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Hernán Verdugo Fabiani 1
RAZONES Y PROPORCIONES
1 Una razón es una forma de comparar dos cantidades expresadas en la misma unidad de medida.
1.1 Una razón se expresa de cualquiera de las siguientes formas:
o en ambos casos se lee:
“a es a b”
a se llama antecedente b se llama consecuente
Ejercicio 1) La razón entre 4 y 5 se puede escribir como:
4 o 4 : 5 antecedente = 4 5 consecuente = 5
Ejercicio 2) La razón entre 2 m y 80 cm es:
2 m pero como deben estar en las mismas unidades, 80 cm al transformar 2 m a cm, se tiene:
200 cm 80 cm
Nota 1 : Si se puede simplificar: ¡ hay que hacerlo !, no sólo los números, también las unidades. Nota 2 : Una razón se comporta en forma similar al de una fracción, por lo tanto se puede amplificar y simplificar. Nota 3 : Una razón tiene un valor asociado k , que corresponde a la división entre el antecedente y el consecuente (a/b = k o a:b = k).
Aplicando lo dicho en la nota anterior, se tiene que:
200 cm = 5 antecedente 80 cm 2 consecuente
Valor asociado 5:2 = 2,
El valor asociado que se encontró da a entender que el antecedente es 2,5 veces el consecuente.
Ejercicio 3) Encuentre la razón entre 8 y 32 y luego el valor asociado. Ejercicio 4) Por amplificación encuentre 2 razones equivalentes a: a) 2/3 b) 12/15 c) 3:10 d) 11:
Ejercicio 5) Por simplificación encuentre 2 razones equivalentes a: a) 20/16 b) 36/24 c) 320:240 d) 48/ Ejercicio 6) Indique si las siguientes razones son equivalentes o no. Sugerencia: amplifique o simplifique una de ellas o bien determine sus valores asociados. a) 5:4 y 15/12 b) 18/24 y 6/9 c) 21/14 y 36: Ejercicio 7) Encuentre el valor asociado a cada razón siguiente: a) 1/8 b) 24/16 c) 46:
a
b a : b
∀∀∀∀ a, b ∈∈∈∈ Q, b ≠≠≠≠ 0
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- Una proporción es una igualdad entre 2 razones.
Si se tiene que las razones a/b y c/d son equivalentes, entonces:
= o a:b = c⋅ d
d
c
b
a
Términos extremos Términos medios
Ejercicio 8) Completar los espacios que faltan en la siguiente tabla:
Proporción Términos Extremos Términos Medios 4 : 9 = 8 : 18 4 y 18 9 y 8 5 : 3 = 15 :__ 5 y 9 p : q = x : y m y w n y z 3 : 12 = __ : 4
2.1 Propiedad Fundamental de las Proporciones.
En una proporción se cumple lo que se denomina propiedad fundamental , es lo que nosotros ya hemos conocido alguna vez como “producto cruzado”, pues en realidad corresponde a la igualdad que se presenta al multiplicar los Términos extremos entre sí y lo mismo entre los Términos medios, esto nos queda:
a d b c
d
c
b
a
Ejemplo 9) Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es una proporción o no. 2 : 5 = 16 : 40
Para verificarlo se aplica la propiedad fundamental, si con ello se llega a una igualdad entonces es una proporción, de lo contrario no lo es.
80 = 80 ¡ Es una proporción!
Ejemplo 10) Verificar si la siguiente igualdad de razones que se propone es una proporción o no.
3 = 12 4 15
Se lee:
a es a b como c es a d
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de lo anterior se tiene, finalmente, que: x = 10
Ejercicio 13) Encontrar el valor de x en la proporción 5 : x = 15 : 6
Aplicando propiedades, se tiene que
paso 1: 5 • 6 = 15 • x lo que es equivalente a 15 • x = 5• 6 15x = 30 paso 2: x = 30 15
dividiendo: x = 2
Ejercicio 14) Hallar x en las siguientes proporciones: a) x:5 = 12:20 b) 2:x = 16:24 c) 32:18 = x: d) 1/ 2 = 4/x e) x:3 = 4:7 f) ½ :x = ¾ : g) 0,1:2 = x:0,5 h) 32 :5 = -2:x
2.2 Situaciones especiales:
2.2.1 Cálculo de la Cuarta proporcional geométrica. Cuando todos los términos de una proporción son diferentes, cualquiera de ellos se denomina cuarta proporcional geométrica (todos los ejercicios 13 y 14).
Ejercicio 15) Hallar la cuarta proporcional geométrica en: a) 4/x = 3/5 ⇒ 20 = 3x ⇒ 3x = 20 ⇒ x = 20/
b) 3:7 = x:
2.2.2 Cálculo de la Media proporcional geométrica : Se trata de hallar el valor de x en una proporción de la forma: a = x x c Ejercicio 16) Hallar la media proporcional geométrica en: 4/x = x/9 ⇒ 36 = x•x = x^2 ⇒ x^2 = 36 ⇒ x = 6 o x = -
los dos posibles resultados de x se deben a que: 62 = 36 y (-6)^2 = 36
Ejercicio 17) Encuentre la media proporcional geométrica en: a) 1/x = x/100 b) 16/x = x = 4 c) 9/x = x/
2.2.3 Cálculo de la Tercera proporcional geométrica. Se trata de hallar el valor de x en alguna de las siguientes situaciones:
x = b o a = b b c b x
Ejercicio 18) Encuentre la tercera proporcional geométrica en: a) 4/5 = 5/x b) 8/4 = 4/x c) x/6 = 6/18 d) x/24 = 24/
2.3 Propiedades que se cumplen en las proporciones: Además de la propiedad fundamental de las proporciones, se cumplen las siguientes:
2.3.1 Alternamos sus términos extremos: Cambia el valor de las razones pero no la proporcionalidad.
a = c ; ad = bc se convierte en: d = c ; da = bc b d b a
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Ejercicio 19) Dado 4/8 = 12/24 alternamos T. extremos 24:8 = 12:
Valor de las razones 0,5 3
2.3.2 Alternamos sus términos medios: Cambia el valor de las razones pero no la proporcionalidad.
a = c ; ad = bc se convierte en: a = b ; ad = bc b d c d
Ejercicio 20) Dado 3/5 = 9/15 alternamos T. medios 3/9 = 5/ Valor razones 0,6 0,3333...
3 • 15 = 5• 9 3 • 15 = 9• 5 45 = 45 45 = 45
2.3.3. Invertimos la proporción: Cambia el valor de las razones pero no la proporcionalidad.
a = c ; ad = bc se convierte en: b = d ; bc = ad b d a c
Ejercicio 21) Dado 2/3 = 10/15 se convierte en: 3/2 = 15/ Valor razones 0,666... 1,
2 • 15 = 3• 10 3 • 10 = 2• 15 30 = 30 30 = 30 2.3.4 Permutamos la proporción: No cambia el valor de las razones y se mantiene la proporcionalidad.
a = c ; ad = bc se convierte en: c= a ; bc = da b d d b
Ejercicio 22) Dado 8/5 = 16/10 se convierte en: 16/10 = 8/ Valor razones 1,6 1,
8 • 10 = 5• 16 16 • 5 = 10• 8 80 = 80 80 = 80
2.3.5 Componemos respecto al antecedente : Se mantiene la proporcionalidad (cambia el valor).
a = c ; ad = bc se convierte en: a + b = c + d b d a c
Ejercicio 23) Dado 6/5 = 18/15 se convierte en: 6 + 5 = 18 + 15 6 18
11/6 = 33/
2.3.6 Componemos respecto al consecuente : Se mantiene la proporcionalidad (cambia el valor).
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Ejercicio 29) Sea el siguiente triángulo ABC, donde CD es una transversal de gravedad y G es el centro de gravedad. Una de las propiedades del centro de gravedad es que divide a la transversal de gravedad de tal forma que se cumple la proporción CD : CG = 3 : 2. Encuentre el valor de CG. C
AD = 8 cm AC = 10 cm ∠ADC = 90º • G
A D B
2.4 Proporcionalidad directa e inversa :
2.4.1 Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si la razón entre A y B es un valor constante k.
A : B = k
Ejercicio 30) Un automóvil viaja con tal velocidad que en cada hora recorre 60 km. Determine la razón entre la distancia que recorre y el tiempo que emplea para ello, en los siguientes tiempos transcurridos, completar la tabla siguiente:
datos a b c d e f g
magnitud A: distancia d (km) 60 120 180 240 45 30 15 magnitud B: tiempo t (hr) 1 2 3 4 0,75 0,5 0, razón entre magnitudes: d:t 60 60 60 60 60 60 60
Observación importante : d y t son magnitudes directamente proporcionales, se verificó que a medida que iban cambiando los valores de una los de la otra también cambiaban, sin embargo, la razón entre ellas se mantenía constante.
Si nos fijamos bien, en los datos de la letra a a la d , si una aumentaba la otra también lo hacía, y en los datos de la e a la g , si una disminuía la otra también lo hacía. De esto no hay que olvidarse pues tiene mucha utilidad cuando se tengan que resolver otros problemas, especialmente en el razonamiento previo.
Paréntesis : la razón d:t en la asignatura de física se estudiará con detalle y corresponde a la relación matemática para el movimiento con rapidez constante, donde d:t es la rapidez v, por lo tanto: v = d/t. (Esta materia no es de la presente guía).
Problemas diversos:
Ejercicio 30) Si la cuota de cada alumno, en un curso de 30 alumnos, es de $ 500.- ¿Cuánto dinero se recibe si todos los alumnos la cancelan?
Razonamiento: Si un alumno aporta cierta cantidad de dinero y sabiendo que todos aportan lo mismo, entonces al aumentar el número de las personas que aportan dinero, el dinero a recaudar deberá aumentar en la misma proporción (“al mismo ritmo”), por lo tanto, podríamos decir que ambas magnitudes (dinero por cuotas y número de alumnos) son directamente proporcionales. Para resolver el problema ordenemos los datos de la siguiente manera.
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Mientras una aumenta la
otra disminuye, en la
misma proporción.
número de alumnos
$ de aporte
30 x + De acuerdo a lo anterior, formamos la siguiente proporción: 1 = 500 30 x y, al resolverla, tenemos que x = 500• 30 x = $ 15.000,-
Ejercicio 31) En un almacén, un día se venden 200 chocolates en $ 10.000,-. Si otro día se venden 70 chocolates, ¿cuánto dinero se recaudará por esa venta? ¡Complete los espacios que faltan! Razonamiento: Si asumimos que los chocolates mantienen el precio y disminuye la venta, entonces también disminuirá el ingreso, por lo tanto las magnitudes (nª de ___________ y ________ recaudado) son ____________ proporcionales.
número de __________
$ ___________
x +
La proporción que se forma es: 200 = ______
Al resolver la proporción se tiene x = $ _______
Ejercicio 32) En un día de invierno durante una hora llueve en forma constante, de manera que cada 5 minutos caen 8 mm de agua. ¿Cuántos mm de agua caerán en tres cuarto de hora? Ejercicio 33) Un cuaderno tiene, en promedio, una masa de 150 gramos. Si en un curso de 35 alumnos, cada uno lleva 8 cuadernos en su mochila. ¿Cuántos kilogramos de cuaderno lleva en conjunto, todos los alumnos? Ejercicio 34) En un negocio se recaudan $ 9.000,- en la venta de 60 helados. Si un día muy bueno recaudan $ 15.000,- y otro muy malo sólo $ 3.000,-. ¿Cuántos helados se venden en cada día?
2.4.2 Dos magnitudes A y B, son inversamente proporcionales si el producto entre ellas es una constante.
A • ••• B = k
Ejercicio 35) Una persona desea comprar un terreno rectangular cuya área sea de 800 m^2. Sólo comprará un cuyo ancho y largo, sean números naturales mayores que
- ¿Cuáles son todas las posibilidades que tendría? ¡Complete el siguiente cuadro?
ancho (m) a
largo (m) l
área (m^2 ) A = a • ••• l 100 8 800 10 50 800 20 32 8 800 80 16 40 800
Con ese signo (+) señalaremos que la
proporcionalidad entre las magnitudes, que
inciden en el problema, son directamente
proporcionales.
El signo + es porque las magnitudes son
____________ ___________.
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Número de operarios
Número de días
Número de piezas 4 10 320 10 16 x
Las razones que se forman son: 4/10; 10/16 y 320/x
La proporción que se forma es aquella formada al igualar a la razón que contiene el valor desconocido con el producto de las otras dos razones, por lo tanto, se tiene:
320 = 4 • 10 x 10 16
Realizando el producto: 320 = 1 x 4
De donde: 1 • x = 320• 4 ⇒ x = 1.
Ejercicio 41) Dieciocho obreros, trabajando 7 horas por día, realizan un determinado servicio en 12 días. ¿En cuántos días, 12 trabajadores que trabajan 9 horas por día, harán el mismo servicio?
En análisis de la información se concluye que:
- Si disminuye el Número de trabajadores se necesitan más días , para hacer el trabajo, por lo tanto forman una proporcionalidad inversa.
- Si aumenta el Número de horas por día se necesitan menos días , para hacer el trabajo, por lo tanto forman una proporcionalidad inversa.
Número de trabajadores
Número horas por día
Días
12 9 x
Se forman las razones: 12/18; 9/7 y 12/x
Por lo tanto, la proporción es: 12 = 12 • 9 x 18 7
De donde: 12 = 6 x 7 Por lo que x = ____
Ejercicio 42) Diez máquinas preparan un terreno de 30 hectáreas en 9 días. ¿En cuántos días 12 máquinas, idénticas a las primeras, prepararán un terreno de 48 hectáreas?
- Para hacer un trabajo, si aumenta el Número de máquinas disminuirá el Número de días , por lo tanto estas magnitudes son inversamente proporcionales.
- Para hacer un trabajo, si aumenta el Número de hectáreas aumentará el Número de días , por lo tanto estas magnitudes son directamente proporcionales.
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Número de máquinas
Número de hectáreas
Número de días 10 30 9 12 48 x
Se forman las razones: 12/10; 30/48 y 9/x
Por lo tanto, la proporción es: 9 = 12 • 30 x 10 48
De donde: 9 = __ x por lo que x =
Ejercicio 43) Veinticinco ampolletas originan un gasto de $ 3.000 al mes, estando encendidas 6 horas diarias. ¿Qué gasto originarías 5 ampolletas en 45 días, encendidas durante 8 horas diarias? Ejercicio 44) Un horno a petróleo consume 18 litros en 5 días, funcionando 4 horas diarias. ¿En cuántos días consumirá 48 litros, si funciona 9 horas diarias? Ejercicio 45) La alimentación de 12 animales, durante 8 días, cuesta $ 8.000,- ¿Cuál sería el costo de la alimentación de 15 animales en 5 días?
RESULTADOS :
- ¼ 0,
- infinitas posibilidades
- infinitas posibilidades
- a) si b) no c) si
- a) 0,125 b) 1,5 c) 0,
- a) si b) no c) si d) si e) si
- a) 3 b) 3 c) 16 d) 8 e) 12/ f) 10/3 g) 1/40 h) -10/
- b) 9
- a) 10 b) 8 c) 27
- a) 25/4 b) 2 c) 2 d) 72
- 4
- $ 3.500,-
- 72 mm
- 42 kg
- 100 20
- 16
- 2
- 4
- 14
- $ 1.200,-
- 160/7 = 5,92... en el sexto día
- $ 6.250.-
