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TEMA 6: ESTÁTICA DE VIGAS
Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga.
Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son:
- Las fuerzas axiales
- Las fuerzas cortantes
- El momento flector
La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo.
Calculo de reacciones
Convenciones de simbología para apoyos y cargas
Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores.
Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes:
Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido.
VA
A
Apoyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide el desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal. Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la estática
Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de los ejes y el giro de la viga mediante una reacción que se puede dividir en una componente longitudinal, otra transversal y una reacción de momento.
Las cargas aplicadas consideradas en este capítulo, consisten en cargas puntuales, vale decir, fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se muestran como una secuencia de vectores.
Cálculos de reacciones de vigas
VA
A
HA
MA
VA
A
HA
Ahora, aplicando las ecuaciones de la estática se tiene:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
Ahora, como: 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 260 𝑁 𝑉𝐴 = 260 − 670 = − 410 𝑁
El signo negativo en VA indica que tiene el sentido contrario al indicado en la figura.
Ejemplo 2
Encuentre las reacciones en la viga con carga uniformemente variable de la figura. Desprecie el peso de la viga
A
B
10kN/m
VA
HA
VB
3 2
Solución:
Dados los tipos de apoyo que existen en la viga, se genera una componente horizontal y otra vertical en el apoyo fijo o pasador A y una reacción vertical en el apoyo móvil o rodillo B. Ahora aplicando las ecuaciones de la estática:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
3 ∙^ 3 = 0
Luego, 𝑉𝐵 = −9.000 𝑁
Ejemplo 3
Determine las reacciones en A y B para la viga de la figura
A
5N
HA VB
B
VA
45°
53°
3 9
Aplicación del método de las secciones
El objetivo de este capítulo es establecer procedimientos para establecer las fuerzas que existen en una sección de una viga o de un marco. Para obtener esas fuerzas se aplicará el método de las secciones.
El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reacciones. En los pasos subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura.
L/
L a
P
P
P/
P/
P/2 P/
Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas puntuales y distribuidas actuando sobre ellas. Se supone que se conocen las reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las reacciones mantienen todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos segmentos de viga es un cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia de un sistema de fuerzas internas en la sección de corte de la viga.
Fuerza cortante en vigas
Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna Vx en el corte que satisfaga la ecuación 𝐹𝑦 = 0. Esta fuerza interna Vx , actuando en ángulo recto respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es numéricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas externas que actúan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en dirección. Esta fuerza cortante puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de la página anterior o considerando el lado derecho.
A
VA
HA
VB
B
Hx
Vx
Mx
x
P 1
P 2 q 1 q 2
Ejemplo 1
Determine el sistema de fuerzas internos que afecta la figura siguiente:
A
B
10kN/m
9.000N
6.000N
Solución:
La viga se separa en secciones considerando sus discontinuidades:
i. Tramo AD 0 < 𝑥 < 3
2 =^ 𝑉𝑥
5.000 ∙ 𝑥^2
5.000 ∙ 𝑥^3
9 =^ 𝑀𝑥
A
9.000N
C
x
Vx
Mx
Diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector
Las ecuaciones derivadas del método de las secciones se pueden representar en gráficos, en los cuales pueden trazarse ordenadas iguales a las cantidades calculadas, desde una línea base que representa la longitud de la viga. Estos diagramas se llaman de acuerdo a las cantidades que representan diagrama de fuerza axial, diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flector. Con ayuda de dichos diagramas, la magnitud y localización de diversas cantidades resultan inmediatamente obvias.
Ejemplo 1
Dibuje los diagramas de fuerza normal, fuerza cortante y momento flector de la viga de la figura:
Solución:
Se calculan en primer lugar las reacciones:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 − 5 ∙ cos 53 = 0
𝐻𝐴 − 5 ∙ cos 53 = 0 𝐻𝐴 = 3𝑁
A
5N
HA
VB
B
VA
53°
𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 5 ∙ sen 53 = 0
𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 4 𝑁
𝑀𝐴 = 0 → − 5 ∙ sen 53 ∙ 5 + 𝑉𝐵 ∙ 10 = 0
𝑉𝐵 = 2 𝑁
𝑉𝐴 = 2 𝑁
3N
DIAGRAMA DE
FUERZA NORMAL
2N
2N
DIAGRAMA DE
FUERZA CORTANTE
DIAGRAMA DE
MOMENTO FLECTOR
10N*m
Ejemplo 3
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para una viga simple con carga uniformemente distribuida (véase figura)
P
P
P*L
DIAGRAMA DE FUERZA
NORMAL
DIAGRAMA DE FUERZA
CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO
FLECTOR
A B
VA
qN/m
HA
VB
L
Solución:
De las ecuaciones de la estática:
𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0
2 +^ 𝑉𝐵^ ∙ 𝐿^ = 0
q*l/
q*l/
(q*l^2)/
DIAGRAMA DE FUERZA NORMAL
DIAGRAMA DE FUERZA
CORTANTE
DIAGRAMA DE MOMENTO
FLECTOR
Luego, reemplazando:
𝑞 ∙ 𝐿 − 𝑉𝐵 − 𝑞 ∙ 𝑥 = 𝑉𝑥
𝑞 ∙ 𝑥^2
2 =^ 𝑀𝑥
Reemplazando:
𝐿^2
2 +^ 𝑉𝐵^ ∙ 𝐿^ + (𝑞 ∙ 𝐿 − 𝑉𝐵^ )^ ∙ 𝑥 −
𝑞 ∙ 𝑥^2
2 =^ 𝑀𝑥
Ejemplo 5
Considere una viga curva cuyo eje centroidal tiene la forma de una semicírculo de 0,2 m de radio, como se muestra en la figura. Si este elemento estructural es traccionado por las fuerzas de 1.000N mostradas, encuentre la fuerza axial, la fuerza cortante y el momento flector en la sección A-A definida por 𝛼 = 45°. El eje centroidal y las fuerzas aplicadas se encuentran en el mismo plano.
A
VA
qN/m
x
MA
Vx
Mx
Solución:
Usando el método de las secciones se obtiene los siguiente:
A
A
1.000N 1.000N
45°
A
A
0,
1.000N
V45°
H45°
M45°
O
