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La representación en variables de estado es una herramienta fundamental en la modelación y análisis de sistemas dinámicos. Este enfoque permite describir el comportamiento de sistemas físicos mediante un conjunto mínimo de variables que caracterizan su estado en cualquier instante de tiempo. Estas variables, denominadas variables de estado, son independientes entre sí y encapsulan toda la información necesaria para determinar la evolución futura del sistema, dado su estado presente y las entradas externas que lo afectan. Al modelar un sistema en términos de sus variables de estado, se puede reducir un problema complejo a un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen de manera precisa las interacciones dinámicas de sus componentes internos. Este enfoque es especialmente poderoso en el diseño de sistemas de control, ya que proporciona una base compacta y general para el análisis y síntesis de estrategias de regulación y seguimiento.
Tipo: Monografías, Ensayos
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Autores: Velásquez, Samuel 30.652. Ramos, Rober 26.158. Asesor: Ing. Julio Lezama Teoría Moderna de Control, Sección “A” Maturín, enero de 2025
La representación en variables de estado es una herramienta fundamental en la modelación y análisis de sistemas dinámicos. Este enfoque permite describir el comportamiento de sistemas físicos mediante un conjunto mínimo de variables que caracterizan su estado en cualquier instante de tiempo. Estas variables, denominadas variables de estado, son independientes entre sí y encapsulan toda la información necesaria para determinar la evolución futura del sistema, dado su estado presente y las entradas externas que lo afectan. Al modelar un sistema en términos de sus variables de estado, se puede reducir un problema complejo a un conjunto de ecuaciones diferenciales que describen de manera precisa las interacciones dinámicas de sus componentes internos. Este enfoque es especialmente poderoso en el diseño de sistemas de control, ya que proporciona una base compacta y general para el análisis y síntesis de estrategias de regulación y seguimiento. Desde un punto de vista matemático, un sistema en espacio de estados se representa mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales en forma matricial: 𝑥(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡)+𝐵𝑢(𝑡), donde 𝑥(𝑡) es el vector de estado, 𝑢(𝑡) es el vector de entrada, y las matrices 𝐴 y 𝐵 describen la dinámica interna y la influencia de las entradas, respectivamente. Además, se incluye la ecuación de salida 𝑦(𝑡)=𝐶𝑥(𝑡)+𝐷𝑢(𝑡) que relaciona las variables de estado y las entradas con las salidas observables del sistema. Este enfoque resulta aplicable a una amplia variedad de disciplinas, incluyendo la mecánica, la electrónica, la química y los sistemas térmicos, y facilita el diseño de sistemas de control moderno, como los observadores de estado y los controladores en tiempo discreto. La representación en variables de estado no solo simplifica el análisis, sino que también permite un entendimiento profundo de los sistemas dinámicos, abriendo la puerta a soluciones innovadoras y robustas.
o Justificación: Estas variables definen la energía almacenada en los elementos inductivos y capacitivos, que son esenciales para describir el comportamiento del circuito. Sistema térmico: o Variables de estado: temperatura en puntos clave (𝑇1(𝑡), 𝑇2(𝑡)). o Justificación: La distribución de temperatura en el sistema en un instante es suficiente para determinar su evolución futura. Sistema químico: o Variables de estado: concentraciones de los reactivos (𝐴, [𝐵] (𝑡)). o Justificación: Las concentraciones en un instante dado permiten predecir las reacciones químicas subsiguientes. Representación matemática. El conjunto de variables de estado suele representarse como un vector de estado 𝑥(𝑡), y la dinámica del sistema se describe mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) de la forma: Donde: 𝑥(𝑡): Vector de estado (variables de estado). 𝑢(𝑡): Entradas al sistema. 𝑓: Función que describe la dinámica del sistema.
2. Analizar el concepto de espacio de estados de un sistema de control. El espacio de estados es una representación matemática y conceptual que se utiliza para modelar sistemas dinámicos de una manera general y estructurada. Este enfoque es particularmente útil en el análisis y diseño de sistemas de control, ya que permite describir el comportamiento dinámico de un sistema mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales o no lineales. En términos simples, el espacio de estados se compone de un conjunto de variables de estado que encapsulan toda la información necesaria para predecir el futuro del sistema, dado su estado actual y las entradas externas. Componentes del espacio de estados Variables de estado (𝑥(𝑡)): Representan el estado interno del sistema. Estas variables suelen estar relacionadas con la energía almacenada en elementos como inductores, capacitores, masas o resortes. Entradas (𝑢(𝑡)): Son las señales externas que afectan el sistema, como fuerzas, tensiones o corrientes. Salidas (𝑦(𝑡)): Son las señales observables o medibles que el sistema produce en respuesta a las entradas. Matrices de representación: 𝐴: Matriz de estado, describe cómo el estado actual influye en su tasa de cambio. 𝐵: Matriz de entrada, describe cómo las entradas afectan al sistema. 𝐶: Matriz de salida, relaciona el estado con las salidas observables. 𝐷: Matriz de retroalimentación directa, relaciona directamente las entradas con las salidas.
Es controlable si, para cualquier par de estados inicial y final, existe un control 𝑢(𝑡) que lleve el sistema desde el estado inicial al estado final en un tiempo finito. Controlabilidad en el sentido de Lyapunov: Se enfoca en garantizar la estabilidad del sistema mientras se controla. Esto significa que: o Existe una función de Lyapunov 𝑉(𝑥), positiva definida, que decrece a lo largo de las trayectorias del sistema. o El control 𝑢(𝑡) se diseña para cumplir tanto con los requisitos de controlabilidad como con las condiciones de estabilidad. Condiciones de Lyapunov: Para un sistema con una matriz de estado 𝐴, la estabilidad se evalúa mediante la ecuación de Lyapunov: donde 𝑃>0 y 𝑄>0 son matrices simétricas definidas positivas. La matriz 𝑃 representa una forma cuadrática que actúa como función candidata de Lyapunov. Aplicación en la resolución de problemas Para aplicar estos conceptos, se sigue un enfoque sistemático: Modelar el sistema: Representa el sistema dinámico en espacio de estados, definiendo 𝐴, 𝐵, y las restricciones del problema. Evaluar la controlabilidad: Comprueba la controlabilidad clásica del sistema calculando la matriz de controlabilidad: Si (𝐶)=𝑛 (donde 𝑛 es el número de estados), el sistema es controlable.
Diseñar una función de Lyapunov: Selecciona 𝑃>0 y 𝑄>0, y verifica que la ecuación de Lyapunov se satisface. Esto asegura que la dinámica del sistema sea estable. Determinar el control 𝑢(𝑡): Diseña un controlador, como un controlador de retroalimentación de estado: donde 𝐾 se calcula para garantizar la estabilidad según las condiciones de Lyapunov.
4. Aplicar los conceptos de controlabilidad y observabilidad en la resolución de problemas. Un sistema es controlable si, para cualquier estado inicial 𝑥(0) y final 𝑥𝑓, existe un control 𝑢(𝑡) que permite mover el sistema desde 𝑥(0) hasta 𝑥𝑓 en un tiempo finito. Procedimiento para verificar controlabilidad Formar la matriz de controlabilidad: Aquí, 𝐴 y 𝐵 son las matrices del sistema en espacio de estados. Evaluar el rango de 𝐶: Si (𝐶)=𝑛, donde 𝑛 es el número de estados, el sistema es completamente controlable. Si (𝐶)<𝑛, el sistema no es completamente controlable.
Aquí, 𝐴 y 𝐶 son las matrices del sistema en espacio de estados. Si la matriz tiene rango completo, el sistema es observable. Ejemplo de aplicación: Para el mismo sistema, supongamos que la salida es: Entonces, la matriz de observabilidad es: El determinante es: Por lo tanto, el sistema es observable.
5. Variable de estado, Espacio de estados. En el análisis y diseño de sistemas dinámicos, la representación en espacio de estados es una forma fundamental de modelar sistemas de primer orden mediante un conjunto de variables de estado. Variables de Estado. Las variables de estado describen completamente la dinámica de un sistema en un instante dado. Se definen como el conjunto mínimo de variables necesarias para determinar el estado futuro del sistema, dado su estado presente y la entrada. Ejemplo de variables de estado en un sistema mecánico:
Posición y velocidad en un sistema de masas y resortes. Carga y voltaje en un circuito eléctrico. Si el sistema es de orden 𝑛, se requieren 𝑛 variables de estado para describirlo. Representación en Espacio de Estados. Un sistema dinámico en tiempo continuo se expresa en forma matricial: Dónde: x(t) es el vector de estado (𝑛×1). u(t) es el vector de entrada (𝑚×1). y(t) es el vector de salida (𝑝×1). A es la matriz de estado (𝑛×𝑛), define la dinámica del sistema. B es la matriz de entrada (𝑛×𝑚), define cómo la entrada afecta el estado. C es la matriz de salida (𝑝×𝑛), define la relación entre el estado y la salida. D es la matriz de transmisión directa (𝑝×𝑚), relaciona directamente la entrada con la salida (si existe un término directo). Ejemplo de Aplicación: Dado un sistema de segundo orden:
Controlabilidad permite modificar el comportamiento del sistema mediante una entrada. Observabilidad permite conocer el estado interno del sistema a partir de las salidas.
7. Estabilidad en el sentido de Lyapunov. La estabilidad en el sentido de Lyapunov es un criterio fundamental en el análisis de sistemas dinámicos, permitiendo determinar si un sistema regresa a un estado de equilibrio después de una perturbación. Dado un sistema dinámico no lineal: donde 𝑥 = 0, es un punto de equilibrio, se define la estabilidad en el sentido de Lyapunov de la siguiente manera: Estabilidad en el sentido de Lyapunov: Para cada o Significa que las trayectorias permanecen cerca del equilibrio si comienzan cerca de él. Asintóticamente estable: Además de ser estable en el sentido de Lyapunov, si existe un o El sistema no solo permanece cerca del equilibrio, sino que converge a él. Estabilidad exponencial: Existe un
La convergencia al equilibrio ocurre a una tasa exponencial.
8. Analizar las representaciones en el espacio de estados de sistemas definidos por su función de transferencia. La representación en espacio de estados proporciona una descripción completa de la dinámica de un sistema, incluso cuando este se define inicialmente por su función de transferencia en el dominio de Laplace. Conversión de Función de Transferencia a Espacio de Estados. Dada una función de transferencia: La ecuación en el dominio del tiempo es: Para representar este sistema en espacio de estados, existen varias formas de representación. Formas Canónicas en Espacio de Estados. Forma Canónica Controlable: Es útil para el diseño de controladores. Se construye tomando las derivadas de la salida como variables de estado: El sistema queda representado como:
Forma Canónica Observable: Esta forma es útil para diseñar observadores de estado y se basa en la expansión de la ecuación característica en términos de la salida 𝑦 en lugar de sus derivadas: Para el mismo ejemplo: Análisis de la Representación en Espacio de Estados. Controlabilidad: Para verificar si el sistema es controlable, calculamos la matriz de controlabilidad:
Si tiene rango completo (𝑛), el sistema es controlable. Observabilidad: Para verificar la observabilidad, calculamos la matriz de observabilidad: Si tiene rango completo (𝑛), el sistema es observable. Las representaciones en espacio de estados permiten analizar y diseñar sistemas de control de manera estructurada, facilitando la implementación de controladores y observadores. La conversión desde una función de transferencia permite obtener una descripción más detallada del sistema, adecuada para análisis de controlabilidad, observabilidad y estabilidad.
9. Solución de la ecuación de estado invariante con el tiempo. Para un sistema representado en espacio de estados con coeficientes constantes: queremos determinar la solución para 𝑥(𝑡). Solución para el Caso sin Entrada 𝑢(𝑡) = 0 (Respuesta Natural o Libre). Si no hay entrada externa (𝑢(𝑡)), la ecuación se reduce a:
Dada una matriz cuadrada 𝐴, la matriz exponencial se define como: Algunas propiedades importantes: o o Derivadas de Funciones Matriciales. Derivada de una función escalar con respecto a un vector: Si 𝑓(𝑥)es escalar y 𝑥 es un vector, el gradiente es: que da la dirección de mayor crecimiento de 𝑓(𝑥). Regla de la cadena matricial: Si 𝑋depende de 𝑡y𝑌=𝑓(𝑋), entonces:
Teorema de Cayley-Hamilton. Este teorema establece que toda matriz cuadrada 𝐴 satisface su propia ecuación característica: Estos resultados son fundamentales en el análisis y diseño de sistemas dinámicos. Se usan en estabilidad, controlabilidad, optimización y procesamiento de señales.
11. Diseño de servosistemas. Los servosistemas son sistemas de control diseñados para seguir una referencia deseada con precisión, minimizando el error de seguimiento. Se utilizan en robótica, control de motores, aeronáutica, automatización industrial, entre otros. Características de un Servosistema: Un servosistema debe cumplir con las siguientes características: Precisión: Minimizar el error de seguimiento en estado estacionario. Rapidez: Alcanzar la referencia en el menor tiempo posible. Estabilidad: Garantizar que las oscilaciones y perturbaciones no desestabilicen el sistema. Rechazo de perturbaciones: Mantener un buen desempeño ante variaciones en la carga o en el entorno.
