Resolución de problemas matemáticos en olimpiadas, Apuntes de Matemáticas

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ÍNDICE

• PRÓLOGO
• CONTEXTUALIZACIÓN
• AGILIDAD MENTAL, RAZONAMIENTO Y COMUNICACIÓN PERSPECTIVA GLOBALIZADORA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: CREATIVIDAD,
  • La resolución de problemas y la creatividad
  • Agilidad mental en la resolución de problemas................................................
  • La resolución de problemas y el razonamiento matemático............................
  • La comunicación en la resolución de problemas
• estándar y contenido que ponen en juego CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS según el nivel educativo, criterio de evaluación,
• ENUNCIADOS DE LOS PROBLEMAS
  • 1. La Contraseña
  • 2. Cosecha Interestelar
  • 3. El planeta cercano.................................................................................
  • 4. Orden en la fila......................................................................................
  • 5. Geometría y elegancia
  • 6. Las baldosas trampa
  • 7. El Califa de Medina Azahara
  • 8. Ángulos de los pentágonos
  • 9. Circunferencias
  • 10. ¡A nadar!
  • 11. La tienda del todo a múltiplo de
  • 12. La batalla final
  • 13. Cubos de basura....................................................................................
  • 14. Visita al Museo
  • 15. Rosetas
  • 16. Números................................................................................................
  • 17. El robot
  • 18. Guardando monedas
  • 19. Señales en la carretera
  • 20. Puente de Triana
• SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS - 1. La Contraseña - 2. Cosecha Interestelar - 3. El planeta cercano................................................................................. - 4. Orden en la fila...................................................................................... - 5. Geometría y elegancia - 6. Las baldosas trampa - 7. El Califa de Medina Azahara - 8. Ángulos de los pentágonos - 9. Circunferencias - 10. ¡A nadar! - 11. La tienda del todo a múltiplo de - 12. La batalla final - 13. Cubos de basura.................................................................................... - 14. Visita al museo - 15. Rosetas - 16. Números................................................................................................ - 17. El robot - 18. Guardando monedas - 19. Señales clave en las carreteras - 20. Puente de Triana
• REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

con el fin de llegar a ser futuros científicos, ingenieros y matemáticos de forma que puedan contribuir al desarrollo social, científico e investigador. Esperamos que esta recopilación de los problemas planteados sirva a todas las personas que lo utilicen: alumnado, profesorado y familias. Por ello, los veinte problemas seleccionados son un reto intelectual para que el alumnado pueda desarrollar sus capacidades intelectuales, su pensamiento creativo y lógico matemático, descubrir nuevas estrategias de resolución de problemas y expresar de forma razonada dichos procesos de resolución. Cada uno de los problemas presenta además una o varias propuestas de resolución para poder ser contrastadas, corroboradas o discutidas en familia. Además, de un análisis didáctico que facilitará que el profesorado integre dichos problemas en el currículo de matemáticas de segundo de ESO a partir de las evidencias de los contenidos, criterios de evaluación y dificultades que pueden surgir durante su implementación.

CONTEXTUALIZACIÓN

La preocupación por los procesos de resolución de problemas nace en la década de los años 50 de la mano de los trabajos de Pólya (1949). Pólya parte de la reflexión sobre su propia práctica como matemático para identificar las fases de la resolución de problemas y los heurísticos que pueden ayudar a resolverlo. Posteriormente, los investigadores del campo de la heurística en la resolución de problemas han analizado las tareas realizadas en programas de detección y promoción del talento matemático que muy a menudo tienen su base en las competiciones matemáticas. Como curiosidad nombrar que, en la década de los años 50, las primeras olimpiadas de matemáticas de bachillerato nacen a la par que las investigaciones sobre los heurísticos. Pero es en la década de los años 80 cuando en Europa y Estados Unidos se promueve el uso de los heurísticos como sugerencias didácticas para la resolución de problemas en clase de matemáticas (Liljedahl et al., 2016). Pasando de ser la resolución de problemas una mera actividad de los matemáticos profesionales a un enfoque escolar (NCTM, 1980). Y, por lo tanto, las olimpiadas matemáticas que se habían restringido en sus inicios a bachillerato abren sus puertas al alumnado de secundaria. La Sociedad Andaluza de Educación Matemática, editora de este libro, puso en marcha su primera Olimpiada Matemática en el curso 1984/1985 para alumnado de 8º de Educación General Básica, en su momento, y 2º de Educación Secundaria Obligatoria, en la actualidad. De entre los seis objetivos principales de estas olimpiadas matemáticas para alumnado de 2º de secundaria, detallados en el segundo libro de problemas (Aguilera et al. 2018), destacamos el desarrollo de la capacidad de pensar y elaborar estrategias de resolución. Ante este objetivo cabe cuestionarse si la resolución de los problemas propuestos depende de los antecedentes educativos del alumnado participante. Es decir, mientras que un problema puede ser un verdadero rompecabezas para una persona, para otra puede ser un ejercicio mundano o una cuestión de recordar para otro con más experiencia (Barbeau & Taylor, 2009). Detrás de estas diferencias personales subyacen las diferencias innatas de puesta en juego de la actividad mental, tanto de contenidos como de procesos. El contenido en los problemas de las olimpiadas matemáticas corresponde a los establecidos para el currículo de Matemáticas de 1º y 2º de ESO (Junta de Andalucía, 2016) relativo a ciertos conceptos, conexiones y métodos. Por el contrario, los procesos están relacionados con los procesos psicológicos que se ponen en juego al resolver los problemas. Procesos como la planificación, independencia, precisión, actividad y agilidad. El alumnado participante en las olimpiadas se caracteriza por poseer una alta agilidad mental y una

PERSPECTIVA GLOBALIZADORA DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

CREATIVIDAD, AGILIDAD MENTAL, RAZONAMIENTO Y COMUNICACIÓN

En la sección de contextualización se ha argumentado la influencia de la NCTM en la introducción de la resolución de problemas en el contexto escolar y sus documentos en la guía de los procesos de resolución y selección, en algunos casos, de problemas para la olimpiada (números 5 y 8 de NCTM y S.A.E.M. Thales, 2003). Sin embargo, a nivel regional y nacional, en los últimos años la resolución de problemas a nivel curricular se ha visto influenciada por los marcos teóricos de las evaluaciones PISA. Dichos marcos teóricos, que evalúan el nivel de desempeño individual a nivel de la alfabetización matemática, ponen el foco de atención en la resolución de problemas, el razonamiento y la comunicación (OECD, 2018) como habilidades básicas para el futuro de la educación en 2030. Dicho proyecto identifica a partir del trabajo previo sobre competencias claves, otras tres categorías de competencias, las “competencias transformadoras”, que aborden la creciente necesidad de educar al alumnado para que sea creativo, reconciliador y responsable (Schleicher, 2018).

La resolución de problemas y la creatividad

En la intersección entre las competencias claves y las competencias transformadoras se encuentra la resolución de problemas. Ambas, creatividad y resolución de problemas requiere de la capacidad de considerar las consecuencias futuras de las propias acciones y aceptar la responsabilidad del producto desarrollado (Schleicher, 2018). Esta consideración abre una nueva perspectiva a la resolución de problemas. Aunque no entrarían en esta nueva perspectiva de problemas creativos, los problemas de lógica y razonamiento deductivo son representativos de la resolución de problemas matemáticos, en general, y de la Olimpiada Matemática de 2º de ESO, en particular. La realización de dichos problemas son una oportunidad para mejorar y evaluar la comprensión del enunciado de un problema, la identificación de restricciones y suposiciones subyacentes, el reconocimiento de la existencia de una estructura o patrón o la interpretación de la adecuación de la solución matemática al contexto real del problema. Ejemplos de este tipo de problemas son los números 1, 6, 13 y 18 de la sección cuarta de este libro. Los problemas creativos, entonces, son tareas que no pueden ser resueltas con un esfuerzo directo y que requerirán de alguna intuición para resolverlos (Liljedahl et. al, 201 6). El resto de los problemas incluidos en la sección cuarta son creativos ya que para

su resolución necesitan del eureka, de la agilidad mental, de la intuición o de la flexibilidad de pensamiento para conectar diferentes conocimientos. A la hora de seleccionar o diseñar un problema para la olimpiada matemática no asumimos una perspectiva absolutista que asume que la creatividad de los procesos es exclusivamente del dominio de un genio, del alumnado de altas capacidades o con un gran talento matemático (Liljedahl y Sriraman, 2006). Por el contrario, tomamos una posición relativista que concibe que cada alumno tiene momentos de creatividad que pueden, o no, producir un producto único y útil. Por ello, cada edición de la Olimpiada matemática se elige la resolución de problema más creativa y se le concede el Premio Paco Anillo. Se entiende, pues, que cada problema puede tener más de una forma de llegar a la solución correspondiente. Ejemplos de problemas con varios acercamientos a su resolución son los números 2 y 18. La comparación de los diferentes acercamientos aportados por el alumnado es la que permite valorar la excelencia del producto. Sin embargo, la creatividad reside en la fase de elaboración del producto, que es cuando la inspiración se transforma en transpiración de las ideas que ha estado incubando. En consecuencia, la realización en clase de problemas con diferentes estrategias de resolución promueve la creatividad del alumnado. Es más, son una oportunidad para evaluar la capacidad del alumnado de reflexionar sobre los problemas resueltos y los procesos desarrollados, valorando la potencia y sencillez de las ideas claves, aprendiendo para situaciones futuras similares (Estándar de evaluación 10.1 del bloque 1 de procesos, métodos y actitudes, MEC, 2 015). A nivel didáctico supone ir más allá de la aportación de una solución. Significa completar todo el proceso de resolución hasta la fase de generalización (Mason, Burton & Stacey, 1982). La generalización es el proceso por el cual las especificidades de las soluciones son examinadas y las cuestiones planteadas son investigadas para ver su coherencia. Los problemas número 1, 11, 17, 19 de la sección cuarta de este libro necesitan de esta fase de generalización para aportar un producto terminado.

Agilidad mental en la resolución de problemas

La fase de generalización introducida por Mason et al. (1982) es similar con la de examinar la solución obtenida de Pólya (1949). Ambos autores presentan en sus trabajos diferentes heurísticos que usa el alumnado en esta fase. Las investigaciones sobre el uso de heurísticos en la resolución de problemas las conciben como una expresión de la agilidad mental del alumnado. Bruder (2000) describe cuatro manifestaciones típicas de

Podríamos opinar que un amplio conjunto del alumnado de segundo de secundaria carece de suficiente agilidad mental para poner en juego dichos procesos; sin embargo, la resolución de problemas sistemática en el aula favorece la activación mental del alumnado (Serradó, 2020). Para mejorar esta situación a nivel de aula se han realizado diferentes propuestas basadas en el uso de heurísticos para fomentar el proceso de aprendizaje y evaluación de las competencias puestas en juego durante la resolución de problemas (Serradó, 2009). Los marcos teóricos de las evaluaciones competenciales que proponen los documentos PISA (OECD, 2018) presentan solo heurísticos para tres procesos de resolución de problemas que relacionan con el razonamiento matemático.

La resolución de problemas y el razonamiento matemático

En este marco teórico, la relación entre el razonamiento matemático y la resolución de problemas se configura como un modelo cíclico con tres procesos (Figura 1): a) la formulación de situaciones matemáticamente; b) el empleo de conceptos matemáticos, hechos, procesos y razonamientos; y, c) la interpretación, aplicación y evaluación de resultados matemáticos. Figura 1 Relación entre el razonamiento matemático y el modelo cíclico de resolución de problemas (Traducción de la página 8, OCDE, 2018) El razonamiento matemático (tanto deductivo como inductivo) implica la evaluación de situaciones, la selección de estrategias, la descripción de conclusiones lógicas, el desarrollo y descripción de soluciones y el reconocimiento de cómo estas soluciones se pueden aplicar. La evaluación de todas estas situaciones se realiza en la

propuesta de problemas de olimpiada matemática, ya que cada uno de ellos pide el razonamiento matemático de la resolución del problema. Sin embargo, la evaluación de dicho razonamiento supone la valoración de cómo el alumnado identifica, reconoce, organiza, conecta y representa la información del enunciado en la fase de formulación de la situación matemáticamente. Todos los problemas permiten valorar esta primera fase de la resolución del problema y que están relacionados con el estándar 2.1. del bloque 1, analiza y comprende el enunciado de los problemas (MEC, 2015). En la fase de empleo de conceptos matemáticos, hechos y procesos el alumnado construye gráficos, abstrae (patrones y regularidades), evalúa (propiedades numéricas), deduce (expresiones algebraicas, ecuaciones y sistemas), justifica (la aplicación del teorema de Thales o Pitágoras), explica y defiende las estrategias y heurísticos que utiliza. Finalmente, en la fase de interpretación, aplicación y evaluación de los resultados matemáticos obtenidos el alumnado hace juicios, critica las limitaciones de las soluciones y refuta las no adecuadas al contexto. La evaluación de dichas capacidades está relacionada con los estándares 6.4, 6.5 y 10.1 del bloque 1 (MEC, 2018). Destacamos como problemas significativos de esta última fase de resolución los problemas de la sección 4: nº1 por el estudio de la razonabilidad numérica; nº 5 por la razonabilidad de las infinitas soluciones del problema; nº 8 por la razonabilidad de las propiedades de los pentágonos; nº 11 y 13 por el juicio y critica de la verosimilitud de la solución en el contexto real; y, el nº 14 y 19 por la crítica a la limitación de las soluciones y la refutación de las no adecuadas al contexto. A su vez, estas capacidades están relacionadas con la capacidad de comunicación de las ideas del alumnado.

La comunicación en la resolución de problemas

La comunicación en la resolución de problemas puede tener diferentes niveles de sofisticación según sea su objetivo: razonar, argumentar o probar. Ninguno de los problemas propuestos pide al alumnado probar una conjetura – ya que este no es el objetivo de la Olimpiada Matemática. Sin embargo, dos de ellos van más allá del simple razonamiento de los procesos de resolución tal y como indica el estándar 1.1 del bloque 1 (MEC, 2018) y piden que el alumnado argumente el proceso de resolución. El problema número 8 pide que el alumnado argumente cuántos ángulos rectos puede llegar a tener un pentágono y permite que el alumno formule e investigue conjeturas matemáticas. El problema número 9 pide argumentar cuántas circunferencias se puede representar que pasen por dos puntos, por tres puntos no alineados y que estén a la misma distancia de

CLASIFICACIÓN DE LOS PROBLEMAS según el nivel educativo, criterio de

evaluación, estándar y contenido que ponen en juego

En esta sección los veinte problemas están clasificados según el bloque de contenidos, el nivel educativo, el criterio de evaluación, estándar y contenido que ponen en juego de acuerdo con el currículo actual (MEC, 2015; Junta de Andalucía, 2016). Bloque 2: Números y álgebra Nivel educativo y criterio de evaluación Estándares Contenidos Problemas MAT 1 y 2. 1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida cotidiana. 1.1 Identifica los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios, y decimales) y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa. Números naturales, decimales, y fraccionarios.

1.2 Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones. Operaciones con números naturales, decimales y fraccionarios.

1.3 Emplea adecuadamente los distintos tipos de números y sus operaciones, para resolver problemas cotidianos contextualizados, Operaciones con números naturales, decimales y fraccionarios. Porcentajes.

representando e interpretando mediante medios tecnológicos, cuando sea necesario, los resultados obtenidos. MAT1. 2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números naturales en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números. 2.1 Reconoce nuevos significados y propiedades de los números en contextos de resolución de problemas sobre paridad, divisibilidad y operaciones elementales.

2.6 Realiza operaciones de redondeo y truncamiento de números decimales conociendo el grado de aproximación y lo aplica a casos concretos. Redondeo y truncamiento.

2.7 Realiza operaciones de conversión entre números decimales y fraccionarios, halla fracciones equivalentes y simplifica fracciones, para aplicarlo a la resolución de problemas. Conversión de decimales a fraccionarios y viceversa.

2.8 Utiliza la notación científica, valora su uso para simplificar cálculos y representar números grandes. Notación científica.

MAT1 y 2.3. Desarrollar en casos sencillos, la competencia en el uso de operaciones combinadas 3.1 Realiza operaciones combinadas entre números enteros, Operaciones combinadas.

magnitudes directa o inversamente proporcionales. MAT 2. 6. Analizar procesos numéricos cambiantes, identificando los patrones y leyes generales que los rigen, utilizando el lenguaje algebraico para expresarlos, comunicarlos, y realizar predicciones sobre su comportamiento al modificar las variables, y operar con expresiones algebraicas. 6.1 Describe situaciones o enunciados que dependen de cantidades variables o desconocidas y secuencias lógicas o regularidades, mediante expresiones algebraicas, y opera con ellas. Variables. Secuencias de números.

6.2 Identifica propiedades y leyes generales a partir del estudio de procesos numéricos recurrentes o cambiantes, las expresa mediante el lenguaje algebraico y las utiliza para hacer predicciones. Patrones. Lenguaje algebraico.

6.3 Utiliza las identidades algebraicas notables y las propiedades de las operaciones para transformar expresiones algebraicas. Identidades notables.

MAT 2. 7. Utilizar el lenguaje algebraico para simbolizar y resolver problemas mediante el planteamiento de ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones, aplicando para su resolución métodos algebraicos o gráficos y contrastando los resultados obtenidos. 7.1 Comprueba, dada una ecuación (o un sistema), si un número (o números) es (son) solución de la misma. Ecuaciones. 5 7.2 Formula algebraicamente una situación de la vida real mediante ecuaciones de primer y segundo grado, y sistemas de ecuaciones lineales con Ecuación de primer grado.

dos incógnitas, las resuelve e interpreta el resultado obtenido. Bloque 3: Geometría Nivel educativo y criterio de evaluación Estándares Contenidos Problemas MAT1. 1. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana. 1.1 Reconoce y describe las propiedades de los polígonos regulares: ángulos interiores y centrales, diagonales, apotema, simetrías, etc. Pentágonos y ángulos.

1.4 Identifica las propiedades geométricas que caracterizan los puntos de la circunferencia y el círculo. Puntos interiores y exteriores. Circunferencia Círculo Circuncentro.

MAT 1 y 2. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de perímetros, áreas y ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado expresar el procedimiento seguido en la resolución. 2.1 Resuelve problemas relacionados con distancias, perímetros, superficies y ángulos de figuras planas, utilizando las herramientas tecnológicas y las técnicas geométricas más apropiadas. Ángulo, área de un triángulo.

2.2 Calcula la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la longitud de un arco y el área de un sector Perímetro y área de sectores circulares.