij VE(d) P(θ)V (2.4)
En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los resultados ponderados para la alternativa de decisión.
Regresemos al problema de PDC para ver cómo puede aplicarse el criterio o enfoque del valor esperado. PDC es optimista respecto al potencial para el complejo de condominios de lujo. Suponga que este optimismo conduce a una evaluación de probabilidad subjetiva inicial de 0.8 de que la demanda será fuerte ( θ 1 ) y una probabilidad correspondiente de 0.2 de que la demanda será débil ( θ 2 ). Por tanto, P(θ 1 )= 0. 8 y P(θ 2 )= 0. 2.
Tabla 2.8. Ganancias (en millones de dólares) para el proyecto de condominios de PDC.
Alternativas de decisión (acciones)
Estados de la naturaleza (^) Valor esperado para cada una de las θ 1 = Demanda fuerte. alternativas. P(θ 1 )= 0. 8
θ 2 = Demanda débil P(θ 2 )= 0. 2 d 1 = complejo pequeño con 30 condominios.
8 7 8 (0.8) + 7(0.2)= 7. d 2 = complejo mediano con 60 condominios
14 5 14 (0.8) + 5(0.2)= 12. d 3 = complejo grande con 90 condominios
20 - 9 20 (0.8) + (-9)(0.2)= 14. Óptimo
Usando los valores de resultados en la tabla 2.8 y la expresión (2.4), calculamos el valor esperado para cada una de las tres alternativas de decisión como sigue:
VE(d 1 )=0.8(8)+0.2(7)=7. VE(d 2 )=0.8(14)+0.2(5)=12. 2 VE(d 3 )=0.8(20)+0.2(-9)= 14. 2
Por tanto, usando el criterio del valor esperado, encontramos que el complejo de condominios grande, con un valor esperado de $14.2 millones, es la decisión recomendada.
Los cálculos requeridos para identificar la alternativa de decisión con el mejor valor esperado pueden realizarse de manera conveniente en un árbol de decisión. La figura 2.1 muestra el árbol de decisión para el problema de PDC con las probabilidades en las ramas de los estados de la naturaleza.
Fuerte ( θ 1 ) 8 Pequeño (d 1 ) P(θ 1 )= 0. 8
Débil ( θ 2 ) 7 P(θ 2 )= 0. 2
Fuerte ( θ 1 ) 14 Mediano (d 2 ) P(θ 1 )= 0. 8
Débil ( θ 2 ) 5 P(θ 2 )= 0. 2
Fuerte ( θ 1 ) 20 Grande (d 3 ) P(θ 1 )= 0. 8
Débil ( θ 2 ) - 9 P(θ 2 )= 0. 2
Figura 2.1. Árbol de decisión de PDC con probabilidades en ramas de estados de la naturaleza.
El árbol de decisión en la figura 2.1 tiene cuatro nodos, numerados del 1 al 4. Los cuadrados se usan para describir los nodos de decisión y los círculos se usan para describir los nodos fortuitos. Por tanto, el nodo 1 es de decisión y los 2, 3 y 4 son fortuitos. Las ramas , que conectan los nodos, que salen del nodo de decisión corresponden a las alternativas de decisión; y las ramas que salen de cada nodo fortuito corresponden a los estados de la naturaleza. Los resultados se muestran al final de las ramas del estado de la naturaleza.
Pequeño (d 1 ) VE (d 1 )=0.8(8)+0.2(7)=$7.
Mediano (d 2 ) VE (d 2 )=0.8(14)+0.2(5)=$12.
Grande (d 3 ) VE (d 3 )=0.8(20)+0.2(-9)=$14.
Figura 2. 2. Aplicación del enfoque del valor esperado usando árboles de decisión.
2
3
4
1
3
4
1
2
Agregar una rama. El problema de PDC tiene alternativas de decisión (complejos de condominios pequeños, medianos y grandes), así que debemos agregar otra rama de decisión al árbol. Paso 1. Seleccionar la celda B Paso 2. Seleccionar el menú desplegable Tools ( herramientas ) y elija Decisión Tree ( Árbol de decisión ). Paso 3. Cuando aparezca el cuadro de diálogo TreePlan New ( Nuevo TreePlan ): Seleccione Add branch ( Agregar rama ).
Un árbol revisado con tres ramas de decisión aparece ahora en la hoja de trabajo de Excel.
Nombrar las alternativas de decisión. Las alternativas de decisión pueden nombrarse seleccionando las celdas que contienen las etiquetas Decisión 1 (Decisión 1), decisión 2 y decisión 3, y luego
introduciendo los nombres de PDC correspondientes pequeño, Mediano y Grande. Después de nombrar las alternativas, el árbol de PDC con tres ramas de decisión aparece como sigue:
Agregar nodos fortuitos El evento fortuito para el problema de PDC es la demanda para los condominios, la cual puede ser ya sea fuerte o débil. Por tanto, debe agregarse un nodo fortuito con dos ramas al final de cada rama de alternativa de decisión.
Paso 1. Seleccionar la celda F Paso 2. Seleccionar el menú desplegable Tools ( herramientas ) y elija Decisión Tree ( Árbol de decisión ). Paso 3. Cuando aparezca el cuadro de diálogo TreePlan New ( Nuevo TreePlan ): Seleccione Change to event mode ( Cambiar a nodo de evento ) Seleccionar Two ( Dos ) en la sección Branches ( Ramas ). Oprima OK ( Aceptar ).
Ahora el árbol aparece como sigue:
Este procedimiento de copiar y pegar coloca un nodo fortuito en el extremo de la rama de decisión Mediano. Repetir el mismo procedimiento de copiar y pegar para la rama de decisión Grande completa la estructura del árbol de decisión de PDC como se muestra en la figura 2.3.
Figura 2.3. El árbol de decisión de PDC elaborado por TreePlan.
Insertar probabilidades y resultados. TreePlan proporciona la capacidad de insertar probabilidades y resultados en el árbol de decisión. En la figura 2.3, vemos que TreePlan asignó en forma automática una probabilidad de 0.5 a ambos resultados fortuitos. Para PDC, la probabilidad de demanda fuerte es 0.8 y la probabilidad de demanda débil es 0.2. Podemos seleccionar las celdas H1, H6, H11, H16, H21 y H26 e insertar las probabilidades apropiadas. Los resultados para los eventos fortuitos se insertan en las celdas H4, H9, H14, H19, H24 y H29. Después de insertar las probabilidades y las ganancias (pagos) de PDC, el árbol de decisión de PDC aparece como se muestra en la figura 2.4.
Figura 2. 4. El árbol de decisión de PDC con probabilidades y resultados en cada rama.
Observe que también aparecen los resultados en el margen derecho del árbol de decisión. Para el problema de PDC, ningún resultado se asocia con las ramas de alternativas de decisión así que dejamos los valores predeterminados de cero en las celdas D6, DD16 y D26. Ahora el árbol de decisión de PDC está completo.
Figura 2. 5. El árbol de decisión para el ejemplo 2.6.
Como el objetivo es minimizar el costo, el valor esperado más pequeño es el óptimo; por lo tanto, d 1 es la alternativa de decisión escogida por quienes utilizan el criterio del valor esperado.
- Pérdida de oportunidad esperada. Una persona que tome decisiones y utilice el criterio de pérdida de oportunidad esperada determina una pérdida de oportunidad esperada, o valor de pérdida esperado, para cada posible alternativa de decisión y luego selecciona la alternativa con el más pequeño de estos valores. Este procedimiento siempre dará el mismo resultado que el criterio de valor esperado.
Definición. La pérdida de oportunidad esperada (POE) o valor de pérdida esperada de una alternativa de decisión es igual a la suma de las pérdidas de oportunidad ponderadas asociadas con esa alternativa, siendo los pesos las probabilidades de los estados de naturaleza que producen las diversas pérdidas de oportunidad posibles.
Ejemplo 2.7. Considere el problema de PDC resumido por la tabla 2. 8. Resuélvalo aplicando el criterio de pérdida de oportunidad esperada. Solución. Vea la tabla 2. 10. Maximizar ganancia: el criterio de pérdida de oportunidad esperada.
La tabla 2.10, basada en la tabla 2. 8 , muestra la pérdida de oportunidad esperada o valores de pérdida (en millones de dólares) por PDC. También muestra la pérdida de oportunidad esperada (POE) para cada posible alternativa de decisión, con base en las supuestas probabilidades previas de los estados de naturaleza [P(θ 1 ) = 0.8 y P(θ 2 ) = 0.2].
Tabla 2. 10. Pérdida de oportunidad (en millones de dólares) para el proyecto de condominios de PDC. Maximizar ganancia: el criterio de pérdida de oportunidad esperada.
Alternativas de decisión (acciones)
Estados de la naturaleza (^) Pérdida de oportunidad esperada (POE) para cada alternativa de decisión.
θ 1 = Demanda fuerte P(θ 1 ) = 0.
θ 2 = Demanda débil P(θ 2 ) = 0. d 1 = complejo pequeño con 30 condominios.
20 – 8 = 12 7 – 7 = 0 12 (0.8) + 0 (0.2) = 9. d 2 = complejo mediano con 60 condominios
20 – 14 = 6 7 – 5 = 2 6 (0.8) + 2 (0.2) = 5. d 3 = complejo grande con 90 condominios
20 – 20 = 0 7 + (- 9 ) = 16 0 (0.8) + 16 (0.2) = 3. Óptimo
La perdida de oportunidad esperada (POE) más pequeña es óptima. Por tanto, con POE(d 3 ) = 3.2, d 3 es la decisión recomendada cuando se utiliza el criterio de pérdida de oportunidad esperada. No es accidente que este resultado sea idéntico al dado por el criterio de valor esperado (ver tabla 2.8).
Note que si PDC de manera consistente elige la alternativa de decisión d 3 , incurrirá, en promedio, en una pérdida de oportunidad de 3.2 millones de dólares, porque la pérdida será de cero el 80% del tiempo y de 16 millones el 20% del tiempo. En contraste, una elección consistente de d 1 que no sea óptima producirá a la larga una pérdida de oportunidad de 9.6 millones de dólares, porque dicha pérdida sería igual a 12 millones el 80% del tiempo y de cero el 20% del tiempo. De igual manera, una elección de d 2 que no sea óptima producirá a la larga una pérdida de oportunidad de 5.2 millones de dólares, porque dicha pérdida sería igual a 6 millones el 80% del tiempo y de dos millones el 20% del tiempo.
Ejemplo 2.8. Considere el problema de toma de decisión resumido por la tabla 2.9. Resuélvalo aplicando el criterio de pérdida de oportunidad esperada.
Solución. Vea la tabla 2.11. Minimizar costo: el criterio de pérdida de oportunidad esperada.
