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Unidad 9: Recta.
9.1 Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos del plano está dada por la fórmula:
1
2
2
1
2
2
1
2
Gráfica:
Ejemplos:
1.- ¿Cuál es la distancia entre los puntos 𝐴(− 1 , 2 ) y 𝐵( 5 , 10 )?
a) √ 10 unidades
b) 50 unidades c) 10 unidades d) 100 unidades
Solución:
▪ Al sustituir
1
1
= (− 1 , 2 ) y
2
2
= ( 5 , 10 ) en la fórmula de la distancia se obtiene:
2
1
2
2
1
2 →
𝐴𝐵
2
2 →
𝐴𝐵
2
2
2
2
= 10 unidades
2.- El valor positivo que debe tomar 𝑥 para ver que la distancia entre los puntos 𝐴(𝑥, − 1 ) y 𝐵( 1 , 3 )
sea igual a 5 es:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6
Solución:
▪ Al sustituir (𝑥
2
2
1
1
= 5 , en la fórmula de la distancia
se obtiene:
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9.2 Punto de división de un segmento en una razón dada.
Sean 𝑃
1
1
1
2
2
2
) y los extremos de un segmento y 𝑃(𝑥, 𝑦) un punto que divide al segmento
en dos partes proporcionales, denominado punto de división.
Razón de proporcionalidad
1
2
1
2
1
2
▪ Si el punto de división 𝑃 está entre los puntos 𝑃
1
y 𝑃
2
la razón es positiva.
▪ Si el punto de división no está entre los puntos dados entonces la razón es negativa.
Coordenadas del punto de división 𝑷
1
2
1
2
Ejemplos:
1.- ¿Cuáles son las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 𝑃 1
y
2
a) (− 3 , − 2 ) b) ( 3 , − 1 ) c) (− 1 , 3 ) d) ( 1 , − 3 )
Solución:
▪ Al sustituir en las fórmulas
1
1
= (− 4 , 1 ) y
2
2
1
2
1
2
▪ Las coordenadas del punto medio son: (− 1 , 3 )
2.- Las coordenadas del punto medio son ( 5 , − 3 ), si uno de los extremos es el punto ( 6 , 2 ). La
abscisa del otro extremo es:
a) 8 b) 4 c) − 4 d) − 8
Solución:
▪ Al sustituir 𝑥 = 5 , 𝑥
1
= 6 en la fórmula 𝑥 =
𝑥 1
+𝑥 2
2
se obtiene:
2
2
2
2
2
9.3 Pendiente.
Se define como la tangente del ángulo de inclinación de una recta.
La pendiente 𝑚 de la recta que pasa por los puntos 𝑃 1
y 𝑃
2
se obtiene con la siguiente fórmula:
2
1
2
1
Ejemplos:
1.- ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐴( 5 , 8 ) y 𝐵(− 1 , 6 )?
a) −
1
3
b) 3 c) − 3
d)
1
3
Solución:
▪ Al sustituir en la fórmula
1
1
2
2
= (− 1 , 6 ) se obtiene:
2
1
2
1
2.- La pendiente de una recta es −
1
4
. Si pasa por el punto 𝐴( 2 , − 4 ) y el punto 𝐵 cuya ordenada es
− 6 , ¿cuál es el valor de la abscisa de 𝐵?
a) − 10 b) − 2 c) 2 d) 10
Solución:
▪ De acuerdo con los datos 𝑚 = −
1
4
1
1
2
2
= (𝑥, − 6 ), al sustituir en
la fórmula de la pendiente:
2
1
2
1
Y
𝑃 X
1
1
1
2
2
2
Al simplificar
Al igualar con cero
▪ La ecuación de la recta es: 2 𝑥 − 𝑦 − 14 = 0.
2.- La ecuación de la recta que pasa por el punto (− 3 , − 7 ) y su pendiente es −
2
3
es:
a) 2 𝑥 + 3 𝑦 − 15 = 0 b) 2 𝑥 − 3 𝑦 + 15 = 0 c) 2 𝑥 − 𝑦 − 23 = 0 d) 2 𝑥 + 𝑦 + 23 = 0
Solución:
▪ Al sustituir el punto (𝑥
1
1
) = (− 3 , 7 ) y 𝑚 = −
2
3
en 𝑦 − 𝑦
1
1
Al simplificar
Al igualar a cero
9.4.1.2 Caso 2. La ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Dados los puntos 𝑃
1
1
1
y 𝑃
2
2
2
sobre una recta, su ecuación está dada por:
Y
X
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
Ejemplo:
1.- ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(− 2 , 1 ) y 𝐵(− 10 , − 5 )?
a) 4 𝑥 − 3 𝑦 + 19 = 0 b) 3 𝑥 − 4 𝑦 + 19 = 0 c) 4 𝑥 − 3 𝑦 − 10 = 0 d) 3 𝑥 − 4 𝑦 + 10 = 0
Solución:
▪ Al sustituir los puntos 𝐴(− 2 , 1 ) y 𝐵(− 10 , − 5 ) en la ecuación 𝑦 − 𝑦
1
𝑦 2
−𝑦 1
𝑥 2
−𝑥 1
1
9.4.1.3 Caso 3. Forma pendiente-ordenada al origen de la ecuación de la recta.
La ecuación pendiente-ordenada al origen está dada por:
Y
X
9.4.1.4 Caso 4. Forma simétrica de la ecuación de la recta.
Dadas las intersecciones con los ejes coordenados 𝑋 y 𝑌, la ecuación de la recta en su forma
simétrica está dada por:
Ejemplo:
¿Cuál es la ecuación de la recta en su forma simétrica que interseca al eje 𝑋 en 3 y al eje 𝑌 en − 4?
a) 3 𝑥 − 4 𝑦 − 12 = 0 b) 4 𝑥 + 3 𝑦 − 12 = 0 c) 4 𝑥 − 3 𝑦 − 12 = 0 d) 3 𝑥 + 4 𝑦 − 12 = 0
Solución:
▪ Al sustituir 𝑎 = 3 , 𝑏 = − 4 en la ecuación
𝑥
𝑎
𝑦
𝑏
= 1 , se obtiene:
9.5 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.
9.5.1 Paralelismo.
Y
X
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
Si 𝑚 1
2
entonces 𝐿
1
2
Ejemplos:
1.- ¿Cuál es la pendiente de la recta que es paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐴( 1 , − 4 ) y
a) −
2
7
b)
7
2
c)
2
7
d) −
7
2
Solución:
▪ Se obtiene la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐴( 1 , − 4 ) y 𝐵( 8 , − 6 ), al sustituir
en la fórmula:
2
1
2
1
▪ La pendiente de la recta paralela es 𝑚 = −
2
7
2.- ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la recta 12 𝑥 − 3 𝑦 − 6 = 0 a la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏,
despejando 𝑦:
a) 𝑦 = 4 𝑥 + 5 b) 𝑦 = − 4 𝑥 + 5 c) 𝑦 =
1
4
𝑥 + 5 d) 𝑦 = −
1
4
Solución:
▪ Se transforma la ecuación 12 𝑥 − 3 𝑦 − 6 = 0 a la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 despejando 𝑦:
Y
X
1
2
▪ La pendiente de la recta es 𝑚 =
2
3
▪ Dado que la recta que se busca es paralela, la pendiente será la misma al sustituir 𝑚 =
2
3
y
el punto (𝑥
1
1
) = (− 3 , 5 ) en la fórmula 𝑦 − 𝑦
1
1
), se obtiene:
9.5.2 Perpendicularidad.
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es − 1.
Si 𝑚 1
2
= − 1 entonces 𝐿
1
2
Ejemplos:
1.- Si una recta tiene pendiente
5
4
, la pendiente de la recta perpendicular a ella es −
4
5
, ya que
satisface la condición: (
5
4
4
5
2.- ¿Cuál es la pendiente de la recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos 𝐴( 9 , − 2 ) y
a) −
2
3
b)
3
2
c)
2
3
d) −
3
2
Solución:
Y
X
1
2
▪ Se obtiene la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐴( 9 , − 2 ) y 𝐵(− 9 , 10 ):
2
1
2
1
▪ La pendiente de la recta perpendicular es el recíproco de la pendiente encontrada y de signo
contrario, es decir:
⊥
3.- ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta 6 𝑥 + 2 𝑦 − 4 = 0?
a) 𝑦 = 3 𝑥 + 1 b) 𝑦 = − 3 𝑥 + 1 c) 𝑦 =
1
3
𝑥 + 1 d) 𝑦 = −
1
3
Solución:
▪ Se transforma la ecuación 6 𝑥 + 2 𝑦 − 4 = 0 a la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏:
▪ La pendiente de la recta es 𝑚 = − 3.
▪ La recta perpendicular tiene como pendiente el recíproco de − 3 y de signo contrario, es
decir:
⊥
4.- ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta que pasa por los puntos ( 3 , 5 ) y ( 2 , 1 )?
a) 𝑦 =
1
4
𝑥 + 1 b) 𝑦 = −
1
4
c) 𝑦 = 4 𝑥 + 2 d) 𝑦 = − 4 𝑥 + 2
Solución:
Ejemplo:
La distancia del punto ( 2 , 3 ) a la recta 3 𝑥 − 4 𝑦 − 9 = 0 es:
a) 2 u b) 4 u c) 3 u d) 6 u
Solución:
▪ Al sustituir el punto y la recta en la fórmula:
1
1
2
2
2
2
▪ La distancia es de 3 u.
9.6 Rectas notables en el triángulo.
9.6.1 Altura.
Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto.
9.6.2 Ortocentro.
Es el punto donde intersecan las alturas.
A B
C
h
h h
O
O: ortocentro
9.6.3 Mediana.
Es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
9.6.4 Baricentro.
Es el punto donde se intersecan las medianas.
9.6.5 Mediatriz
Recta perpendicular al lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de ese mismo lado.
9.6.6 Circuncentro.
Es el punto donde se intersecan las mediatrices.
O O: ortocentro
C
A B
Pm 𝐴𝐶
Pm 𝐵𝐶
Pm 𝐴𝐵
A B
C
O
O: circuncentro
Pm 𝐴𝐶
̅̅̅̅ Pm 𝐵𝐶
Pm 𝐴𝐵
